(3.7.1)--2.8对流动控制方程的总结及讨论-讲义.pdf

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1、计算流体力学基础讲义 1 第二章 流动控制方程的推导及其物理含义的讨论、适用于CFD 计算的控制方程形式 2.8 对流动控制方程的总结与讨论 到目前为止，我们已经推导了大量的方程，这些方程好像铺满了本章的每一页课本或 ppt，就像英文原版教材上说的那样，“this chapter would seem to be wall to wall equations”。推导这些方程可能会使同学们感到吃力，但是，理论和计算流体力学的全部内容都是建立在这些方程的基础上的。因此熟悉并理解他们的物理意义绝对是必须的，这就是我们专门花时间带领同学们推导这些控制方程的原因。本节，我们将总结和讨论之前推导得到的控制

2、方程，以达到对各种形式控制方程有更深入理解的目的。现在是我们回顾本章路线图 2.1 的最合适时机,我们已经学习了路线图中 80%的内容。从三大基本定律 A,B,C 出发，将其应用于流动模型，即 E、F、G、H 四种流动模型，分别得到守恒型积分形式、非守恒型积分形式、守恒型偏微分形式、非守恒型偏微分形式的流动控制方程，即图中方框 I 包含的连续方程、动量方程和能量方程。为强调和清楚起见，本节我们对方框 I 代表的流动控制方程进行归纳和讨论。图 2.1 第二章路线图 计算流体力学基础讲义 2 2.81 粘性流动控制方程 粘性流动是包括摩擦、热传导和质量扩散等输运现象的流动，这些输运现象是耗散的，它

3、们总是引起熵增的。目前我们推导得到的控制方程是只考虑粘性流动的摩擦和热传导现象，不包含质量扩散。尽管我们不考虑质量扩散，但作为常识性知识，我们有必要了解一下存在质量扩散的情形：第一种情况是当流动中存在不同化学组分的浓度梯度时，就会发生质量扩散。例如无化学反应非均匀气体混合物的流动是存在质量扩散现象的一个例子，如，将氦气从小孔或狭缝中喷入主流是空气的流场形成的混合物流场；第二种会发生质量扩散的情况是存在化学反应气体的流动，例如，高超声速飞行器绕流的高温气体发生空气的分解与电离，在这种流动中，质量扩散是不同化学组分气体的浓度梯度不同，通过化学反应相互转化引起的。本课程旨在讨论 CFD 的基础问题，

4、因此不考虑质量扩散问题。现在，我们总结一下不考虑质量扩散的非定常、三维可压缩粘性流动的控制方程，即 NS 方程。首先是连续方程：非守恒型偏微分形式的连续方程非守恒型偏微分形式的连续方程：V0DDt+=（2.29）守恒型偏微分形式的连续方程守恒型偏微分形式的连续方程：()V0t+=（2.25）非守恒非守恒型的动量方程：型的动量方程：x 方向分量：yxxxzxxDupfDtxxyz=+（2.50a)y 方向分量：xyyyzyyDvpfDtyxyz=+（2.50b)z 方向分量：yzxzzzzDwpfDtzxyz=+（2.50c)守恒型的动量方程：守恒型的动量方程：x 方向分量：()(V)yxxxz

5、xxupuftxxyz+=+（2.56a)y 方向分量：()(V)xyyyzyyvpvftyxyz+=+（2.56b)计算流体力学基础讲义 3 z 方向分量：()(V)yzxzzzzwpwftzxyz+=+（2.56c)因为动量方程是矢量方程，所以这里给出的是沿 x,y,z 方向分解得到的三个标量方程。用总能量即单位质量内能和动能之和用总能量即单位质量内能和动能之和表示的非守恒型表示的非守恒型能量方程：能量方程：2()()()2()()()()()()()()()()()()fyxxxzxxyyyzyyzxzzzDVTTTeqkkkDtxxyyzzuuuupvpwpxyzxyzvvvxyzww

6、wxyz+=+V （2.66）用总能量即单位质量内能和动能之和表示的用总能量即单位质量内能和动能之和表示的守恒形式能量方程守恒形式能量方程：22()()22 ()()()()()()()()()()()()yxxxzxxyyyzyVVeeVtTTTqkkkxxyyzzuuuupvpwpxyzxyzvvvxyz+=+()()()f Vyzxzzzwwwxyz+（2.81）2.8.2 Euler 方程 本小节我们给出无粘流动控制方程即 Euler 方程。无粘流动是不考虑摩擦、热传导现象的流动，因此，直接把上一小节中 NS 方程中的粘性和热传导项去掉，就得到了欧拉方程。非守恒、守恒形式的连续方程与

7、NS 方程的相同。非守恒型偏微分形式的连续方程：非守恒型偏微分形式的连续方程：V0DDt+=（2.29）守恒型偏微分形式的连续方程：守恒型偏微分形式的连续方程：()V0t+=（2.25）非守恒非守恒形式形式 Euler 方程的动量方程方程的动量方程：计算流体力学基础讲义 4 x 方向分量：xDupfDtx=+（2.83a）y 方向分量：yDvpfDty=+（2.83b）z 方向分量：zDwpfDtz=+（2.83c）守恒形式守恒形式 Euler 方程的动量方程方程的动量方程：x 方向分量：()(V)xupuftx+=+（2.84a）y 方向分量：()(V)yvpvfty+=+（2.84b）z

8、方向分量：()(V)zwpwftz+=+（2.84c）可见，Euler 方程去掉了粘性力项，方程得到了很大程度的简化。非守恒非守恒形式形式 Euler 方程方程的的能量方程能量方程：2()()()f V2DVupvpwpeqDtxyz+=+（2.85）对于绝热流=0q：2()()()f V2DVupvpwpeDtxyz+=+(2.85a)守恒形式守恒形式：Euler 方程方程的的能量方程能量方程：22()()()()()Vf V22VVupvpwpeeqxyz+=+（2.86）对于绝热流=0q：22()()()()()Vf V22VVupvpwpeexyz+=+(2.86a)同样可见，去掉粘性

9、力项和热传导项，方程也得到了很大程度的简化。下面我们对前面推导的控制方程进行总结述和讨论。根据流动有、无粘性，可将控制方程分为 Navier-Stokes 方程组和 Euler方程组。观察我们得到的控制方程，可以看出：(1)控制方程为耦合的非线性方程组，因此很难解析地解出；(2)对于动量方程和能量方程，守恒型和非守恒型的区别只在于左端项的不同；(3)守恒型方程的左端项都包含某些量的散度，因此守恒形式控制方程也称为散度形式控制方程。计算流体力学基础讲义 5 (4)正应力和剪切应力都是速度梯度的函数，为便于同学们直观理解，我们在这里再次列出牛顿流体的本构方程，公式（2.75a）-（2.75f）。(

10、V)2xxux=+(2.57a)(V)2yyvy=+(2.57b)(V)2zzwz=+(2.57c)()xyyxvuxy=+(2.57d)()yzzywvyz=+(2.57e)()xzzxuwzx=+(2.57f)(5)回顾我们之前推导出的流动控制方程，我们可以发现，五个方程组包含 7 个未知数,p,u,v,w,e,T。在空气动力学中，通常假设气体为完全气体，即忽略分子间作用力的气体，这样可以补充一个状态方程作为第六个方程：pRT=第七个方程可通过状态参数的热力学关系确定，即(,)ee T p=对于量热完全气体，有 vec T=这里vc为气体的定容比热。(6)计算流体力学中 Navier-St

11、okes 方程的含义拓展 在流体力学的历史上，Navier-Stokes 方程的精确定义是 2.6 节中的动量方程，而现代 CFD 将Navier-Stokes 方程的术语拓展到数值求解粘性流动需要的所有流动方程组，因此，2.8.1 节命名为 Navier-Stokes 方程。(7)计算流体力学中 Euler 方程含义的拓展 同样，Euler 于 1753 年得到了连续方程和动量方程，他几乎没有处理能量方程，因为能量方程是 19 世纪热力学的产物，因此在流体力学的历史上，大部分文献把无粘动量方程称为 Euler 方程。计算流体力学基础讲义 6 而现代 CFD 中，2.8.2 节中针对无粘流动的

12、所有流动控制方程被定义为 Euler 方程，即整个连续方程、动量方程、能量方程的方程组被称为 Euler 方程。(8)控制方程的无量纲化 我们以 NS 方程为代表来讨论。在计算流体力学的数值模拟过程中，大多数情况下均求的是解无量纲形式的控制方程。采用无量纲化控制方程的优势在于：1)可以避免控制方程中物理参数在量级上的悬殊差异，从而减少不必要的数值误差和精度损失；2)无量纲化后可使控制方程中的常数运算减少，多个常数组合转化为有物理意义的相似参数（如马赫数、雷诺数和普朗特数等）；3)易于实现数值计算中的相似模拟，从而使计算结果更具有通用性。例如，风洞实验中只要保证所有的相似参数相同，风洞试验中缩小

13、尺寸飞机模型的无量纲气动特性，如升力系数、阻力系数等就和天空中飞的真实飞机的无量纲气动性能相同。需要指出的是，有些 CFD 软件，如 fluent，要求输入的是有量纲的参数，主要是针对工程应用的需求，即有些使用者可能不是流体力学或空气动力学专业的。控制方程的无量纲化，可以有多种形式，这里我们给出一种常用的无量纲化的例子。我们将三个方向的坐标用绕流物体的特征长度 L 来无量纲化，特征长度是我们选取的能代表物体特征的量，例如对于翼型，我们通常取翼型的弦长为特征长度。对于机翼，我们通常取机翼的平均气动弦长为特征长度。*xyzx,y,zLLL=（A2.6）密度、压强、温度以自由来流参数为特征变量无量纲

14、化：*=，*ppp=，*TTT=（A2.7）三个方向的速度用p来无量纲化：*uvwu,v,wppp=（A2.8）时间 t 用Lp来无量纲化：*ttLp=（A2.9）计算流体力学基础讲义 7 单位质量内能与动能之和用p来无量纲化：2*2*22/VeVep+=（A2.10）（A2.11）式和（A2.12）式分别为粘性系数和热传导系数的无量纲化方式：*Lp=（A2.11）*3kkLpT=（A2.12）无量纲化后的来流粘性系数、热传导系数、压力、密度、温度、声速、速度分别为：*ReMa=；*1 Prk=；*ap=；*1p=；*1=；*1T=（A2.13）此无量纲体系的一个重要特点是无量纲化后控制方程组从形式上基本保持不变。只有状态方程变为：*pT=（A2.14）请同学们课后自行推导 NS 方程的无量纲化形式。本次课就到这里。谢谢大家。