8.5 交错级数、绝对收敛与条件收敛 托马斯微积分课件.ppt

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1、第三节第三节 交错级数，绝对收敛与条件收敛交错级数，绝对收敛与条件收敛则各项符号正负相间的级数称为交错级数交错级数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、交错级数及其审敛法一、交错级数及其审敛法如定理定理8-9.(Leibnitz 判别法判别法)若交错级数满足条件若交错级数满足条件:则级数则级数收敛收敛,且其和且其和 其余项满足其余项满足机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 注注.定理给出了截断误差的估计，定理给出了截断误差的估计，而例而例1,2表明这样表明这样的估计是谨慎的，即实际误差小于误差估计。的估计是谨慎的，即实际误差小于误差估计。证证:是单调递增有界数列,又故

2、级数收敛于S,且故机动 目录 上页 下页 返回 结束 收敛收敛用Leibnitz 判别法判别法判别下列级数的敛散性:收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?发散收敛收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、绝对收敛与条件收敛二、绝对收敛与条件收敛 1.定义定义:对任意项级数若若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,则称原级收敛,数为条件收敛.均为绝对收敛.例如例如：绝对收敛；则称原级数条件收敛.机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理7.绝对收敛的级数一定收敛.证证:设根据比较审敛法显然收敛,收敛也收敛且收敛,令机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意注意:如下的比较审敛法是不对的

3、！反例：发散，收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束 和同敛散。若则X正项级数审敛法不能想当然的推广到一般的数项级数。正项级数审敛法不能想当然的推广到一般的数项级数。例例7.证明下列级数绝对收敛:证证:(1)而收敛,收敛因此绝对收敛.机动 目录 上页 下页 返回 结束 判定级数绝对收敛其实就是判定正项级数的收敛.(2)令因此收敛,绝对收敛.机动 目录 上页 下页 返回 结束 其和分别为 2.绝对收敛级数区别于条件收敛级数的性质.性质性质1.绝对收敛级数的更序级数仍然绝对收敛，且其和不变。*性质性质2.(柯西定理)(绝对收敛级数的乘法)则柯西乘积 也绝对收敛,设级数与都绝对收敛,其和为注：1.其实按任意方式构成的乘积级数都是绝对收敛的.机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.条件收敛级数不具有这两条性质.(同济第三版P246(4)式)作业作业 P682从1至43的单数第三节 目录 上页 下页 返回 结束 补充补充.则级数(A)发散;(B)绝对收敛;(C)条件收敛;(D)收敛性根据条件不能确定.分析分析:(B)错;又C机动 目录 上页 下页 返回 结束