2018年河南省洛阳市高考数学一模试卷(理科).doc

《2018年河南省洛阳市高考数学一模试卷(理科).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018年河南省洛阳市高考数学一模试卷(理科).doc（26页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2018年河南省洛阳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）已知集合A=x|2x11，B=y|y=，则AB=（） A1，0）B1，1）C0，1DO，1）2（5分）在复平面内，设z=1+i（i是虚数单位），则复数+z2对应的点位于（） A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3（5分）甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是（） ABCD4（5分）已知等比数列an，a2=，a5=，则数列log2an的前10项之和是

2、（） A45B35C55D555（5分）若xm是x23x+20的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（） A1，+）B（，2C（，1D2，+）6（5分）阅读如图所示的程序框图，若输入a=，则输出的k值是（） A9B10C11D127（5分）一个几何体的侧视图如图所示，若该几何体的体积为，则它的正视图为（） AB CD8（5分）函数y=f（x）与y=g（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）g（x）的图象可能是（ AB CD9（5分）若函数f（x）=的最小值为f（0），则实数a的取值范围（） A1，2B1，0C1，2D0，210（5分）设实数x，y满足条件，若目标函数z=ax+by（a0，b0）

3、的最大值为12，则+的最小值为（） ABCD411（5分）在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球，若ABBC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（） A4BC6D12（5分）若椭圆的焦点在x轴上，过点（1， ）作圆x2+y2=1的切线，切点分别为A、B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是（） ABCD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）已知（x）8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是 14（5分）如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的

4、侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为 cm15（5分）双曲线C：=1（a0，b0）的左焦点为F，若F关于直线+y=0的对称点A是双曲线C上的点，则双曲线C的离心率为 16（5分）已知函数f（x）=x（a+1）lnx（aR，且a1），g（x）=x2+exxex，若存在x1e，e2，使得对任意x22，0，f（x1）g（x2）恒成立，则a的取值范围是 三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或以暗算步骤17（12分）ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c依次成等差数列（1）若向量=（3，sinB）与=（2，sinC）共线，求cosA的值；（2）若a

5、c=8，求ABC的面积S的最大值18（12分）某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间（单位：分钟）进行调查，将收集的数据分成0，10），10，20），20，30），30，40），40，50），50，60）六组，并作出频率分布直方图（如图），将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标” 课外体育不达标课外体育达标合计男60 女 110合计 （1）请根据直方图中的数据填写下面的22列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？（2）现按照“课外体育达标”与“课外体育

6、不达标”进行分层抽样，抽取8人，再从这8名学生中随机抽取3人参加体育知识问卷调查，记“课外体育不达标”的人数为，求的分布列和数学期望附参考公式与：K2=P（K2k0）0.150.050.0250.0100.0050.001k02.7023.8415.0246.6357.87910.82819（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为梯形，平面PAD平面ABCD，BCAD，PAPD，ABAD，PDA=60，E为侧棱PD的中点，且AB=BC=2，AD=4（1）求证：CE平面PAB；（2）求二面角APBC的余弦值20设O为坐标原点，已知椭圆C1：+=1（ab0）的离心率为，抛物线C2：x2

7、=ay的准线方程为y=（1）求椭圆C1和抛物线C2的方程；（2）设过定点M（0，2）的直线t与椭圆C1交于不同的两点P，Q，若O在以PQ为直径的圆的外部，求直线t的斜率k的取值范围21（12分）已知函数（其中a，bR）在点（1，f（1）处的切线斜率为1（1）用a表示b；（2）设g（x）=f（x）lnx，若g（x）1对定义域内的x恒成立，求实数a的取值范围；（3）在（2）的前提下，如果g（x1）=g（x2），证明：x1+x22请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做则按所作第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑选修4-4参数方程与极坐标22（10分）在极坐标系中，

8、已知圆C的圆心C（，），半径r=（）求圆C的极坐标方程；（）若0，），直线l的参数方程为（t为参数），直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围选修4-5：不等式选讲23设函数f（x）=|2x1|x+2|（1）解不等式f（x）0；（2）若x0R，使得f（x0）+2m24m，求实数m的取值范围2018年河南省洛阳市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1【分析】可解出集合A，B，然后进行交集的运算即可【解答】解：A=x|x1，B=y|y0；AB=0，1）故选：D【点评】考查描述法、区

9、间表示集合的概念，指数函数的单调性，交集的概念及运算2【分析】根据复数的四则运算进行化简，结合复数的几何意义即可得到结论【解答】解：z=1+i，+z2=+（1+i）2=1i+2i=1+i，对应的点为（1，1），位于第一象限，故选：A【点评】本题主要考查复数的几何意义，利用复数的基本运算进行化简是解决本题的关键3【分析】由题意知本题是一个古典概型，本题所包含的总事件数正方形四个顶点可以确定6条直线，甲乙各自任选一条共有36个基本事件4组邻边和对角线中两条直线相互垂直的情况有5种包括10个基本事件，根据古典概型公式得到结果【解答】解：正方形四个顶点可以确定6条直线，甲乙各自任选一条共有36个基本事

10、件4组邻边和对角线中两条直线相互垂直的情况有5种包括10个基本事件，所以概率P=，故选：C【点评】对于几何中的概率问题，关键是正确理解几何图形，分类得出基本事件数，然后得所求事件的基本事件数，进而利用概率公式求概率4【分析】设等比数列an的公比为q，由a2=，a5=，可得a1q=，=，联立解得q，a1可得an，log2an即可得出数列log2an的前10项之和【解答】解：设等比数列an的公比为q，a2=，a5=，a1q=，=，解得q=a1an=log2an=n数列log2an的前10项之和=1210=55故选：D【点评】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式求和公式、对数运算性质，考查了推理能

11、力与计算能力，属于中档题5【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可【解答】解：由x23x+20得1x2，若xm是x23x+20的必要不充分条件，则m1，即实数m的取值范围是（，1，故选：C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，结合不等式的关系是解决本题的关键6【分析】根据程序框图的流程，计算运行n次的结果，根据输入a=，判断n满足的条件，从而求出输出的k值【解答】解：由程序框图知第一次运行s=0+，k=2；第二次运行s=0+，k=3；第n次运行s=0+=（1）+（）+（）=（1）=，当输入a=时，由na得n9，程序运行了10次，输出的k值为11故选：C【点

12、评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，由程序框图判断程序运行的功能，用裂项相消法求和是解答本题的关键7【分析】首先画出几何体的复原图，进一步整理出几何体的正视图【解答】解：根据三视图中的侧视图和俯视图，得知：该几何体为上边是一个直三棱锥，下边是一个正方体，所以：，如图所示：其中左边的方向应该朝里边故选：B【点评】本题考查的知识要点：三视图的应用8【分析】本题考查的知识点是函数的图象，由已知中函数y=f（x）与y=g（x）的图象我们不难分析，当函数y=f（x）g（x）有两个零点M，N，我们可以根据函数y=f（x）与y=g（x）的图象中函数值的符号，分别讨论（，M）（M，0）（0，N）（N，+）

13、四个区间上函数值的符号，以确定函数的图象【解答】解：y=f（x）的有两个零点，并且g（x）没有零点；函数y=f（x）g（x）也有两个零点M，N，又x=0时，函数值不存在y在x=0的函数值也不存在当x（，M）时，y0；当x（M，0）时，y0；当x（0，N）时，y0；当x（N，+）时，y0；只有A中的图象符合要求故选：A【点评】要根据已知两个函数的图象，判断未知函数的图象，我们关键是要根据已知条件中的函数的图象，分析出未知函数零点的个数，及在每个区间上的符号，然后对答案中的图象逐一进行判断，然后选出符合分析结果的图象9【分析】由分段函数分别讨论函数在不同区间上的最值，从而可得2+aa2，又a0，从

14、而解得a的范围【解答】解：当x0时，f（x）=x+a2+a；（当且仅当x=，即x=1时，等号成立）；故当x=1时取得最小值2+a，f（0）是函数f（x）的最小值，当x0时，f（x）=（xa）2单调递减，故a0，此时的最小值为f（0）=a2，故2+aa2，解得，21a2又a0，可得0a2故选：D【点评】本题考查了分段函数的应用及分段函数的最值的求法，注意运用基本不等式和二次函数的单调性，属于中档题10【分析】画出图形得出：2a+3b=6条件，变形+=（）（2a+3b）=（13+）=利用基本不等式求解即可【解答】解；实数x，y满足条件，若目标函数z=ax+by（a0，b0）的最大值为12，得出：x

15、=4，y=6，目标函数过（4，6）时，目标函数取最大12，即4a+6b=12，2a+3b=6，+=（）（2a+3b）=（13+）=+2=故选：A【点评】本题考查了，线性规划问题，利用基本不等式求解函数最值问题，属于中档题11【分析】根据已知可得直三棱柱ABCA1B1C1的内切球半径为，代入球的体积公式，可得答案【解答】解：ABBC，AB=6，BC=8，AC=10故三角形ABC的内切圆半径r=2，又由AA1=3，故直三棱柱ABCA1B1C1的内切球半径为，此时V的最大值=，故选：B【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径，是解答的关键12【分析】设过点（1， ）的圆x2+y

16、2=1的切线为l，根据直线的点斜式，结合讨论可得直线l分别切圆x2+y2=1相切于点A（1，0）和B（0，2）然后求出直线AB的方程，从而得到直线AB与x轴、y轴交点坐标，得到椭圆的右焦点和上顶点，最后根据椭圆的基本概念即可求出椭圆的方程【解答】解：设过点（1， ）的圆x2+y2=1的切线为l：y=k（x1），即kxyk+=0当直线l与x轴垂直时，k不存在，直线方程为x=1，恰好与圆x2+y2=1相切于点A（1，0）；当直线l与x轴不垂直时，原点到直线l的距离为：d=1，解之得k=，此时直线l的方程为y=x+，l切圆x2+y2=1相切于点B（，）；因此，直线AB斜率为k1=2，直线AB方程为y

17、=2（x1）直线AB交x轴交于点A（1，0），交y轴于点C（0，2）椭圆的右焦点为（0，1），上顶点为（0，2）c=1，b=2，可得a2=b2+c2=5，椭圆方程为故选：C【点评】本题给出过定点直线与单位圆相切于A、B两点，直线AB过椭圆的右焦点和上顶点，求椭圆的方程，着重考查了直线的基本量与基本形式和椭圆的基本概念等知识点，属于基础题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项列出方程求出a，给二项式中的x 赋值求出展开式中各项系数的和【解答】解：Tr+1=C8rx8r（ax1）r=（a）rC8rx82r令82r

18、=0，r=4（a）4C84=1120，a=2当a=2时，令x=1，则展开式系数和为（12）8=1当a=2时，令x=1，则展开式系数和为（1+2）8=38=6561故答案为1或6561【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具；赋值法是求展开式的系数和的重要方法14【分析】将三棱柱展开两次如图，不难发现最短距离是六个矩形对角线的连线，正好相当于绕三棱柱转两次的最短路径【解答】解：将正三棱柱ABCA1B1C1沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示，在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值由已知求得矩形的长等于62=12

19、，宽等于5，由勾股定理d=13故答案为：13【点评】本题考查棱柱的结构特征，空间想象能力，几何体的展开与折叠，体现了转化（空间问题转化为平面问题，化曲为直）的思想方法15【分析】求出A点坐标，代入双曲线方程化简得出a，b，c的关系，得出离心率【解答】解：设F（c，0）关于直线x+y=0的对称点为A（x0，y0），则，且=，解得x0=，y0=代入双曲线C的方程可得：，即，令a=1，解得c2=42，c=或c=（舍）e=故答案为：【点评】本题考查了双曲线的性质，点关于直线的对称问题，属于中档题16【分析】存在x1e，e2，使得对任意的x22，0，f（x1）g（x2）恒成立，即 f（x）ming（x）

20、min，由f（x）在e，e2上递增，可得f（x）min，利用导数可判断g（x）在2，0上的单调性，可得g（x）min，由 f（x）ming（x）min，可求得a的范围；【解答】解：f（x）的定义域为（0，+），f（x）= （aR），当a1时，xe，e2，f（x）0，f（x）为增函数，所以f（x）min=f（e）=e（a+1）；若存在x1e，e2，使得对任意的x22，0，f（x1）g（x2）恒成立，即 f（x）ming（x）min，g（x）=x+exxexex=x（1ex），当x2，0时g（x）0，g（x）为减函数，g（x）min=g（0）=1，e（a+1）1，a，a（，1），故答案为：（，1）

21、【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、求闭区间上函数的最值，考查分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，恒成立问题往往转化为函数的最值加以解决三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或以暗算步骤17【分析】（1）首先利用等差数列求出边长的关系式，进一步利用正弦定理和余弦定理的应用求出结果（2）利用余弦定理的基本不等式求出sinB的范围，进一步利用三角形的面积公式求出结果【解答】解：（1）ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c依次成等差数列，则：2b=a+c向量=（3，sinB）与=（2，sinC）共线，则：3sinC=2sinB，利用正弦

22、定理得：3c=2b故：a=2c，b=，所以：cosA=（2）由于：2b=a+c，则：cosB=由于：0B，则：，所以：，故：三角形面积的最大值为【点评】本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，余弦定理和正弦定理的应用及三角形的面积公式的应用18【分析】（1）频率分布直方图求出“课外体育达标”人数，不达标人数为150，然后完成列联表；求出K2，即可判断“课外体育达标”与性别的关系；（2）采用分层抽样在“课外体育达标”抽取人数为6人，在“课外体育不达标”抽取人数为2人，推出的取值为1，2，3求出概率得到分布列，然后求解期望即可【解答】解：（1）由题意得“课外体育达标”人数：200（0.02+0.0

23、05）10=50，则不达标人数为150，列联表如下：课外体育不达标课外体育达标合计男603090女9020110合计15050200K2=6.0606.635在犯错误的概率不超过0.01的前提下没有理由（或不能）认为“课外体育达标”与性别有关（2）由题意采用分层抽样在“课外体育达标”抽取人数为2人，在“课外体育不达标”抽取人数为6人，则题意知：的取值为1，2，3P（=1）=；P（=2）=；P（=3）=；故的分布列为123P故的数学期望为：E（）=1+2+3=【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的求法，期望的求法，独立检验思想的应用，考查计算能力19【分析】（1）取AD中点O，连结OC，OE，

24、推导出四边形ABCD为平行四边形，从而OCAB，进而平面OCE平面PAB，由此能证明CE平面PAB（2）过点P作PFAD于F，从而PF平面ABCD，取AD的中点O，以O为原点，建立空间直角坐标系Oxyz，利用向量法能求出二面角APBC的余弦值【解答】证明：（1）取AD中点O，连结OC，OE，E为侧棱PD的中点，OEPA，BC=2，AD=4，BCAD，四边形ABCD为平行四边形，OCAB，OCOE=O，平面OCE平面PAB，CE平面OCE，CE平面PAB解：（2）过点P作PFAD于F，平在PAD平面ABCD，PF平面ABCD，PAPD，PDA=60，AD=4，PD=2，PF=，FD=1，取AD的

25、中点O，如图所示，以O为原点，建立空间直角坐标系Oxyz，则P（0，1，），C（2，0，0），B（2，2，0），D（0，2，0），A（0，2，0），=（0，1，），=（2，3，），=（0，2，0），=（0，3，），设=（x，y，z）是平面PBC的法向量，则，取z=2，得=（），设=（a，b，c）是平面PAB的法向量，则，取b=1，得=（0，1，），cos=，由图知二面角APBC为钝角，二面角APBC的余弦值为【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题20

26、【分析】（1）根据准线方程计算a，利用离心率计算c，从而得出b；（2）设直线t的斜率为k，得出直线t的方程，联立方程组消元，根据根与系数的关系计算，令0得出k的范围【解答】解：（1）抛物线C2：x2=ay的准线方程为y=，解得a=2抛物线C2的方程为x2=2y，椭圆C1的离心率e=，c=，b2=a2c2=1，椭圆C1的方程为=1（2）当直线t无斜率时，O为PQ的中点，不符合题意；当直线t有斜率时，设直线t的方程为y=kx+2，联立方程组，消元得：（1+4k2）x2+16kx+12=0直线t与椭圆交于两点，=256k248（1+4k2）0，k或k，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x

27、2=，x1x2=，y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4，=x1x2+y1y2=+4=O在以PQ为直径的圆的外部，POQ（0，），0，164k20，解得2k2综上，k的取值范围是（2，）（，2）【点评】本题考查了圆锥曲线的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，常利用根与系数的关系化简计算，属于中档题21【分析】（1）求出导函数，利用切线的斜率，列出方程求解b与a的关系式；（2）解法一：g（x）1恒成立，则g（1）=a+a11a1当a1时利用函数的导数求解函数的最值，然后推出实数a的取值范围是1，+）解法二：（分离变量）恒成立，分离变量可得对x（0，+）恒成立，构

28、造函数，转化求解函数的最值即可（3）由（2）知a1，且g（x）在（0，1）单调递减；在（1，+）单调递增，当g（x1）=g（x2）时，不妨设0x11x2，要证明x1+x22，等价于x22x11，只需要证明g（2x1）g（x2）=g（x1），这里0x11，令G（x）=g（2x）g（x），x（0，1利用函数的导数，转化求解函数的最值，推出结果即可【解答】解：（1），由题意f（1）=ab=1b=a1（2）在定义域（0，+）上恒成立，即g（x）min1解法一：g（x）1恒成立，则g（1）=a+a11a1当a1时，令g（x）=0得（注意a1）所以x（0，1）时，g（x）0，g（x）单调递减；当x（1，+

29、）时，g（x）0，g（x）单调递增所以g（x）min=g（1）=2a11，符合题意综上所述，g（x）1对定义域内的x恒成立时，实数a的取值范围是1，+）解法二：（分离变量）恒成立，分离变量可得对x（0，+）恒成立，令，则ah（x）max这里先证明lnxx1，记s（x）=lnxx+1，则，易得s（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，s（x）max=s（1）=0，所以lnxx1因此，且x=1时h（1）=1，所以h（x）max=1，实数a的取值范围是1，+）（3）由（2）知a1，且g（x）在（0，1）单调递减；在（1，+）单调递增，当g（x1）=g（x2）时，不妨设0x11x2，要证

30、明x1+x22，等价于x22x11，只需要证明g（2x1）g（x2）=g（x1），这里0x11，令G（x）=g（2x）g（x），x（0，1，求导得，注意当x（0，1时，（可由基本不等式推出）又a10，因此可得G（x）2a+2（a1）+2=0，当且仅当x=1，a=1时等号成立所以G（x）在（0，1上单调递增，G（x）G（1）=0，也即g（2x）g（x），x（0，1，因此g（2x1）g（x1）=g（x2），此时2x1，x2都在单调递增区间1，+）上，所以2x1x2，得x1+x22【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的切线的斜率，函数的最值，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力请考生在第22、2

31、3题中任选一题作答，如果多做则按所作第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑选修4-4参数方程与极坐标22【分析】（）先利用圆心坐标与半径求得圆的直角坐标方程，再利用cos=x，sin=y，2=x2+y2，进行代换即得圆C的极坐标方程（）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则|AB|=|t1t2|，化为关于的三角函数求解【解答】解：（）C（，）的直角坐标为（1，1），圆C的直角坐标方程为（x1）2+（y1）2=3化为极坐标方程是22（cos+sin）1=0 （5分）（）将代入圆C的直角坐标方程（x1）2+（y1）2=3，得（1+tcos）2+（1+tsin）2=3，

32、即t2+2t（cos+sin）1=0t1+t2=2（cos+sin），t1t2=1|AB|=|t1t2|=20，），20，），2|AB|2即弦长|AB|的取值范围是2，2）（10分）【点评】本题考查极坐标和直角坐标的互化，直线与圆的位置关系利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用cos=x，sin=y，2=x2+y2，进行代换即可选修4-5：不等式选讲23【分析】（1）把f（x）用分段函数来表示，令f（x）=0，求得x的值，可得不等式f（x）0的解集（2）由（1）可得f（x）的最小值为f（），再根据f（）4mm22 ，求得m的范围【解答】解：（1）函数f（x）=|2x1|x+2|=，令f（x）=0，求得x=，或 x=3，故不等式f（x）0的解集为x|x，或x3（2）若存在x0R，使得f（x0）+2m24m，即f（x0）4m2m2 有解，由（1）可得f（x）的最小值为f（）=31=，故4m2m2 ，求得m【点评】本题主要考查分段函数的应用，函数的能成立问题，属于中档题