2023年线性代数教案模板（）.docx

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1、2023年线性代数教案模板（）第1篇：线性代数教案第一章线性方程组的消元法与矩阵的初等变换教学目标与要求1.了解线性方程组的基本概念2.掌握矩阵的三种初等变换 教学重点运用矩阵的初等变换解一般的线性方程组 教学难点矩阵的初等变换 线性方程组的基本概念一、基本概念定义：m个方程n个未知数的线性方程组为如下形式：a11x1+a12x2+L+a1nxn=b1ax+ax+L+ax=bnn2 (1) LLLLLLLLLLLLam1x1+am2x2+L+amnxn=bm称(1)为非齐次线性方程组；当b1=b2=L=bm=0时则称为齐次线性方程组。方程组(1)a12a22Mam2La1nLa2n为系MLam

2、na11a21TA=的一个解为：x=(c1,c2,L,cn)（或称为解向量）；此时称Mam1a11a12La1na21a22La2n数矩阵，称B=MMMam1am2Lamn二、线性方程组的消元法b1b2为增广矩阵。 Mbm2x1-x2+3x3=1例1：解线性方程组4x1+2x2+5x3=42x+2x=6312x1-x2+3x3=12x1-x2+3x3=12x1-x2+3x3=1解：4x2-x3=2，x2-x3=5，x2-x3=5；x-x=54x-x=23x=-18232332x1-x2+3x3=12x1-x2=192x1=18x1=9x2-x3=5，x2=-1，x2=-1，x2=-1x=-6x

3、=-6x=-6x=-63333从上面可以看出，整个消元过程和回代过程都只与x1,x2,x3的系数有关，且仅用了以下3种变换：交换两行；某行乘k倍；某行乘k倍加至另一行（即初等行变换）。故我们隐去x1,x2,x3,=，得到一个数字阵（即矩阵B），对B进行初等行变换：2-1312-1312-131B=425404-1201-15202601-1504-1212-1312-10192-1301-1501-15010-1 003-18001-6001-61009010-1010-1 001-6001-612-131009其中01-15称为行阶梯形矩阵，010-1称为行最简形矩阵。003-18001-6

4、三、小结例1告诉我们求解一般的线性方程组的基本方法：对其增广矩阵B进行3种初等行变换，把它变为行阶梯形矩阵，再最终变成行最简形矩阵，然后从中读出所需的解。四、一般解和通解x1+2x2-x3+2x4=1例2：解方程组2x1+4x2+x3+x4=5-x-2x-2x+x=-42341解：2-12112-12112-1211B=003-33003-33-1-2-21-400-33-30000012-121001-11001-11 0000000000即x1+2x2+x4=2x1=2-2x2-x4，亦即一般解为，其中x2,x4为自由未知量。x3-x4=1x3=1+x4x1=2-2c1-c2x=c21令x

5、2=c1,x4=c2，得方程组的通解为x3=1+c2x4=c2注意：自由未知量的取法并不唯一。a11x1+a12x2+L+a1nxn=0ax+ax+L+ax=0nn2、定理：在齐次线性方程组中，若mn（即方程LLLLLLLLLLLLam1x1+am2x2+L+amnxn=0的个数小于未知数的个数），则它必有非零解。五、习题P11 T1(2)T2 矩阵的初等变换一、矩阵及其初等变换1、定义：称由mn个数aij(i=1,2,L,m;j=1,2,L,n)排成的m行n列的数表a11a21A=Mam1a12a22Mam2La1nLa2n为矩阵，简记为A=(aij)mn。 MLamn二、矩阵的初等行(列)

6、变换交换两行(列)； 某行(列)乘k倍；某行(列)乘k倍加至另一行(列)。三、矩阵的标准形定理：任意一个mn的矩阵A，总可以经过初等变换（包括行变换和列变换）化为如10M下的标准形：F=00M00L00L01L00L0MMMMEr0L10L0即AmnF=O0L00L0MMMM0L00L0O O其中1的个数r就是行阶梯形矩阵中非零行的行数。四、习题P18T1(4) (5)T2(1)T3 P19 总复习题：T3T4第二章行列式教学目标与要求1.会用对角线法则计算二阶行列式和三阶行列式2.理解排列、逆序数的概念，掌握n阶行列式的定义及其重要性质 3.理解并会灵活运用行列式的展开公式，掌握范德蒙德行列

7、式的结论 4.掌握克拉默法则及其应用 教学重点阶行列式的重要性质阶行列式展开公式的运用以及范德蒙德行列式的结论3.克拉默法则的运用 教学难点阶行列式的重要性质及其展开公式 2.克拉默法则的运用 二阶和三阶行列式一、二阶行列式a11x1+a12x2=b1a11a121、引例：对于线性方程组（1），其系数矩阵为A= a21x1+a22x2=b2a21a22用消元法解得 (a11a22-a12a21)x1=b1a22-b2a12（2）(a11a22-a12a21)x2=b2a11-b1a21a12=a11a22-a12a21称为二阶行列式，记D=A=detAa12a11b1，D2= a22a21b2

8、2、定义：D=a11a21a22a11a12b1Dx1=D1那么（2）可以表示为，其中D=，D1=aab2Dx=D2从而x1=二、三阶行列式 D1D,x2=2。 DDa11x1+a12x2+a13x3=b1a11a12ax+ax+ax=b1、定义：对于三元线性方程组211a，记A=a21ax+ax+ax=ba331a32a11称D=A=detA=a21a13 a23，a33a12a22a32a13a23=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 a33a31-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31 为三阶行列式。a112、三对角线法则（记忆）：D=a21a

9、12a22a32a13a11a23a21a33a31a12a22 a32a31三、习题P25 T1(2)(3)(5)T2T3 n阶行列式的定义和性质一、排列与逆序数1.定义1：由1,2,L,n组成的一个有序数组称为一个n级排列。（n级排列共有n!个） 定义2：在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数，记作t。)=4+0+2+1+0=7（奇排列）例：t(； )=14+1+2+1+0=8（偶排列）t(5243。定理：对换改变排列的奇偶性；在全部n级排列中，奇、偶排列的个数相等，各有二、n阶行列式的定义

10、n!个。 21.定义：n阶矩阵A=(aij)nna11a=21Mam1a12a22Mam2La1nLa2n，则n阶行列式定义如下： MLamna11 D=A=a12La1np1p2Lpna21Man1a22La2n=MMan2Lann(-1)t(p1p2Lpn)a1p1a2p2Lanpn这里，表示对1,2,L,n这n个数的所有排列p1p2Lpn求和。即n阶行列式是指n!项取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和。2、例：（常用结论）a11（1）a11a22Oann0=a11a22Lann=M0n(n-1)2a12La1na110L00 Ma22La2na21=MOMM0Lannan1a22LMO

11、an2Lannl1（2）l2N=(-1)l1l2Llnln3、n阶行列式的等价定义定理：D=t1+t2(-1)ai1j1ai2j2Lainjn；其中t1为行标排列i1i2Lin的逆序数，t2为列标排列j1j2Ljn的逆序数。三、行列式的性质设n阶矩阵A=(aij)nn的行列式为D=A，则D有如下性质：TA=A；交换两行（列），则D变号；提公因子：某行(列)所有元素的公因子可以提到D的外面。特别地，若某行（列）为0，则D=0；若某两行（列）成比例，则D=0。 拆和：若D中某行（列）的元皆为两项之和，则D等于两个行列式的和。 某行（列）乘k倍加至另一行（列），则D不变。123例：如=-234；如3

12、-39=321-13如456=123+333；1-1-21-1-21-1-如-23-3-4=0-1-2=0-1-2=0-1-2=0注意：计算行列式的常用方法： (1)利用定义；(2)利用性质把行列式化为上(下)三角形行列式，从而算得行列式的值； (3)利用展开公式(下一节)。四、习题P36T1T4T5(3)(4)(8)T6(1) 行列式的展开公式一、余子式与代数余子式1、定义：在n阶行列式det(aij)中，划去元aij所在的第i行和第j列的元后，剩下的元按原来的顺序所构成的n-1阶行列式称为aij的余子式，记作Mij；又记Aij=(-1)i+jMij，称Aij为aij的代数余子式。142.如

13、：中，a11=1的余子式为M11=412，代数余子式为 A11=(-1)1+1M11=M11，a21=4的余子式为M21=412，代数余子式为341A21=(-1)2+1M21=-M21，二、展开公式定理：n阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和。即可按第i行展开D=ai1Ai1+ai2Ai2+L+ainAin(i=1,2,L,n)或可按第j列展开D=a1jA1j+a2jA2j+L+anjAnj(j=1,2,L,n)14如：=1A11+2A12+3A13+4A14=1A11+4A21+3A31+2A41 212、讲解P42例2和例3三、范德蒙德行列式1x1Dn=x1

14、2Mx1n-1 1x22x2Mn-1x21x32x3M1LL1xn2=xnM1ijn(xj-xi)n-1n-1x3Lxn推论：行列式某行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即ai1Aj1+ai2Aj2+L+ainAjn(ij) 或a1iA1j+a2iA2j+L+aniAnj(ij)11例证：如=1A11+2A12+3A13+4A14=a21A11+a22A12+a23A13+a24A14=021四、习题P46T2(3)(4)(5) 克拉默法则一、克拉默法则定理1：含有n个未知数x1,x2,L,xn与n个方程的线性方程组a11x1+a12x2+L+a1nxn=b1ax

15、+ax+L+ax=bnn2(1)LLLLLLLLLLLLan1x1+an2x2+L+annxn=bn称(1)为非齐次线性方程组；当b1=b2=L=bn=0时称为齐次线性方程组。如果线性方程组(1)的系数行列式D=A0（这里A=(aij)nn），那么(1)有唯一解，且解为xj=DjD(j=1,2,L,n)，其中Dj(j=1,2,L,n)是把D中第j列元素用方程组右端的常数项替代后所得到的n阶行列式。推论：(1)如果线性方程组(1)无解或至少有两个不同的解，那么它的系数行列式D=0。(2)如果齐次线性方程组的系数行列式D0，那么它只有零解；如果齐次线性方程组有非零解，那么它的系数行列式D=0。注意

16、：用克拉默法则解线性方程组的两个条件：方程个数等于未知数个数；系数行列式不等于零。克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解和已知的系数以及常数项之间的关系。它主要适用于理论推导。二、习题P50T2 T3 ；P51 总复习题：T1 T2 T3T6第三章矩阵教学目标与要求1.理解矩阵的概念，掌握矩阵的3种运算(加法、数乘、乘法)，以及它们的运算律2.熟记几种特殊矩阵(单位阵、对角阵、数量矩阵、三角阵、转置矩阵、对称和反对称阵)及其性质，掌握方阵行列式的性质3.掌握伴随矩阵和逆矩阵的定义及其性质，熟悉逆矩阵的运算规律 4.了解分块矩阵的运算律，以及常用结论5.理解初等矩阵与初等变换之间的关系，掌

17、握初等变换求逆矩阵的方法 6.掌握矩阵的秩的概念及其性质，会用初等变换求矩阵的秩 教学重点1.矩阵乘法的运算律和方阵行列式的性质2.逆矩阵和伴随矩阵的运算性质，以及初等变换法求逆矩阵3.矩阵的秩的性质，以及初等变换法求矩阵的秩 教学难点1.逆矩阵的概念，以及求逆的方法 2.矩阵的秩的概念，以及求秩的方法 矩阵的概念及其运算一、矩阵的概念1、定义：称由mn个数aij(i=1,2,L,m;j=1,2,L,n)排成的m行n列的数表a11a21A=Mam1a12a22Mam2La1nLa2n为矩阵，简记为A=(aij)mn=Amn。 MLamn矩阵的相等：Amn=Bmnaij=bij(i=1,2,L,

18、m;j=1,2,L,n)b1b2行矩阵（行向量）：A=(a1,a2,L,an)；列矩阵（列向量）：A=Mbn二、矩阵的运算1、矩阵的加法定义1：设A=(aij)mn，B=(bij)mn，则A+B=(aij+bij)mn注意：两个矩阵是同型矩阵时才能进行加法运算。矩阵的加法满足下列运算律(设A,B,C都是mn矩阵)： (1) 交换律：A+B=B+A；(2) 结合律：(A+B)+C=A+(B+C) (3) 负矩阵A+(-A)=0，规定减法运算：A-B=A+(-B)2、矩阵的数乘la11la21定义2：数l与矩阵A的乘积记作lA或Al，规定为lA=Mlam1la12Lla1nla22Lla2nMla

19、m2MLlamn；矩阵的数乘满足下列运算律(设A,B都是mn矩阵，l,m为数)： (1)(lm)A=l(mA)；(2)(l+m)A=lA+mA； (3)l(A+B)=lA+lB；(4)1A=A； (5)lA=0l=0或A=03、矩阵的乘法定义3：设A=(aij)ms，B=(bij)sn,那么矩阵A与矩阵B的乘积是一个mn矩阵C=(cij)mn，其中cij=ai1b1j+ai2b2j+L+aisbsj=aikbkj(i=1,2,L,m;j=1,2,L,n)k=1s记为Cmn=AmsBsn（A的列数等于B的行数）。例1：求矩阵A=4-242与B=-3-6的乘积AB与BA。 1-2 解：AB=4-1

20、6-32-242 =161-2-3-68BA=4-24002=AB -3-61-200例1说明：矩阵的乘法不满足交换律，即一般地ABBA。 若AB=BA，则称方阵A与B可交换。 矩阵的乘法满足下列运算律：(1)结合律：(AB)C=A(BC)(2)l(AB)=(lA)B=A(lB) (3)分配律：A(B+C)=AB+AC，(B+C)A=BA+CA例2：举例说明下列命题是错误的 （1）若A=0，则A=0；2（2）若A=A，则A=0或A=E； 2（3）若AX=AY，且A0，则X=Y。11101010解：（1）A=（2）A=（3）A=X=-1-1；00；00,Y=01。三、方阵的幂及方阵多项式1、定义

21、：设A是n阶方阵，则A1=A,A2=AA,L,Ak+1=AkAklk+lklkl方阵的幂满足的运算律：(1)AA=A；(2)(A)=A2、方阵多项式设f(x)=a0xm+a1xm-1+L+am-1x+am(a00)为m次多项式，A为n阶方阵，则 称f(A)为方阵A的多项式。 f(A)=a0Am+a1Am-1+L+am-1A+amE仍为一个n阶方阵，四、习题P61 T2(3)(4)(5)(8)T3T4T6 特殊矩阵与方阵行列式一、特殊矩阵1、单位矩阵10En=M0l10L=M00L01L0，性质：EA=AE=A MM0L1nn0L2、对角矩阵0l2L0=diag(l1,l2,L,ln)MM0Ll

22、nmm性质：diag(l1,l2,L,ln)m=diag(l1,lm2,L,ln)，m为正整数。3、数量矩阵l0L0lLlE=lE=MM00L4、三角矩阵00，性质：lEA=lAE=lA Mla12La1na11a22La2na21或MMM0Lannan1性质：A=a11a22Lann5、转置矩阵 a110A=M00L0a22L0 MMan2Lann如果A=(aij)mn，则AT=(aij)nm。性质：(1)(A)=A；(2)(A+B)=A+B；(3)(lA)=lA；(4)穿脱原理：(AB)=BA6、对称矩阵和反对称矩阵TT设A=(aij)nn，如果A=A，则称A为对称矩阵；如果A=-A，则称

23、A为反对称TTTTTTTTTT矩阵。二、方阵行列式性质：AB=AB=BA（A,B都是n阶方阵）nA=A nkA=knA三、伴随矩阵定义：n阶行列式A的各个元素的代数余子式Aij所构成的如下矩阵A11A12MA1n称为A的伴随矩阵。A21LAn1A22LAn2MMA2nLAnnn-1*例1：试证：（1）AA*=A*A=AE；（2）当A0时，A=A证明：（1）因为a11a21*故AA=Man1A,i=jai1Aj1+ai2Aj2+L+ainAjn=(i,j=1,2,L,n)0,ija12La1nA11A21LAn1A0L0a22La2nA12A22LAn20AL0=AE MMMMMMMMan2La

24、nnA1nA2nLAnn00LA同理可得A*A=AE。*（2）对A*A=AE两边取行列式，得AA=AE*即 AA=AE=A，所以当A0时，A=A*nnn-1。四、习题P69 T1T2T6T7T8(2) 逆矩阵一、逆矩阵1、定义：对于n阶方阵A，如果有一个n阶方阵B，使AB=BA=E-1 则称A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵，记为B=A。2、可逆的判定定理定理：方阵A可逆A0；当A可逆时，A=-11* A，其中A*为A的伴随矩阵。A=E。 证明：必要性.因为A可逆，即存在A，使AA-1-1-1-1故AA=AA=E=1， 所以A0充分性.由的例1可知 AA=AA=AE；因为A0，故有*A1*1

25、*A=AA=E AA=1*A。A按照逆矩阵的定义，即有A-1注意：当A0时，称A为非奇异矩阵，否则称A为奇异矩阵。可见，可逆矩阵就是非奇异矩阵。同时，定理也提供了一种求逆矩阵的方法伴随矩阵法（公式法）。-13、推论：若AB=E（或BA=E），则B=A。证明：AB=AB=E=1，故A0，从而A存在，于是-1B=EB=(A-1A)B=A-1(AB)=A-1E=A-1二、逆矩阵的运算律方阵的逆矩阵满足下列运算律：若n阶方阵A可逆，则A也可逆，且(A)若A可逆，数l0，则lA可逆，且(lA)-1-1-1-1=A；1=lA-1；-1若A,B均为n阶可逆方阵，则AB也可逆，且(AB)若A可逆，且AB=AC

26、，则B=C； 若A可逆，则A也可逆，且(A)T； =B-1A-1（穿脱原理）T-1=(A-1)T；若A可逆，则A也可逆，且(A*)-1=(A-1)*；若A可逆，则(A*)T=(AT)*；-1若A可逆，则A=A-1*若A,B均为n阶可逆方阵，则(AB)*=B*A*（穿脱原理）证明： 因为AA-1=E，由推论可知，(A-1)-1=A因为lA1lA-1=AA-1=E，由推论可知，(lA)=-11lA-1-1(AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AEA-1=AA-1=E，由推论有，(AB)-1-1因为A可逆，则AAB=AAC，即EB=EC，故B=C=B-1A-1AT(A-1)T=(A-1A)

27、T=ET=E，由推论有，(A)因为A可逆，故A-1T-1=(A-1)T=1*AA1A，且A*=A*=E，从而(A*)-1=A； AAAA-1又A(A)=(A)A-1-1*-1*=A-1E，即(A-1)*=AA-1E=1A A所以(A)*-1=(A-1)*。T*TT-1-1T因为(A*)T=(AA-1)T=A(A-1)T， (A)=A(A)=A(A)所以(A)=(A)-1-1-1因为AA=E=1， 即AA=1，所以A=*TT*1-1=A A由AB=AB0可知，AB也可逆。又(AB)(AB)*=ABE，所以(AB)*=AB(AB)-1=ABB-1A-1=BB-1AA-1=B*A*ab-1例1、问A

28、=cd满足什么条件时可逆，并求A。解：A=ad-bc，A=-c*d-b，当A=ad-bc0时，A可逆； a且 A -1=1d-b ad-bc-ca例2、设A是三阶方阵，且A=解：(3A)-1-18A*=1-1*，求(3A)-18A 271-112A-18AA-1=A-1-A-1 333=(-1)A-1=(-1)3A-11-1 33=-27A=-1例3、解矩阵方程2571913X=411 解：X=25-17193-5719113411=-12411=1三、习题P75 T2T3(3)T6T7T923 分块矩阵和初等矩阵一、分块矩阵设Ann=OA1OB1，B=nnOA2O，其中Ai与Bi(i=1,2

29、)是同阶的子方块，则 B2O A2B2O -1A2-1A2 OA1+B1A+B=OA1kA=OkA1B1；AB=OA2+B2OA1-1O-1；A=kOA2-1OA=A；A12A2A1O-1=AO1二、初等矩阵1、定义：由n阶单位阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为n阶初等矩阵。2、三种初等变换对应三种初等矩阵(1)交换第i行和第j行；对应En(i,j) (2)第i行乘k倍；对应En(i(k) (3)第j行乘k倍加至第i行；对应En(i,j(k)24例1、将A=13化为标准形。解：A=2413131310=B 13240-20101则010011-310-1/2-2110A=B 0112即 E2(

30、1,2(-3)E2(2(-)E2(2,1(-2)E2(1,2)A=B3、初等变换与初等矩阵的关系定理1：设A是一个mn矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于对A左乘一个相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于对A右乘一个相应的n阶初等矩阵。三、初等变换求逆矩阵定理2：对任意一个mn矩阵A，总存在有限个m阶初等矩阵P1,P2,L,Ps和n阶初等矩阵Ps+1,Ps+2,L,Pk，使得P1LPsAPs+1LPk=OErO=Fmn Omn定理3：对于n阶可逆矩阵A，总存在有限个n阶初等矩阵P1,L,Ps,Ps+1,L,Pk，使得P1LPsAPs+1LPk=Enn定理4：设A为可逆矩阵，则有限个

31、初等矩阵P1,P2,L,Pk，使得A=P1P2LPk 推论：mn矩阵A与B等价存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使PAQ=B，记为AB。（等价关系具有反身性、对称性、传递性）因此，由定理3可知，方阵A可逆AE由定理4可知，方阵A可逆A=P,2,L,k为初等矩阵) 1P2LPk(Pi,i=1由推论可知，AB存在可逆矩阵P,Q，使PAQ=B1、求逆方法的推导：-1-1-1由定理4的A=P1P2LPk，得PkLP2P1A=E（1） -1-1-1-1（1）式两端分别右乘A，得PkLP2P1E=A（2）-1上述两式表明，用一样的初等行变换将A变成E的同时，会将E变成A。2、求逆矩阵的基本方法初等变换法

32、：(A|E)初等行变换(E|A-1)或(3、解矩阵方程AX=B或XA=B（A可逆）初等变换法：(A|B)初等行变换(E|A-1B)或()(四、习题P91 T1T2(1)(2)T3-1AE)初等列变换(-1) EAAB初等列变换E) BA-1 矩阵的秩一、k阶子式的概念2m,n)，其交叉处的k个元素定义：在mn矩阵A中，任取k行k列(1kmin按原来的位置构成的一个k阶行列式，称为矩阵A的一个k阶子式。11111111例：A=1234，=1,=0等都是A的一个2阶子式。12000000kk可知，mn矩阵A的k阶子式共有Cm个。 Cn二、矩阵的秩定义：矩阵A的非零子式的最高阶数，称为矩阵A的秩，记

33、为R(A)。若R(A)=r，则A中至少有一个r阶子式不为0，且所有r+1阶子式都为0。三、矩阵秩的性质m,n 1R(A)min R(A)=R(A) R(A)=rA的行阶梯形含r个非零行A的标准形F=O 若AB则R(A)=R(B)（矩阵的初等变换不改变矩阵的秩） 若P,Q可逆，则R(PAQ)=R(A) maxA,BR(A,B)R(A)+R(B)；特别地，当B为列向量b时，有R(A)R(A,b)R(A)+1 R(A+B)R(A)+R(B) R(AB)minR(A),R(B) 若AmnBns=O，则R(A)+R(B)n例1、设A为n阶矩阵A的伴随矩阵，证明 *TErO OR(A)=nn,R(A*)=

34、1,R(A)=n-10,R(A)n-1证明：* (1)当R(A)=n时，则A可逆，即A0；由AA=AE知A=An-10。故A*可逆，从而R(A)=n(2)若R(A)=n-1，则AA=AE=0。故R(A)+R(A)n，R(A)n-R(A)1。又由R(A)=n-1知矩阵A中至少有一个n-1阶子式不为零，也就是说A中至少有一个元素不为零。所以R(A)1，从而有R(A)=1。*(3)若R(A)n-1，则A的任意一个n-1阶子式都为零。故A=0，即R(A)=0。*2-11-13例2、求A=4-2-232的秩2-15-612-11-132-11-132-11-13解：4-2-23200-45-40045-

35、42-15-61004-5-20000-6故R(A)=312例3、已知矩阵A=1212a32314的秩为3，求a的值01153554a3112a311200-11-2a-200-11-2a-2解：A 0-1-11-a20-1-11-a20115-2a-20006-3a0a31120-1-11-a2因为R(A)=3，所以6-3a=0，即a=2 00-11-2a-20006-3a0四、习题P96 T2T3(2)T7T8P97 总复习题：T1 T2T3T4T5第四章线性方程组理论教学目标与要求1.掌握齐次和非齐次线性方程组解的判定定理和解的结构定理2.理解向量组的线性相关与线性无关的概念，以及它们的

36、判定方法3.掌握向量组的秩和最大无关组的概念，会求向量组的秩4.理解基础解系的概念，会求齐次与非齐次线性方程组的通解 教学重点1.齐次与非齐次线性方程组解的判定定理以及通解的求法 2.向量组线性相关与线性无关的判定方法3.向量组的最大无关组的求法和秩的求法 教学难点1.齐次与非齐次线性方程组解的判定方法2.向量组秩的概念及其求法3.基础解系的概念及其求法 线性方程组有解的条件一、线性方程组解的判定1、非齐次线性方程组定理1：对于非齐次线性方程组Amnx=b（1），则 有唯一解R(A)=R(A,b)=n 有无穷多解R(A)=R(A,b)n 无解R(A)R(A,b)2、齐次线性方程组定理2：对于齐

37、次线性方程组Amnx=0（2），则 仅有零解R(A)=n 有非零解R(A)n推论：当m=n时，Annx=0有非零解R(A)nA=0定理3：矩阵方程AX=B有解R(A)=R(A,B)二、线性方程组的解法x1+2x2+3x3=0例1、求下列线性方程组的通解2x1+5x2+3x3=0x+8x=041301090123012解：253001-3001-3010080-2-3800-98010081090010-8/301-3001-8/9001-8/9x1=-8x4x1-8x8/382x2=x4，令x4=1，得通解为：=k(kR) x8/9331x84x3=x49例2、问l取何值时，下列线性方程组(1

38、)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解。lx1+lx2+2x3=1lx1+(2l-1)x2+3x3=1lx1+lx2+(l+3)x3=2l-1ll2ll2解：A=l2l-13=0l-11=l(l-1)(l+1) lll+300l+1由克拉默法则知，当l0,l-1,l1时，方程组有唯一解。当l=0时，B=00210-1310-10-131002100003-1003-100因R(A)=2，R(B)=3，R(A)R(B)，所以方程组无解。-1-121-1-12当l=-1时，B=-1-33110-210-1-12-3000-4因R(A)=2，R(B)=3，R(A)R(B)

39、，所以方程组无解。11211121当l=1时，B=1131001011010010114100200000因R(A)=R(B)=23，所以方程组有无穷多解。即x-xx1=1-k1=12x=0，令x2=k，得其通解为：x2=k（kR） 3x3=0三、习题P106 T1 T2 T3(2) T4 T5 T6 T731210-52 向量组的线性相关性一、n维向量及其线性运算1.定义：由n个数a1,a2,L,an组成的有序数组称为n维向量。称n1矩阵a1a2a=为n维列向量；其转置aT=(a1,a2,L,an)称为n维行向量。其中ai称为a的第iMan个分量(i=1,2,L,n)。2.运算n维向量的相等

40、；零向量；负向量；加法；数乘二、向量组的线性组合1.向量组定义：由若干个同维的列向量(或行向量)所组成的集合，称为一个向量组。2.向量组与矩阵a1ja2j(j=1,2,L,n)为矩阵A的列设A=(aij)mn，则A=(a1,a2,L,an)，其中aj=Mamjb1b2向量组；或A=，其中bi=(ai1,ai2,L,ain)(i=1,2,L,m)为矩阵A的行向量组。Mbm3.向量组与线性方程组一个线性方程组Amnx=b可以写成：x1a1+x2a2+L+xnan=b4.向量组的线性组合定义：设向量组A:a1,a2,L,am，对于数k1,k2,L,km，我们称k1a1+k2a2+L+kmam为向量组

41、A的一个线性组合，k1,k2,L,km称为这个线性组合的系数。5.线性表示给定向量组A:a1,a2,L,am和向量b，若存在一组数l1,l2,L,lm，使得b=l1a1+l2a2+L+lmam 则称向量b是向量组A的线性组合，也称向量b可以由向量组A线性表示。例：任何一个n维向量a=(a1,a2,L,an)都可以由n维单位向量组：Te1=(1,0,0,L,0)T，e2=(0,1,0,L,0)T，L，en=(0,0,L,0,1)T线性表示。即a=a1e1+a2e2+L+anen。显然，向量b能由向量组A线性表示，也就线性方程组：x1a1+x2a2+L+xnan=b有解。6.定理1：向量b能由向量组A:a1,a2,L,am线性表示的充要条件是R(A)=R(A,b)，其中A=(a1,a2,L,am)。三、向量组的线性相关与线性无关设齐次线性方程组Amnx=0，写成向量形式：x1a1+x2a2+L+xnan=0。若它有非零解，即存在一组不全为零的数k1,k2,L,kn，使得k1a1+k2a2+L+knan=0。因此，我们引入如下概念。1.线性相关与线性无关定义：设有n维向量组A:a1,a2,L,am，如果存在一组不全为零的数k1,k2,L,km使k1a1+k2a2+L+knan=0则称向量组A线性相关