计数原理.doc

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1、计数原理计数原理常考要点与核心问题排列组合排列组合解排列组合题的基本思路：将具体问题抽象为排列组合问题，是解排列组合应用题的关键一步 对“组合数”恰当的分类计算是解组合题的常用方法；是用“直接法”还是用“间接法”解组合题，其前提是“正难则反” ；解排列组合题的基本方法：优限法：元素分析法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；排异法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉分类处理：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类计数原理得出结论； 注意：分类不重复不遗漏分步处理：对某些问题总体不好解决时，

2、常常分成若干步，再由分步计数原理解决； 在解题过程中，常常要既要分类，以要分步，其原则是先分类，再分步插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好 没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间捆绑法：把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素” 全排列，最后再“松绑” ，将特殊元素在这些位置上全排列穷举法：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来；这种方法常用于方法数比 较少的问题解决计数(查数)问题的核心思想1 数(sh)2 乘法，加法原理3 容斥原理(加法原理的推广)4 找对应命题规律 排列组合的知识在高考中

3、经常以选择题或填空题的形式出现，难度属中等二项式定理二项式定理要求 掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题对 二项式定理的考查主要有以下两种题型：1求二项展开式中的指定项问题：方法主要是运用二项式展开的通项公式；2求二项展开式中的多个系数的和：此类问题多用赋值法；要注意二项式系数与项的 系数的区别；命题规律 历年高考二项式定理的试题以客观题的形式出现，多为课本例题、习题迁移 的改编题，难度不大，重点考查运用二项式定理去解决问题的能力和逻辑划分、化归转化 等思想方法为此，只要我们把握住二项式定理及其系数性质，会把实际问题化归为数学 模型问题或方程问题去解决，就可顺利获

4、解*我们在证明二项式展开式时用到了一个有关多项式的结论，希望大家注意：几个多项式相乘得到一个多项式，在合并同类项前，所得的多项式中的每一项是从每 个因子多项式中取出一项后所作的乘积即要生成多项式中的一项，只需要从每个因子多项式中取出一项，再将所得项作乘积. 基础篇基础篇10 全国全国 I (6)某校开设 A 类选修课 3 门，B 类选择课 4 门，一位同学从中共选 3 门， 若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有A30 种B35 种C42 种D48 种 考点考点：分类计数原理、组合知识 规律方法规律方法：分类讨论解析解析：可分以下 2 种情况：(1)A 类选修课选 1 门，B 类选修课

5、选 2 门，有种不2 41 3CC同的选法；(2)A 类选修课选 2 门，B 类选修课选 1 门，有种不同的选法.所以不同1 42 3CC的选法共有种.1 42 32 41 3CCCC301218答案答案：A(09 北京理)用 0 到 9 这 10 个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( )A324B328C360D648 考点：考点：排列组合知识以及分类计数原理和分步计数原理知识. 属于基础知识、基本运 算的考查. 规律方法规律方法：先考虑有限制的元素和位置，分类讨论或者采用间接法求解解析解析：法 1：首先应考虑“0”是特殊元素，当 0 排在末位时，有(个)，72892 9A当 0

6、 不排在末位时，有(个)，2568841 81 81 4AAA于是由分类计数原理，得符合题意的偶数共有(个). 32825672法 2：采用间接法，三个数字没有重复组成偶数为，再考3608951 81 91 5AAA虑首位是零的情况，360-32=328.32841 81 4 AA答案：答案：B10 全国全国 II (6)将标号为 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中若每 个信封放 2 张，其中标号为 1，2 的卡片放入同一信封，则不同的方法共有A12 种B18 种C36 种D54 种考点考点：排列组合知识.解析解析：标号 1，2 的卡片放入同一封信有种方法；其他四卡

7、片放入两个信封，每个1 3C信封两个有种方法，共有 18 种2 22 22 4AAC1 3C182 4C答案答案：B10 北京北京 4，8 名学生和 2 位老师站成一排合影，2 位老师不相邻的排法总数为ABCD2 98 8AA2 98 8CA2 78 8AA2 78 8CA考点：排列组合 规律方法：插空法解析：基本的插空法解决的排列组合问题，将所有学生先排列，有种排法，然后将8 8A两位老师插入 9 个空中，共有种排法，因此一共有种排法2 9A2 98 8AA答案：B10 湖北湖北 8 现安排甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人 从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之

8、一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但 能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜四项工作，则不同安排方案的种数是A152B126C90D54 考点：分类记数原理 规律方法：特殊位置优先考虑，打捆法解析：分类讨论：若有 2 人从事司机工作，则方案有；若有 1 人从事司183 32 3 AC机工作，则方案有种，所以共有 18108126 种1083 32 41 3ACC答案：B10 全国全国 I (5)的展开式中 x 的系数是（答案有错）533121xxA4B2C2D4考点考点：本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的 灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式

9、系数，同时也考查了考生的一些基 本运算能力.解析解析：533121xx 53181261xxxxx故的展开式中含 x 的项为533121xx333 51xC 0 512Cxx10，所以 x 的系数为 2.x12x2 答案答案：C10 全国全国 II (14)若的展开式中的系数是84，则_9 xax3xa考点：本试题主要考查二项展开式的通项公式和求指定项系数的方法.解析：该二项展开式的通项公式为，即，所以展开式中9 9()rrraC xx9 2 9()rrrC xa的系数是，.3x8484333 9aaC1a答案：110 湖北湖北 11在展开式中，系数为有理数的项共有_项.2043yx考点考点：

10、二项展开式的通项公式和求指定项系数方法的灵活运用解析解析：二项式展开式的通项公式为 rrrrrrr ryxCyxCT 204 20420 20133要使系数为有理数，则 r 必为 4 的倍数，所以 r 可为 0、4、8、12、16、20 共200 r6 种，故系数为有理数的项共有 6 项. 答案答案：610 江西江西 6展开式中不含项的系数的和为( )82x4xA1B0C1D2 考点考点：二项式定理和二项展开式的性质，考查实践意识和创新能力 规律方法规律方法：赋值法解析解析：正难则反项是最高项，其系数为 1；采用赋值法，令 x1 得：系数和为4x1，减去项系数即为所求，答案为 04x 1128

11、08 8C答案答案：B.10 四川四川 (13)的展开式中的第四项是_6312 x考点：二项式定二项展开式的通项公式和求指定项的求法解析：xxCT160123333 64 答案：答案：（负号没念）（负号没念）x160提高篇提高篇10 江西江西 14将 6 位志愿者分成 4 组，其中两个各 2 人，另两个组各 1 人，分赴世博 会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有_种(用数字作答)考点考点：分类计数原理平均分组分配问题 规律方法规律方法：归转化和应用知识解析解析：先分组，考虑到有 2 个是平均分组，得两个两人组两个一人组，2 22 42 6 ACC2 21 11 2 ACC再全排列得：2 22

12、 42 6 ACC2 21 11 2 ACC4 4A1080答案答案：108010 广东广东 8为了迎接 2010 年广州亚运会，某大楼安装了 5 个彩灯，他们闪亮的顺序不 固定，每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这 5 个彩灯所闪亮的颜色 各不相同.记这 5 个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一 个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为 5 秒，如果要实现所有不同的闪烁，那么需 要的时间至少是 A1205 秒B1200 秒C1195 秒D1190 秒 考点：排列组合基本排列公式与计数方法。解析：需要的时间至少，即每一种闪烁没有重复的灯，一共有=5!

13、共 120 种闪烁.每次5 5A闪烁时间 5 秒，共 5120600s，每两次闪烁之间的间隔为 5s，共 5(1201) 595s总共就有 6005951195s 答案：C10 浙江浙江 (17)有 4 位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重” 、 “立定跳远” 、 “肺活量” 、 “握力” 、 “台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复. 若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人.则不 同的安排方式共有_种(用数字作答). 考点考点：本题主要考察了排列与组合的相关知识点 规律方法规律方法：分类讨论思想和数学思维能力，属较难题解析解析：

14、方法 1：上午测试安排有种方法，下午测试分为(1)若上午测试“台阶”的4 4A同学下午测试“握力” ，其余三位同学有 2 种方法测试；(2)若上午测试“台阶”的同学下午不测“握力” ，则有种，其余三位同学选一人测“握力” ，有种方法，则共有 9 种1 3C1 3C方法，因此测试方法共有种，当然，利用容斥原理可以给出更简洁的计264924 4A算方法方法 2：容斥原理：设，k1，2，n 为 n 个有限集合，|A|表示集合 A 的元素kA个数则这 n 个集合的并集满足： knkkjin kji jijinkkknkAAAAAAAA 11111 其中，当 n2 时，上一公式就是BABABA当 n3

15、时，上一公式就是：CBACBCABACBACBA解释一下：这一公式的意思就是n 个集合并的元素个数n 个集合元素个数之和(这时肯定算多了，要减一下)n 个集 合中两两交集的个数和(这时又减多了，要加一下)n 个集合中三三相交的所有交集元素 个数之和(仿此继续，知道所有集合的交集)如果不理解，可以先看 n2 和 n3 时的特殊情形.如右图，将测试项目标号为 1，2，3，4，5.对于甲乙丙丁四位同学，上下午不能测试相同的项目上午测试项目安排好后(共有种方法)，安排下午的测试.此时，可以设上午4 4A甲测试 1，乙测试 2，丙测试 3，丁测试 4 下午测试安排的方法种数为 x，(这里要求下午甲不测试

16、 1.乙不测试 2，丙不测试 3)x(下午测试项目的全排)(下午甲测试 1 的安4 4A3 3A排法数)(下午测试 2 的安排法数)(下午丙测试 3 的安排法数)(下午甲测3 3A3 3A2 2A试 1 且乙测试 2 的安排法数)(下午甲测试 1 且丙测试 3 的安排法数)(下午乙测2 2A2 2A试 2 且丙测试 3 的安排法数)1(下午甲测试 1，乙测试 2，丙测试 3 的安排法数)11从而总共有种264114 4A答案答案：264( (北京北京 20) ) 已知集合，其中，由中kaaaA,212kkiZai, 2 , 1A的元素构成两个相应的集合：，其中是AbaAbAabaS,AbaAb

17、AabaT,ba,有序数对，集合和中的元素个数分别为和STmn若对于任意的，总有，则称集合具有性质AaAaAP(I)检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相3 , 2 , 1 , 03 , 2 , 1PP应的集合和；ST(II)对任何具有性质的集合，证明：；PA 21kkn(III)判断和的大小关系，并证明你的结论mn 考点考点：排列组合、集合解析解析：(I)解：集合不具有性质3 , 2 , 1 , 0P集合具有性质，其相应的集合和是，3 , 2 , 1PST1, 3,3 , 1S 3 , 2,1, 2 T(II)证明：首先，由中元素构成的有序数对共有个Ajiaa ,2k因为，所以

18、；A0Taaji,ki, 2 , 1又因为当时，时，所以当时，AaAaAaTaaji,Taaij,ki, 2 , 1从而，集合中元素的个数最多为，T 21 212kkkk即 21kkn(III)解：，证明如下：nm (1)对于，根据定义，且，从而Sba,AaAbAbaTbba ,如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而ba,dc,Sca db abcd与中也至少有一个不成立db 故与也是的不同元素bba,ddc,T可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，STnm (2)对于，根据定义，且，从Tba,AaAbAba而如果与是的不同元素，那么与中至少有一个Sbba ,ba,dc,Tca db 不成立，从而与中也不至少有一个不成立，dcbadb 故与也是的不同元素bba,ddc,S可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，TSmn 由(1)(2)可知，nm