(5.5.1)--第20讲正定二次型与正定矩阵.pdf

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1、第第 20 讲讲 正定二次型正定二次型与与正定矩阵正定矩阵 n判判断断 元元二二次次型型.是是否否为为正正定定二二次次型型1212111(,)nnniiiiif xxxxx x 20.1题题nf元元二二次次型型的的矩矩阵阵记记为为解解11/21/21.11/21/21nA nA下下面面计计算算.nfA是是正正定定二二次次型型等等价价于于是是正正定定矩矩阵阵.n 的的行行列列式式11/21/211/2det1/211n ,显显然然11,23/4.3.n 设设1(1/2)第第 行行乘乘2加加到到第第 行行11/203/41/2det1/211 2(4/6)第第 行行乘乘3加加到到第第 行行11/2

2、03/41/2det04/61/21/21 3(6/8)第第 行行乘乘4加加到到第第 行行11/203/41/2det04/61/205/8 3 4114 62(1)2nnnn 1.2nn ,由由此此可可得得1231 10,0,0.42nnn ,因因此此,于于是是由由赫赫尔尔维维茨茨定定理理可可知知.nA 是是正正定定矩矩阵阵 .f 是是正正定定二二次次型型说说明明.nnA 我我们们也也可可以以用用下下面面的的方方法法求求的的行行列列式式11/21/21det11/21/21n 21121det.22112n 2112det,2112nT 令令4.22,由由例例可可知知122.nnnTTT由由

3、此此可可得得.nT那那么么是是三三对对角角矩矩阵阵的的行行列列式式,显显然然122,3.TT3.n 设设112nnnnTTTT23nnTT 21TT1.,因因此此1.nTn,于于是是1.2nnn ,Am是是阶阶正正定定矩矩阵阵设设20.2题题.mnB 是是实实矩矩阵阵证证明明TB AB实实对对称称矩矩阵阵为为正正定定矩矩阵阵的的充充分分必必要要条条件件是是r().Bn T,B AB设设为为正正定定矩矩阵阵0.BX 那那么么齐齐次次方方程程组组有有非非零零解解那那么么二二次次型型TT()()f XXB AB X 必必要要性性证证明明.是是正正定定的的r(),Bn 如如果果因因为为TTTTTTT(

4、)(),B ABB ABB ABT.B AB所所以以是是实实对对称称矩矩阵阵T.B AB显显然然是是实实矩矩阵阵于于是是.f这这与与是是正正定定二二次次型型相相矛矛盾盾TT()()0.f B AB,因因此此r().Bn 充充分分性性r().Bn 设设设设实实向向量量 满满足足TTT()()()()0,f B AB BA B,A是是正正定定那那由由矩矩阵阵可可知知么么0.B f这这说说明明是是正正定定r(),Bn 因因为为0.BX 所所以以齐齐次次方方程程组组只只有有零零解解00.B于于是是意意味味着着这这样样我我们们就就证证明明了了满满足足()0.f 的的实实向向量量 只只能能是是零零向向量量

5、.二二次次型型,因因此此二二次次型型TT()()f XXB AB X T.B AB的的矩矩阵阵是是正正定定的的 21211221(,)().nniiinnif xxxb xb xb x|0.Bf 证证明明为为正正定定二二次次型型的的充充分分必必要要条条件件是是(),ijnBb 是是 阶阶实实矩矩阵阵设设20.3题题证证明明设设121122(,),iniiinnf xxxb xb xb x222212121(,)nninif xxxffff 那那么么1212(,).nnffffff(1)令令12nxxXx.n是是 元元实实向向量量因因为为11112211211222221122nnnnnnnnn

6、nb xb xb xfb xb xb xffb xb xb x ,BX 11121122122212nnnnnnnbbbxxbbbxbbb 121212(,)(,)nnnfff xxxffff T()()BXBX TT().XB B X(1),所所以以由由等等式式可可知知,f设设是是正正定定二二次次型型0BX 这这意意味味着着齐齐次次方方程程组组0,X 那那么么当当时时TT()0.fXB B X4.1,根根据据定定理理0,X 于于是是当当时时|0.B 0.BX .只只有有零零解解必必要要性性.f这这说说明明是是正正定定二二次次型型,因因此此0,X 于于是是当当时时4.1,根根据据定定理理 齐齐

7、次次方方程程组组0.BX 只只有有零零解解TT()fXB B X|0.B 假假设设0.BX 有有0,X 当当时时T()()BXBX 0.充充分分性性证证明明设设20.4题题ABGCD,mA是是其其阶阶矩矩阵阵中中.Dn是是 阶阶矩矩阵阵,是是正正定定矩矩阵阵(3)T1.nDB A B 阶阶矩矩阵阵是是正正定定矩矩阵阵T,AA(1)(2),;A D都都是是正正定定矩矩阵阵T,DD T;BC 即即证证明明,矩矩阵阵,ABGCD 因因为为是是正正定定矩矩阵阵(1)G所所以以是是对对称称T.ABABCDCD TTTTT,ABACCDBD 又又因因为为(2),所所以以,G因因为为是是正正定定矩矩阵阵1,

8、所所以以由由第第 小小题题可可知知,A D都都是是.实实对对称称矩矩阵阵,m设设 是是任任意意元元非非零零实实向向量量0 令令,mn 是是元元实实向向量量那那么么0.,G因因为为是是正正定定矩矩阵阵,所所以以T,AA T,DD T.BC.A是是正正定定矩矩阵阵TTT(,0)0.0AB A GCD,因因此此,n设设 是是任任意意 元元非非零零实实向向量量0 令令,mn 是是元元实实向向量量那那么么0.,G因因为为是是正正定定矩矩阵阵,所所以以TTT0(0,)0.AB D GCD ,因因此此.D是是正正定定矩矩阵阵1T1T00mmnnIABIA BB AIIBD T10,0ADB A B (3)2.7,由由定定理理可可知知所所以以TT100ABAGHBDDB A B 与与.是是合合同同的的T1nDB A B 阶阶矩矩阵阵也也是是正正定定,G因因为为是是正正定定矩矩阵阵 2,因因此此由由第第 结结论论可可知知.H所所以以也也是是正正定定矩矩阵阵.矩矩阵阵