3.9 张量算符.ppt

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1、3.9 张量算符 一、矢量算符 n矢量在转动下其分量Vi按 变换，要求量子力学中的矢量算符之期待值在转动下具有与经典矢量在转动下的变换行为：n即n对无穷小转动 n分析x,y,z分量可得出:n上式可作为矢量算符的定义。n因角动量算符的对易关系是上式的特例，故角动量是矢量算符.类似地，x,p也是矢量算符。n矢量算符对易关系也决定了其有限转角下的变换行为n（，）二、直角张量和不可约张量 n将矢量变换推广,定义直角张量Tijk的转动变换性质：n指标ijk的数目称为张量的“阶”。n将两矢量U,V笛卡分量相乘构成T的分量，,有9个分量，是二阶张量。n笛卡张量的缺陷是其可约性，即可分解为具有不同转动变换性质

2、的几部分，如n三部分的独立分量对应L=0,1,2的角动量多重性。笛卡张量可分解为按0，1，2阶球谐函数变换的三个张量。因此，球张量更基本。三、球张量n球张量的定义是参考球谐函数的变换性质来给出的n对n由于(见式3.5.49)n采用n对应算符的变换结果：n定义k阶球张量算符为n其中q的个数（即张量的分量数）为2k+1。等价地有n不难看出 是量子数为q的k阶球张量。但上述定义包括更普遍的球张量形式。四、球张量与角动量的对易关系n对无穷小转动 n得n即n上两式也可作为球张量的定义 n注意：球张量分量依球谐函数的分量方式构造。如：n 五、张量的乘积n该定理了指出通过两张量的乘积构造高阶或低阶张量的方法

3、。n证：六、张量算符的矩阵元 1）磁量子数选择定则：n这是因为：2）Wigner-Eckart定理：n张量算符在角动量本征态的矩阵元满足 其中与m,m及q无关，而为CG系数.n该定理表明其矩阵元可分为两部分，一部分只依赖于体系的取向而与张量的 具体性质无关，另一部分与取向无关，但依赖于张量及径向分布。3）投影定理：n投影定理的应用今后会涉及。现讨论Wigner-Eckart定理的简单应用。na)对标量S，则 即标量不改变j,mnb)对矢量k=1，q=1,0,-1，由CG系数知3.10自旋关联测量和Bell不等式 一、自旋单态的关联n考虑自旋单态的双电子体系：n测电子1的自旋，其向上或下的几率各

4、为50%.但若该自旋向上(过滤)，则电子2的自旋必向下(态的要求)n若电子对分开过程不受作用，该关联在它们远离时仍成立：A测量粒子1的自旋后可预言B的测量结果；但A若不做测量，则B的结果则是50%Sz或Szn该关联可进一步表示为：n若A测Sz，B得50%Sx或SxnA测Sx,则B的Sx结果与A的结果有100%关联。nA不测，则B有Sx和Sx各50%几率n即B的测量结果依赖于A的测量 二、Einstein定域性原理（EPR佯谬）nEinstein等反对以上关于自旋关联测量的解释,认为：nLocality Principle:The real factual situation of the sy

5、stem S2 is independent of what is done with the system S1,which is spatially separated from the former.量子力学理论是不自洽的n“If,without in any way disturbing a system,we can predict with certainty the value of a physical quantity,then there exists an element of physical reality corresponding to this physical

6、 quantity.量子力学对于物理实在的描述是不完备的 量子力学的几率解释是导致上述怪异结果的原因，在找出隐参数后或加入其它考虑后可将量子理论完善。三、Bell不等式不等式 nBell指出，基于Einstein的定域性原理可推出与量子力学预言所矛盾的关于自旋关联测量的不等式，从而可在实验上验证之。有人认为Bell不等式是二十世纪六十年代至今最重要的量子力学理论发展。na)基本模型：尽管Sx和Sz不能同时测量，但对大量的自旋1/2粒子，其中一部分具有如下特性：若测Sz，必有Sz+，若测Sx,必有Sx-。我们称这种粒子类型为（z+,x-）。自旋单态有各25%的4种粒子对粒子1，粒子2：(z+,x

7、-),(z-,x+);(z+,x+),(z-,x-);(z-,x+);(z+,x-);(z-,x-),(z+,x+)n这种分析隐含有一重要假定，即A的测量结果与B测量无关。因此此模型已将Einstein局域性原理（及隐参数）考虑在内。b）三分量模型n对三非平行单位矢量，a,b,c，用(a-,b+,c+)表示测Sa结果为“-”、测Sb结果为“+”、测Sc结果为“+”的粒子。由于总自旋为0，其配对粒子必为(a+,b-,c-)。因此，任一粒子必为下表中的八种粒子对立之一。这八种粒子组合相互排斥无交叠。N3+N4(N2+N4)+(N3+N7)Bell不等式：P(a+,b+)P(a+,c+)+P(c+,b+)P(a+,b+)表示测得粒子1为a+、同时粒子2为b+的几率四、Bell不等式与量子力学的矛盾n对自旋单态,若粒子1为a+(1/2几率),则粒子2为a-,故 .nBell不等式变为：n上式常不成立，即量子力学与Bell不等式相冲突。n由于各种几率可测，故可用实验验证。n实验证明量子力学是正确的！注：这并未证明Einstein的定域性原理必错无疑，除非证明了任何用定域性原理的理论都给出Bell不等式。