(6.3)--文献3：n个n维向量的等价性质及应用.pdf

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1、n 个 n 维向量的等价性质及应用*收稿日期:2018 03 12;修回日期:2018 04 21*基金项目:重庆市前沿与应用基础研究(cstc2016jcyjA0101);高等学校大学数学教学与发展中心教学改革项目(CMC2016512);重庆工商大学首批课程改革建设项目(1792058)作者简介:闻道君(1975 )，男，四川内江人，副教授，硕士，从事大学数学教学研究摘要:基于“线性代数”课程的特点和在线优质资源辅助教学的推广，利用矩阵方法讨论了向量组的线性关系与行列式的值、矩阵的秩、初等变换、线性方程组的解和矩阵的特征值等问题之间的内在联系，建立了关于 n 个 n 维向量的一系列等价性质

2、;最后，举例说明了系统掌握这些等价结论在解决一些综合性的考研试题方面的应用。关键词:向量组;矩阵;线性相关;行列式;线性方程组;特征值中图分类号:O172 1;G420文献标志码:A文章编号:1672 058X(2018)04 0026 040引言“线性代数”是高等院校大学数学基础课程之一，而向量是“线性代数”中的一种简单的矩阵和基本运算单元。向量与向量之间的各种线性关系是理解和掌握线性方程组、线性变换和线性空间的关键，也是进一步求解线性模型的基础理论。然而，对初学者来说，向量组的线性相关和线性无关的判定、向量组与行列式、矩阵、线性方程组和矩阵的特征值之间的联系既错综复杂，又是重要学习内容而无

3、法回避。因此，部分同学在“望题兴叹”之后得出“线性代数”太抽象和难学的结论。另一方面，随着 MOOC 等优质课程资源在大学数学教学中的广泛应用，在线课程以及在线辅助学习平台的逐步建设和推进，学生能够从在线课程中免费获取优质课件和视频资源，并能从在线讨论区获得同伴的帮助，解决学习中发现的疑惑。便利的在线自助和互助学习模式提高了解决疑问时效性，在一定程度上使得教师的功能和重心转移到指导课程学习、归纳总结和组织探讨等方面。鉴于此，笔者结合多年的教学实践，从“线性代数”中的 n 个 n 维向量开始，建立一系列与之相关的等价结论，将“线性代数”课程各个章节的内容联系起来，从学习者的角度探讨和归纳这门课程

4、的基本知识结构;最后，举例说明这些等价性质在求解研究生入学考试题和一些跨章节的综合性问题方面的应用。这些等价结论及应用是深入理解“线性代数”的前提，也是在当前混合教学模式的“碎片化”学习之后实现“线性代数”课程相关知识点“系统化”的必经之路。1主要定理数域 F 中 n 个数 a1，a2，an组成的有序数组称为数域 F 上的 n 维向量，记为=(a1，a2，an)T也称 为列向量。同时，记向量 x=(x1，x2，第 4 期闻道君，等:n 个 n 维向量的等价性质及应用xn)T，b=(b1，b2，bn)T。定理1设 1，2，n为 n 个 n 维列向量，记A=(1，2，n)，如果向量组 1，2，n线

5、性无关，则下列命题等价:(1)r(A)=r(1，2，n)=n;(2)A 0;(3)A 可逆，且 A1=1AA*，其中 A*为 A 的伴随矩阵;(4)A 可以表示为系列初等矩阵的乘积，即 A=P1P2Ps，其中 P1，P2，Ps为初等矩阵;(5)Ax=b 存在唯一解 x=A1b;(6)Ax=0 仅有零解;(7)A 的特征值 0;(8)对任意 n 维向量 ，向量组 1，2，n，线性相关，且 可由 1，2，n进行唯一线性表示。证明(1)如果 1，2，n线性无关，则 1，2，n为自身的极大无关组，所含的向量个数即r(A)=r(1，2，n)=n。(2)因为 r(A)=n，则 A 中存在一个 n 阶非零子

6、式，即A 0。(3)如果A 0，即 A 为非奇异矩阵。由AA*=AE 得 A1AA()*=E，结合逆矩阵的定义可得 A1=1AA*，即 A 可逆。(4)因为 A 可逆，结合 r(A)=n 可得 A 的行最简形为 E:A E。由初等变换的可逆性，经过有限次初等变换 E 可变换为 A，即A=P1P2Ps其中 P1，P2，Ps为初等矩阵。(5)因为初等矩阵可逆，故 A 可逆，即 A1存在。由 Ax=b 可得 x=A1Ax=A1b，同时，利用A 0 和克莱默法则得 Ax=b 有唯一解。因此，x=A1b 是 Ax=b 唯一解。(6)因为 Ax=b 存在唯一解，即 A1存在。令b=0 可得 x=A10=0

7、，即 x=0 是 Ax=0 唯一零解。(7)(反证法)假设 A 存在一个特征值 =0，且 A=0(0)。又因为 Ax=0 存在唯一零解，即 =0，这与特征向量的定义矛盾，故 A 的特征值 0。(8)因为任意 n+1 个 n 维向量一定线性相关，所以向量组 1，2，n，线性相关。另一方面，设存在实数 k1，k2，kn使得 k11+k22+knn=，即方程组 AK=，又由定理1 的(1)和(6)得:r(A)=n=r(A)所以存在唯一的 K=(k1，k2，kn)T满足 =，即 可由 1，2，n进行唯一线性表示。最后，在定理 1(8)中包含 =0，即k11+k22+knn=0即方程组 =0 存在唯一零

8、解，即 ki=0。因此，向量组 1，2，n线性无关。定理2设 1，2，n为 n 个 n 维列向量，记A=(1，2，n)，如果向量组 1，2，n线性相关，则下列命题等价:(1)r(A)=r(1，2，n)n;(2)A=0;(3)A 不可逆;(4)Ax=0 存在非零解;(5)如果 r(A)=r(Ab)n，则 Ax=b 有无穷多解;(6)A 至少存在一个特征值 =0;(7)向量组 1，2，n中至少存在一个向量能由其余向量进行线性表示。证明由定理 1 的等价性质(1)性质(8)，不难证明定理 2 中与之对应的系列等价性质。2应用举例例 1(2012 年研究生入学考试第 5 题)设向量组1=00c1，2=

9、01c2，3=1 1c3，4=11c4，其中 c1，c2，c3，c4为任意常数，则下列向量组线性相关的为()。72(A)1，2，3(B)1，2，4(C)1，3，4(D)2，3，4解由定理 2 的性质(2)和性质(7)，n 个 n 维向量线性相关的充要条件是1，2，n=0，且1，3，4=01 10 11c1c3c4=0则对任意的 c1，c2，c3，c4，向量组 1，3，4必线性相关，故选(C)。例 2(2015 年研究生入学考试第 5 题)设矩阵 A=11112a14a2，b=1dd2，若集合 =1，2，则线性方程组 Ax=b 有无穷多解的充分必要条件为()。(A)a ，d (B)a ，d (C

10、)a ，d (D)a ，d 解由定理 2 的性质(2)和性质(5)，因为 Ax=b 有无穷多解的充分必要条件为 r(A)=r(Ab)n 或A=0，r(A)=r(Ab)，且(Ab)=111112ad14a2d2111101a 1d 100a2 3a+2d2 3d+2令A=(a 1)(a 2)=0，解得a=1 或a=2，即a 。同理，由r(A)=r(Ab)得d，故选(D)。例 3设三阶矩阵 A，A E，A+3E 均不可逆，计算行列式A+2E。解由定理 2 中性质(3)和性质(6)，设A=(0)至少存在一个特征值 1=0。因为(A E)=(1)所以 1 是 A E 的特征值，至少存在一个 2=1。同

11、理，+3 是 A+3E 的特征值，至少存在一个3=3。因此，A+2E=(1+2)(2+2)(3+2)=6例 4设 A 为三阶矩阵，Ai=ii(i0)，i=1，2，3，且 i为 3 个不同的特征值。证明 A 可逆的充要条件是 A(1+2)，A(2+3)，A(3+1)线性无关。证明由定理 1 中(2)(3)和(7)，A 可逆的充要条件是A=123 0。因为 1，2，3互不相同，所以特征向量 1，2，3线性无关，则1，2，3 0，且(A(1+2)，A(2+3)，A(3+1)=(11+22，22+33，33+11)=(1，2，3)101220033又因为101220033=2123 0，进一步得A 0

12、 的充要条件是A(1+2)，A(2+3)，A(3+1)0即向量组 A(1+2)，A(2+3)，A(3+1)线性无关。3结束语从 n 个 n 维向量出发，利用矩阵分块的方法讨论了向量组的线性关系与行列式的值、矩阵的秩、矩阵的初等变换、线性方程组的解和矩阵的特征值等问题之间的内在联系，建立了关于 n 个 n 维向量的一系列等价性质。这些等价性质是深入理解“线性代数”课程各章节内容的关键，也是学习者建构自身知识体系的重要内容。最后，举例说明了系统掌握这些等价性结论在解决一些综合性的考研试题方面的有效性。82重庆工商大学学报(自然科学版)第 35 卷第 4 期闻道君，等:n 个 n 维向量的等价性质及

13、应用参考文献(References):1 袁晖坪，郭伟 线性代数 M 北京:高等教育出版社，2010YUAN H P，GUO WLinear AlgebraM Beijing:Higher Education Press，2010 2 吴赣昌 线性代数(经管类)M 第五版 北京:中国人民大学出版社，2017WU G C Linear Algebra(Economics and Management)M 5thedtBeijing:ChinaRenminUniversityPress，2017 3 黄先开，曹显兵 2017 年考研数学最新精选 600 题(经济类)M 北京:中国人民大学出版社，2

14、016HUANG X K，CAO X BThe Latest 600 QuestionsSelectingforGraduateRecordExaminationin2017(Economics)M Beijing:China Renmin UniversityPress，2016 4 李红婷 高师“数学教学论”课程建设的反思与重构 J 西南师范大学学报(自然科学版)，2010，35(6):196-200LI HTReconsiderationandReconstructionoftheCurriculum Reform of“Mathematics Pedagogy”in NormalUni

15、versities J Journal of Southwest China NormalUniversity(Natural Science Edition)，2010，35(6):196-200 5 江蓉，王守中 矩阵的秩在线性代数中的应用及其教学方法的探讨 J 西南师范大学学报(自然科学版)，2012，37(8):175-180JIANG R，WANG S Z On Application of Rank of Matrixin Linear Algebra and the Methods of Teaching J Journal of Southwest China Normal U

16、niversity(NaturalScience Edition)，2012，37(8):175-180 6 闻道君，陈义安，唐艳 高等院校经管类专业的数学教学方法研究 J 重庆工商大学学报(自然科学版)，2011，28(4):413-416WEN D J，CHEN Y A，TANG Y On Teaching Approachto College Mathematics for Economic and Managerial Major J Journal of Chongqing Technology Business University(Natural Science Edition)

17、，2011，28(4):413-416 7 闻道君，唐艳，陈义安 支架式教学:一个重要极限的抽象方法 J 重庆工商大学学报(自然科学版)，2014，31(10):78-80WEN D J，TANG Y，CHEN Y A Support Teaching:Abstract Methods for an Important Limit J Journal ofChongqing Technology and Business University(NaturalScience Edition)，2014，31(10):78-80The Equivalent Properties and Appli

18、cations of N n-dimensional VectorsWEN Dao-jun，CHEN Yi-an(School of Mathematics and Statistics，Chongqing Technology and Business University，Chongqing 400067，China)Abstract:Based on the characteristic of Linear Algebra course and popularity of assisted teaching with onlinehigh quality resources，the li

19、near relations of N n-dimensional vectors are studied with the connection betweendeterminant，rank of matrix，elementary transformation，solution of linear equations，eigenvalue of matrix andvector groups A series of equivalent properties are obtained for N n-dimensional vectors Moreover，some examplesare given to illustrate the application of our results in solving some comprehensive questions of graduate recordexaminationKey words:vector group;matrix;linear correlation;determinant;linear equations;eigenvalue92