CHAPTER1随机事件及其概率.ppt

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1、返回概率统计及其应用概率统计及其应用参考书参考书1.概率论与数理统计概率论与数理统计浙江大学编，浙江大学编，高等教育出版社。高等教育出版社。2.2.概率论与数理统计概率论与数理统计陈希孺编，陈希孺编，科学出版社。科学出版社。3.3.概率论与数理统计概率论与数理统计同济大学编，同济大学编，高等教育出版社。高等教育出版社。返回第第1 1章章 随机事件及其随机事件及其概率概率第第1.11.1节节 随机事件随机事件第第1.21.2节节 事件的概率事件的概率第第1.31.3节节 条件概率与独立性及其应用条件概率与独立性及其应用返回返回随机现象随机现象：掷一枚硬币掷一枚硬币,观察向上的面观察向上的面;某人

2、射击一次某人射击一次,考察命中环数考察命中环数;某人射击一次某人射击一次,考察命中情况考察命中情况;从一批产品中抽取一件从一批产品中抽取一件,考察其质量考察其质量;确定性现象确定性现象：抛一石块抛一石块,观察结局观察结局;导体通电导体通电,考察温度考察温度;异性电菏放置一起异性电菏放置一起,观察其关系观察其关系;1.1 随机事件随机事件返回概率统计概率统计的研究对象的研究对象随机现象随机现象 在条件相同的一系列重复观察中，会时而出现在条件相同的一系列重复观察中，会时而出现时而不出现，呈现出不确定性，并且在每次观时而不出现，呈现出不确定性，并且在每次观察之前不能准确预料其是否出现，这类现象称察之

3、前不能准确预料其是否出现，这类现象称之为随机现象。之为随机现象。随机现象的统计规律性随机现象的统计规律性 在相同条件下多次重复某一实验或观察时，其在相同条件下多次重复某一实验或观察时，其各种结果会表现出一定的量的规律性，这种规各种结果会表现出一定的量的规律性，这种规律性称之为统计规律性。律性称之为统计规律性。概率统计是研究随机概率统计是研究随机现象统计规律性的一门科学。现象统计规律性的一门科学。返回一一.基本概念基本概念1.1.随机试验（随机试验（E E）对随机现象进行的实验与观察对随机现象进行的实验与观察.它具有三个特点：它具有三个特点：重复性重复性,明确性明确性 ,随机性随机性.2.随机试

4、验的样本点随机试验的样本点（）随机试验的每一个随机试验的每一个可能结果可能结果.3.随机试验的样本空间（随机试验的样本空间（）随机试验的所随机试验的所有样本点构成的集合有样本点构成的集合.掷一颗骰子的试验中掷一颗骰子的试验中=1，2，3，4，5，6返回 5.基本事件基本事件的单元素子集，即每个样本点构的单元素子集，即每个样本点构成的集合成的集合.4.事件事件 某种现象或情况某种现象或情况 随机事件随机事件可能发生也可能不发生的事件，可可能发生也可能不发生的事件，可看成看成的子集，常用的子集，常用A、B、C表示表示.如如掷一颗骰子掷一颗骰子的试验中的试验中A=出现奇数点，则出现奇数点，则A=1,

5、3,5为为的子集。的子集。通常，随机事件简称为事件。通常，随机事件简称为事件。6.必然事件必然事件（）7.不可能事件不可能事件（）A返回二二.事件的出现（或发生事件的出现（或发生）称在一次试验中事件称在一次试验中事件A出现（发生）当且仅出现（发生）当且仅当此次试验的结果（样本点或基本事件）当此次试验的结果（样本点或基本事件）包含在包含在A中中.注意注意：1.在一次试验中，某个事件可能出现也可能在一次试验中，某个事件可能出现也可能不出现；不出现；2.在一次试验中，一定有一个样本点出现，在一次试验中，一定有一个样本点出现，且仅有一个样本点出现且仅有一个样本点出现.返回 课课 堂堂 练练 习习写出下

6、列各个试验的样本空间写出下列各个试验的样本空间1 1 掷一枚均匀硬币，观察正面（掷一枚均匀硬币，观察正面（H H）反反 面（面（T T）出现的情况；出现的情况；2.2.将一枚硬币连抛三次，观察正面和反面将一枚硬币连抛三次，观察正面和反面 出现的情况；出现的情况；3.3.将一枚硬币连抛三次，观察正面将一枚硬币连抛三次，观察正面 出现的出现的 情况情况.返回4.袋中有编号为袋中有编号为 1，2，3，n 的球的球,从从 中任取一个，观察球的号码；中任取一个，观察球的号码；5.从自然数从自然数 1，2，3，N（N 3）中中 接连随意取三个接连随意取三个,每取一个还原后再每取一个还原后再 取取 下一个。

7、若是不还原呢？若是一次就取下一个。若是不还原呢？若是一次就取 三个呢？三个呢？6.接连进行接连进行n次射击次射击,记录命中次数记录命中次数.若是记若是记 录录n次射击中命中的总环数呢？次射击中命中的总环数呢？7.观察某条交通干线中某天交通事故的次观察某条交通干线中某天交通事故的次 数。数。返回A A含于含于B B中中,表示若表示若事件事件A A出现出现,事件事件B B一定出现一定出现（A A是是B B的子集）的子集）.A AB,BA A=BB,BA A=BA A与与B B的并的并(和和).).表示表示事件事件A,BA,B至少有一个出现至少有一个出现.推广推广:A+B+C表示表示事件事件A,B,

8、C至少有一个出现至少有一个出现.三、事件的关系与运算三、事件的关系与运算 定义一个事件：指出该事件何时发生何时不发生定义一个事件：指出该事件何时发生何时不发生AB ABA返回A A与与B B的交的交(积积).).表示表示事件事件A A和和B B同时出现同时出现.推广推广:ABC :ABC 表示表示事件事件A,B,C 同时出现同时出现表示事件表示事件A A和和B B不能同时出现不能同时出现,称称A A与与B B互斥互斥（或互不相容）（或互不相容）.称事件称事件A A和和B B为为对立事件对立事件,记为记为B=A B=A A AB BAB AA每次试验每次试验A,A A,A 一定有一个发生，且只有

9、一个发生。一定有一个发生，且只有一个发生。返回表示表示事件事件A A出现出现,而事件而事件B B不出现不出现.且且表示表示事件事件A A和事件和事件B B都不出现都不出现.表示表示事件事件A A和事件和事件B B至少有一个不出现至少有一个不出现.注注 以上结果可推广为以上结果可推广为A B返回事件之间的关系与运算完全和集合之间事件之间的关系与运算完全和集合之间的关系与运算一致，只是术语不同而已。的关系与运算一致，只是术语不同而已。比如：概率论中的必然事件（样本空间）比如：概率论中的必然事件（样本空间）在集合论中是全集，概率论中的不可能在集合论中是全集，概率论中的不可能事件在集合论中是空集，概率

10、论中的事事件在集合论中是空集，概率论中的事件在集合论中是子集，概率论中的逆事件在集合论中是子集，概率论中的逆事件、和事件、积事件、差事件在集合论件、和事件、积事件、差事件在集合论中分别是余集、并集、交集、差集，等。中分别是余集、并集、交集、差集，等。返回记记 号号 概概 率率 论论 集集 合合 论论 样本空间样本空间,必然事件必然事件 空间空间,全集全集 不可能事件不可能事件 空集空集 样本点样本点 元素元素 A 事件事件 集合集合A是是B的子事件的子事件 A是是B的子集的子集A与与B是相等事件是相等事件 A与与B是相等集合是相等集合A与与B互斥互斥(互不相容互不相容)A与与B无相同元素无相同

11、元素A与与B的和的和(并并)事件事件 A与与B的并集的并集A与与B的积的积(交交)事件事件 A与与B的交集的交集A与与B的差事件的差事件 A与与B的差集的差集A的对立事件的对立事件(逆事件逆事件)A的余的余(补补)集集返回 课堂练习课堂练习1.设设A、B、C为任意三个事件为任意三个事件,试用试用 它们表示下列事件它们表示下列事件:A出现，出现，B、C不出现；不出现；A、B出现，出现，C不出现；不出现；A、B、C都出现；都出现；A、B、C都不出现；都不出现；A、B、C中恰有一个出现；中恰有一个出现；A、B、C中至少有一个出现；中至少有一个出现；A、B、C中至多有一个出现；中至多有一个出现；A、B

12、、C中不多于一个出现；中不多于一个出现；A、B、C中至少有两个出现；中至少有两个出现；A、B、C中最多有两个出现中最多有两个出现.返回2.若若A是是B的子事件，则的子事件，则A+B=()，AB=()3.设当事件设当事件A与与B同时出现时同时出现时C也出现也出现,则则()A+B是是C的子事件；的子事件；C是是A+B的子事件；的子事件；AB是是C的子事件；的子事件；C是是AB的子事件。的子事件。返回4.设事件设事件A=甲种产品畅销，乙种产品滞销甲种产品畅销，乙种产品滞销，则则A的对立事件为（的对立事件为（）甲种产品滞销，乙种产品畅销；甲种产品滞销，乙种产品畅销；甲、乙两种产品均畅销；甲、乙两种产品

13、均畅销；甲种产品滞销；甲种产品滞销；甲种产品滞销或者乙种产品畅销。甲种产品滞销或者乙种产品畅销。5.设设x表示一个沿数轴做随机运动的质点位表示一个沿数轴做随机运动的质点位 置，试说明下列各对事件间的关系置，试说明下列各对事件间的关系 A=|x-a|，B=x-a（0）A=x20，B=x20 A=x22，B=x19返回1.2 事件的概率事件的概率1.古典概型古典概型 设设为试验为试验E的样本空间，若的样本空间，若（有限性有限性）只含有只含有限个样本点，限个样本点，（等概性等概性）每个基本事件出现的可能性相）每个基本事件出现的可能性相等，则称等，则称E为为古典概型古典概型（或等可能概型）。（或等可能

14、概型）。2.古典概率的定义古典概率的定义 设设E为古典概型，为古典概型，为为E的样本空间，的样本空间，A为任意一个事为任意一个事件，定义事件件，定义事件A的概率的概率 P(A)=AP(A)=A中的基本事件数中的基本事件数 /基本事件总数基本事件总数 (或或 =card(A)/card(card(A)/card()）其中，其中，A中的基本事件数中的基本事件数 称为有利于称为有利于A的基本事件数的基本事件数 刻划某事件在一次试验中出现的可能性大小的指标称为刻划某事件在一次试验中出现的可能性大小的指标称为该事件的概率。它是界于该事件的概率。它是界于0与与1之间的一个实数。之间的一个实数。返回加法原理

15、加法原理完成某件事情有完成某件事情有n类方法类方法,在第一类方法中有在第一类方法中有m1种方种方法法,在第二类方法中有在第二类方法中有m2种方法种方法,依次类推依次类推,在第在第n类类方法中有方法中有mn种方法种方法,则完成这件事共有则完成这件事共有N=m1+m2+mn种不同的方法种不同的方法,其中各类方法彼此其中各类方法彼此独立独立.乘法原理乘法原理完成某件事情需先后分成完成某件事情需先后分成n个步骤个步骤,做第一步有做第一步有m1种方种方法法,第二步有第二步有m2种方法种方法,依次类推依次类推,第第n步有步有mn种方法种方法,则完成这件事共有则完成这件事共有N=m1m2mn种不同的方法种不

16、同的方法,特特点是各个步骤连续完成点是各个步骤连续完成.3.复习复习返回排列与组合排列与组合 非重复的选排列非重复的选排列 从从 n n个不同元素中个不同元素中,每次取出每次取出k k个个不同的元素不同的元素,按一定的顺序排成一列称为选排列按一定的顺序排成一列称为选排列,选排选排列的种数记作列的种数记作 组合组合 从从n n个不同的元素中个不同的元素中,每次取出每次取出k(kn)k(k0,则有则有 P(AB)=P(A)P(B|A),若若P(B)0,则有则有 P(AB)=P(B)P(A|B),推广情形推广情形对对 于于 n 个个 事事 件件 A1,A2,An,若若 P(A1A2An-1)0，则则

17、 有有 P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2An-1)若若P(AB)0,则有则有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)乘法法则一般用于计算乘法法则一般用于计算n个事件同时发生的概率个事件同时发生的概率(2)(2)乘法公式乘法公式返回例例 盒中有盒中有3 3个红球，个红球，2 2个白球，每次从盒中任取个白球，每次从盒中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从盒中连续取球之球颜色相同的球，若从盒中连续取球4 4次次,试求试求第第1 1、2 2次取得白球、次取得白球、第第

18、3 3、4 4次取得红球的概率。次取得红球的概率。返回例如例如 箱中装有箱中装有1010件产品件产品:7:7件正品件正品,3,3件次品件次品,甲买走甲买走1 1件件正品正品,乙要求另开一箱乙要求另开一箱,也买走也买走1 1件正品件正品.记甲取到正品为事件记甲取到正品为事件A,乙取到正品为事件乙取到正品为事件B,则则由由乘法公式即得乘法公式即得P(AB)=P(A)P(B)从从问题的实际意义理解，就是说事件问题的实际意义理解，就是说事件A和事件和事件B出现出现的概率彼此不受影响的概率彼此不受影响.(3)事件的独立性事件的独立性返回定义定义 若事件若事件A与与B满足满足 P(AB)=P(A)P(B)

19、,则称则称A与与B相互独立，简称相互独立，简称A A与与B B独立独立。推论推论1 A.B为两个事件为两个事件,若若P(A)0,则则A与与B独立等价于独立等价于P(B|A)=P(B).若若P(B)0,则则A与与B独立等价于独立等价于P(A|B)=P(A).证明：证明：A,B独立独立P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B)P(B|A)=P(B)注意注意 从直观上讲从直观上讲,A与与B独立就是其中任何一个事件出独立就是其中任何一个事件出现的概率不受另一个事件出现与否的影响现的概率不受另一个事件出现与否的影响.返回证明证明 不妨设不妨设A.B独立独立,则则其他类似可证其他类似可证.推论推论

20、2 在在 A 与与 B,与与 B,A 与与 ，与与 这四对事件中这四对事件中,若有一对独立若有一对独立,则另外三对也相互独立。则另外三对也相互独立。注意注意 判断事件的独立性一般有两种方法判断事件的独立性一般有两种方法:由定义判断由定义判断,是否满足公式是否满足公式;由问题的性质从直观上去判断由问题的性质从直观上去判断.返回定义定义(n n个事件的相互独立性）个事件的相互独立性）设有设有n个事件个事件A1,A2,An,若对任何正整数若对任何正整数m(2mn)以及以及性质性质 若若n n个事件相互独立，则个事件相互独立，则 它们积事件的概率等于每个事件概率的积它们积事件的概率等于每个事件概率的积

21、.则称这则称这n n个事件个事件相互独立相互独立.若若上式仅对上式仅对m=2成立成立,则称这则称这n个事件个事件两两独立两两独立.注意注意 从直观上讲从直观上讲,n个事件相互独立就是其中任何一个事个事件相互独立就是其中任何一个事件出现的概率不受其余一个或几个事件出现与否的影响件出现的概率不受其余一个或几个事件出现与否的影响.它们中的任意一部分事件换成各自事件的对立事它们中的任意一部分事件换成各自事件的对立事 件后，所得的件后，所得的n个事件也是相互独立的。个事件也是相互独立的。返回例例 三个元件串联的电路中三个元件串联的电路中,每个元件发生断电的概率每个元件发生断电的概率依次为依次为0.3,0

22、.4,0.6,且各元件是否断电相互独立且各元件是否断电相互独立,求电路求电路断电的概率是多少断电的概率是多少?解解 设设A1,A2,A3分别表示第分别表示第1,2,3个元件断电个元件断电,A表示电路断电表示电路断电,则则A1,A2,A3相互独立相互独立,A=A1+A2+A3,P(A)=P(A1+A2+A3)=1-0.168=0.832返回课堂练习课堂练习2.甲,乙两人独立地对同一目标射击一 次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被击中,则它是甲击中的概率为()2.设A=甲击中,B=乙击中,C=目标被击中,所求 P(A|C)=P(AC)/P(C)=P(A)/P(A)+P(B)-P(A)P(

23、B)=0.6/0.8=3/4解解 1.1.P(A)=0.6,P(A+B)=0.84,P(|A)=0.4,则P(B)=().所以,P(AB)=0.36,又由P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)得P(B)=P(A+B)-P(A)+P(AB)=0.6返回例例 设设10件产品中有件产品中有4件不合格品，从件不合格品，从 中不放回取两次，中不放回取两次，每次一件，求第二件为不合格品的概每次一件，求第二件为不合格品的概 率为多少？率为多少？解解 设设A=第一次取得不合格品第一次取得不合格品,B=第二次取得不合格品第二次取得不合格品,则则 =(4/10)(3/9)+(6/10)(4/9)=6/152

24、.应用应用全概率公式和全概率公式和Bayes公式公式返回(1)全概率公式全概率公式 设设是随机试验是随机试验E的样本空间的样本空间,事件组事件组 A1,A2,An满足：满足：则则 对于任何一个事件对于任何一个事件B，有有 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(An)P(B|An)证明证明 =P(A1)P(B|A1)+P(An)P(B|An)称公式中称公式中A1,A2,An为完备事件组为完备事件组返回例例 市场上某种商品由三个厂同时供货市场上某种商品由三个厂同时供货,其供应量为其供应量为:甲厂甲厂是乙厂的是乙厂的2 2倍倍,乙、丙两个厂相等乙、丙两个厂相等,且各厂产品的次品率分且各厂产品的次品

25、率分别为别为2%,2%,4%,(1),(1)求市场上该种商品的次品率求市场上该种商品的次品率.(1)从市场上任取一个产品，从市场上任取一个产品，Ai表示取到第表示取到第i 个工厂产品个工厂产品,i=1,2,3,B表示取到次品表示取到次品,由题意得由题意得:P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25,P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04由全概率公式得由全概率公式得:=0.025即即市场上该种商品的次品率为市场上该种商品的次品率为 2.5%.解解返回例例 市场上某种商品由三个厂家同时供货市场上某种商品由三个厂家同时供货,其供应量为其供应量为:甲甲厂

26、家是乙厂家的厂家是乙厂家的2 2倍倍,乙乙.丙两个厂家相等丙两个厂家相等,且各厂产品的次且各厂产品的次品率为品率为2%,2%,4%,(1)2%,2%,4%,(1)求市场上该种商品的次品率求市场上该种商品的次品率.(2)(2)若从市场上的商品中随机抽取一件若从市场上的商品中随机抽取一件,发现是次品发现是次品,求它求它是甲厂生产的概率是甲厂生产的概率.解解(2)分析分析 所求为条件概率所求为条件概率P(A1|B)=P(A1B)/P(B).=0.4即抽取到的即抽取到的次品是甲厂生产的概率为次品是甲厂生产的概率为0.4.注意注意 A1 是完备事件组里的事件是完备事件组里的事件返回(2)贝叶斯贝叶斯(B

27、ayes)公式公式 设设是随机试验是随机试验E的样本空间的样本空间,事件组事件组 A1,A2,An满足，满足，则则 对于任何一个正概率事件对于任何一个正概率事件B，有有 返回例例 每箱产品有每箱产品有10件件,其中次品数从其中次品数从0到到2是等可能的是等可能的.开箱开箱检验时检验时,从中依次抽取两件从中依次抽取两件(不放回不放回),如果发现有次品如果发现有次品,则则拒收该箱产品拒收该箱产品.试计算试计算:(1)一箱产品通过验收的概率一箱产品通过验收的概率;(2)已知该箱产品通过验收已知该箱产品通过验收,则该箱产品中有则该箱产品中有2个次品的概率个次品的概率.解解(1)P(B)=P(A0)P(

28、B|A0)+P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)返回若某个试验由若某个试验由n次基本试验构成次基本试验构成,且具有以下特点且具有以下特点:(1)每次基本试验有且只有两个可能结果：成功、失败每次基本试验有且只有两个可能结果：成功、失败;(2)每次基本试验中每个结果出现的概率不变每次基本试验中每个结果出现的概率不变;(3)基本试验之间相互独立基本试验之间相互独立;(4)在相同条件下在相同条件下,试验可以重复进行试验可以重复进行.则称则称此试验为独立重复试验或贝努里此试验为独立重复试验或贝努里(Bernoulli)试验试验;由由于该试验由于该试验由n次基本试验构成次基本试验构成,故亦称

29、之为故亦称之为n重贝努里试验重贝努里试验.贝努里公式贝努里公式 在在n重贝努里试验中重贝努里试验中,如果如果“成功成功”在每在每次试验中出现的概率为次试验中出现的概率为p,令令Bk=“在在n 次试验中次试验中“成功成功”出现出现k 次次”,则则返回例例 同时掷四颗均匀的骰子同时掷四颗均匀的骰子,试计算试计算:(1)恰有一颗是恰有一颗是6点的概率点的概率;(2)至少有一颗是至少有一颗是6点的概率点的概率.解解 这是一个这是一个4重贝努里试验重贝努里试验,掷每一颗骰子就是一个基本试验掷每一颗骰子就是一个基本试验.每次基本试验中每次基本试验中6点出现的概率是点出现的概率是1/6,所以所以(1)恰有一颗是恰有一颗是6点的概率为点的概率为(2)至少有一颗是至少有一颗是6点的概率为点的概率为