(1.4.1)--1.4公平的席位分配2.pdf

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1、1.4 1.4 公平的席位公平的席位分配（）分配（）2000年人口普查后，年人口普查后，犹他州犹他州向联邦政府提出控诉，说分配给向联邦政府提出控诉，说分配给北卡罗北卡罗莱纳州莱纳州的名额应该是他们的的名额应该是他们的.问题的数学本质是什么？问题的数学本质是什么？事实上，过去事实上，过去200年来，美国国会在名额分配上打过多起法律官司，年来，美国国会在名额分配上打过多起法律官司，曾有过长期争论并使用过曾有过长期争论并使用过4种分配方案种分配方案.一、引入1850-1900年年采用最大剩余数法采用最大剩余数法一、引入20世纪世纪20年代由哈佛大学数学家年代由哈佛大学数学家E.V.Huntingto

2、n提出和推荐的一系提出和推荐的一系列列席位分配席位分配方法方法寻找：寻找：衡量衡量公平分配的数量指标公平分配的数量指标目标：目标：建立新公平建立新公平的分配方案。的分配方案。系别系别人数人数席位数席位数每席位代表的人数每席位代表的人数甲甲10010100/10=10乙乙60660/6=10丙丙40 440/4=10反映公平分配的数量指标可用反映公平分配的数量指标可用每席位代表的人数来衡量每席位代表的人数来衡量。系别系别 人数人数 席位数席位数每席位代表的人数每席位代表的人数公平程度公平程度甲甲10310103/10=10.3中中乙乙63663/6=10.5差差丙丙34 434/4=8.5好好二

3、、不公平度指标系别系别人数人数席位数席位数每席位代表的人每席位代表的人数数公平程度公平程度甲甲10311103/11=9.36中中乙乙63763/7=9好好丙丙34 334/3=11.33差差单位单位人数人数席位数席位数每席位代表的人每席位代表的人数数AB1p2p1n2n11np22np当当2211npnp席位分配公平席位分配公平二、不公平度指标准。称为“绝对不公平”标 )12211npnp此值越小分配越趋于公平，但这此值越小分配越趋于公平，但这并不是一个好的并不是一个好的衡量标准。衡量标准。单位单位人数人数p席位数席位数n每席位代每席位代表的人数表的人数绝对不公平绝对不公平标准标准A1201

4、01212-10=2B1001010C102010102102-100=2D100010100C,D的不公平程度大为改善！的不公平程度大为改善！二、不公平度指标2）相对不公平相对不公平np表示每个席位代表的人数，总人数一定时，此表示每个席位代表的人数，总人数一定时，此值越值越大，代表的人数就大，代表的人数就越多，分配的席位就越少。越多，分配的席位就越少。2211npnp则则A吃亏吃亏,或或对对A 是不公平的。是不公平的。定义“相对不公平”定义“相对不公平”则称，若 2211npnp1),(122122221121npnpnpnpnpnnrA对对A 的相对不公平值的相对不公平值；二、不公平度指标

5、则称，若 2211npnp1),(211211112221npnpnpnpnpnnrB对对B 的相对不公平值；的相对不公平值；建立了衡量分配不公平程度的数量指标建立了衡量分配不公平程度的数量指标BArr,制定席位分配方案的原则是使它们的尽可能的小。制定席位分配方案的原则是使它们的尽可能的小。同理，可定义对同理，可定义对B 的相对不公平值为：的相对不公平值为：二、不公平度指标三、建立模型若若A、B两方已占有席位数为两方已占有席位数为,21nn用相对不公平值用相对不公平值讨论当席位增加讨论当席位增加1 个时，应该给个时，应该给A 还是还是B 方。方。不失一般性，不失一般性，2211，若npnp有下

6、面情形。有下面情形。情形情形 1 2211，npnp将一次性的席位分配转化为动态的席位分配将一次性的席位分配转化为动态的席位分配.1212 1ppnn，1212 1ppnn，1212 1ppnn，否否!三、建立模型情形情形1 1 2211，npnp说明即使给说明即使给A 单位增加单位增加1席，仍对席，仍对A不公平不公平，所增这一席，所增这一席必须给必须给A单位。单位。若若A、B两方已占有席位数为两方已占有席位数为,21nn用相对不公平值用相对不公平值讨论当席位增加讨论当席位增加1 个时，应该给个时，应该给A 还是还是B 方。方。若若A、B两方已占有席位数为两方已占有席位数为,21nn用相对不公

7、平值用相对不公平值讨论当席位增加讨论当席位增加1 个时，应该给个时，应该给A 还是还是B 方。方。情形情形2 1 2211，npnp说明当对说明当对A 不公平时，给不公平时，给A 单位单位增加增加1席，对席，对B 又不公平。又不公平。计算对计算对B 的相对不公平值的相对不公平值1)1()1()1(),1(211211112221npnpnpnpnpnnrB三、建立模型若若A、B两方已占有席位数为两方已占有席位数为,21nn用相对不公平值用相对不公平值讨论当席位增加讨论当席位增加1 个时，应该给个时，应该给A 还是还是B 方。方。情形情形3 1 2211，npnp说明当对说明当对A 不公平时，给

8、不公平时，给B 单位单位增加增加1席，对席，对A 不公平。不公平。计算对计算对A 的相对不公平值的相对不公平值1)1()1()1()1,(122122221121npnpnpnpnpnnrA三、建立模型1)1(),1(211221npnpnnrB1)1()1,(122121npnpnnrA若若rB(n1+1,n2)rA(n1,n2+1),则这席应给则这席应给 B三、建立模型21222211 (1)(1)ppn nn n记记21 )1(2,innpQiiii则增加的一个席位应分配给则增加的一个席位应分配给Q值值 较大的一方。较大的一方。这样的分配席位的方法称为这样的分配席位的方法称为Q值方法。值

9、方法。21121221(1)(1)-1-1p np np np nrB rA四、值法设设iA方人数为方人数为ip，已占有，已占有in个席位，个席位，mi,2,1当总席位增加当总席位增加1 席时，计算席时，计算m,innpQiiii,21 )1(2则则1 席应分给席应分给Q值最大的一方。值最大的一方。按人数比例的整数部分已将按人数比例的整数部分已将19席分配完毕席分配完毕甲系：甲系：p1=103,n1=10；乙乙系：系：p2=63,n2=6；丙丙系：系：p3=34,n3=3第第20席席3.964334,5.947663,4.961110103232221QQQ第第21席席3221,4.80121

10、1103QQQ同上同上Q3最大，最大，第第21席席给丙系给丙系甲系甲系11席，乙系席，乙系6席，丙系席，丙系4席席Q值方法分配结果值方法分配结果公平吗？公平吗？Q1最大，最大，第第20席席给甲系给甲系四、值法系别系别GR(20)EP(20)GR(21)EP(21)甲甲10111111乙乙6676丙丙4334四、值法五、除数法Q值值法法每增加每增加1 1席地计算，不会出现席位悖论和人口悖论席地计算，不会出现席位悖论和人口悖论.有没有其他的不公平度衡量指标？有没有其他的不公平度衡量指标？d()1 2,iip,nim2(1)1 2,iiiipQ nmni,(1)1 2,iiiipQ nmni,当总席

11、位当总席位为为N时时,第第i方分配的方分配的席位记作席位记作fi(p,N),fi(p,0)=0 对于非负整数对于非负整数n:定义定义一个一个非负单调增函数非负单调增函数d(n)每次每次1席地递增至席地递增至N，按照以下准则分配，按照以下准则分配:1,2,/()max/()kkiiimpd npd n记记ni=fi(p,N)，若，若则令则令fk(p,N+1)=nk+1,fi(p,N+1)=ni(ik)五、除数法)1(nnHuntington除数法除数法除数除数d(n)不公平度的度量指标不公平度的度量指标（设（设pi/nipj/nj）最大除数法最大除数法（GD：Greatest divisors)

12、n+1njpi/pj-ni主要分数法主要分数法（MF：Major fraction)n+1/2nj/pj-ni/pi相等比例法相等比例法（EP：Equal proportions)njpi/nipj-1调和平均法调和平均法（HM：Harmonic mean)2n(n+1)/(2n+1)pi/ni-pj/nj最小除数法最小除数法（SD：Smallest divisors)nnj-nipj/pi)1()(nnnd几何平均几何平均:0.5)(nnd算术平均算术平均:)12/()1(2)(nnnnd调和平均调和平均:1)(nndn五、除数法 美国国会实际采用过的方法：美国国会实际采用过的方法：1830

13、年前采用年前采用GD（最大除数最大除数法法）1840年采用年采用MF（主要分数法主要分数法）1850-1900年采用年采用GR（最大剩余数法）（最大剩余数法）1910年采用年采用MF（主要分数法）（主要分数法）1920年没有重新分配席位年没有重新分配席位1930年后采用年后采用EP（相等比例法相等比例法）五、除数法piqiGDMFEPHMSDA90619.061109999B71797.17978777C52595.25955655D33193.31933343E11821.18211112总和总和26000262626262626一般情况下，偏向程度也按照表中的顺序：一般情况下，偏向程度也按

14、照表中的顺序：GD偏向人数偏向人数pi较大的较大的一方一方;SD偏向偏向人数人数pi较小较小的一方的一方五、除数法六、模型的公理化研究已知总席位已知总席位数数N,人口人口向量向量p=(p1,p2,pm),P=pi份额向量份额向量q=(q1,qm)，qi=N pi/P nifi(p,s)表示人数为表示人数为p、总席位、总席位为为N时时,分分配给第配给第i方席位方席位1)qi ni qi+(i=1,2,m),2)ni(N,p1,pm)ni(N+1,p1,pm)(i=1,2,m)即即ni必取必取qi,qi+之一之一即当总席位增加时，即当总席位增加时，ni不应减少不应减少份额性份额性席位单调性席位单调

15、性人口单调性人口单调性3)若若pi/pj pi/pj,则则fi(p,N)fi(p,N),或或 fj(p,N)fj(p,N)GR方法满足性质方法满足性质 1，但不满足性质，但不满足性质2,3.除数方法满足除数方法满足性质性质2,3,但不满足性质但不满足性质1.ipiqiGDMFEPHMSDGR19149091.49949390898892216601.66122222314601.46112222414501.45112221514401.44112221614001.40111221711001.10111121100000100100100100100100100六、模型的公理化研究已经证明

16、：对于已经证明：对于m4,Nm+3,不存在满足不存在满足3条性质条性质(份额性、席位单份额性、席位单调性、人口单调性调性、人口单调性)的分配方法的分配方法.六、模型的公理化研究可以找到同时满足份额性和席位单调性的方法可以找到同时满足份额性和席位单调性的方法.如果采用如果采用公理化方法公理化方法提出公平分配席位的理想化原则，那提出公平分配席位的理想化原则，那么该问题尚未彻底解决么该问题尚未彻底解决已证明不存在满足一组公理的席位分已证明不存在满足一组公理的席位分配方法配方法.谢谢大家！谢谢大家！本视频课程中的部分图片、视频引自有关图书、网络，特向这些图片、视频的制作者和有关图书的出版者和相关网络表示感谢；因多种原因，事先未与作者和出版社取得联系，特向他们表示歉意。