不等式.doc

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1、 90 年代的高考试卷中往往有一个解含参数的不等式解答题，而在近几年的高考中单独 考察不等式的题目越来越少这种变化不是说明近几年高考不等式章节在的地位在逐渐降 低，于此相反，近几年的高考中，多将不等式知识的考察渗透在了与其他板块知识的综合多将不等式知识的考察渗透在了与其他板块知识的综合 考察中考察中.因此不等式知识在高考中的考察由原来的显性考察转变为一种隐性考察、一种渗透 考察，历年高考压轴题中的数列与不等式、函数、方程与不等式、圆锥曲线与不等式的综 合问题说明对不等式章节的考察不仅没有降低的意识，反而有加强的趋势希望同学们复习时注意：熟练掌握基础知识，这是解决不等式问题的工具。 不等式知识与

2、数列、函数、方程、圆锥曲线等知识的渗透.不等式知识体系中的核心问题主要有以下几个方面：不等式知识体系中的核心问题主要有以下几个方面：( (1) )解不等式问题解不等式问题解一般不等式：一元二次，分数，高次和绝对值不等式，利用函数思想解含参数不等 式的解法。( (2) )线性规划问题线性规划问题 ( (3) )不等式的性质和不等式的证明问题：不等式的性质和不等式的证明问题： 不等式的性质是解不等式和不等式证明的基础工具，希望同学们能够熟练掌握。不等 式的证明问题中，归纳出几点： 一元含参不等式，一般来讲，求导是一种基础方法，基本可以解决很多题目。这类题 目一般与函数和导函数的知识相关，利用函数，

3、导数相关知识证明不等式数列不等式的证 明。比如说一元不等式的恒成立问题，可以将不等式转换成某一个区间上函数的最值问题 来求解，就可以运用导函数的正负来判断函数的单调性，从而求出最值。 多元不等式的求解和证明中，往往需要使用均值不等式和柯西不等式。 与数列有关的不等式，一般难度较高，出现在高考试卷的最后几道大题中，并且分几 个小问，在解题中I注意利用题中所给结论，很多情况下，第二问需要用到第一问给的结论，第三问需 要前两问的结论。II熟练掌握数列求和的方法III注意积累放缩技巧，在求和之类的问题不能直接求得的时候，需要估计。其中常 用的几种方法，包括裂项求和，无穷缩比数列的求和等。 基础篇基础篇

4、(10 北京 1)集合30xZxP，92xRxM，则MPA 2 , 1B2 , 1 , 0C30 xxD30 xx考点考点：不等式的求解和集合运算不等式的求解和集合运算 解析：解析：集合 P 容易求得，P=1,2,3，本题关键在于求集合 M，根据不等式的运算法则，M=-3,3, 2 , 1 , 0MP。这种题目简单但考的很基础，一般在选择题的前几道题目中出现。 答案：答案：B B(10 安徽 2)若集合21log21xxA，则RAA ,220 ,B ,22C ,220 ,D ,22考点：集合运算对数函数和不等式的运算考点：集合运算对数函数和不等式的运算 规律方法：利用函数性质规律方法：利用函数

5、性质 解析解析：对于函数，首先考虑定义域，则 x0；该题目中的对数函数为递减，所以，最后RA ,220 ,。本题注重基础，而且综合众多考点，是一道2 2x 好题。答案答案：A 注意：在涉及到函数问题时，首先考虑定义域注意：在涉及到函数问题时，首先考虑定义域(10 全国 I 13)不等式2211xx 的解集是_.考点考点：不等式的解法 规律方法规律方法：转化与化归解析：解析：原不等式等价于 0111222xxx，解得 0x2. 本小题主要考查根式不等式的解法，利用平方去掉根号是解根式不等式的基本思路，也让转化与化归的数学思想体 现得淋漓尽致.答案答案：20xx(10 全国 II 5)不等式260

6、1xx x 的解集为( )A3, 2xxx或B31, 2xxx或C3, 12xxx或D31, 12xxx或 考点考点：分式不等式与高次不等式的解法 规律方法规律方法：数轴穿根法解高次不等式 解析解析：题目中可以将等效 012301230162 xxxxxx xxx是先进行因式分解，而后不等式左右两边同乘以（）的正数，其中用数轴穿根法解得2x1 或 x3，本试题主要考察分式不等式与高次不等式的解法 答案答案：C 扩展扩展：本题若为一道计算题，则需要用分类讨论的方法，即分别讨论 ，和的情况，最后解出不等式。(10 课标 8)设偶函数 xf满足 083xxxf，则02xfxA42xxx或B40xxx

7、或C60xxx或D22xxx或考点考点：利用函数性质解不等式的方法 规律方法规律方法：利用函数性质解不等式偶函数解析解析：当0x时，由 083 xxf得2x又 xf为偶函数， 0xf时2x或2x222202xxxf或，即4x或0x，选 B另法：(特征分析法特征分析法) )偶函数 xf的图像关于 y 轴对称，函数2xfy的图形必关于直线2x对称，由此可知不等式02 xf的解集应该关于 2 对称。答案答案：B注意：近几年来函数与不等式结合的考查是近年来高考中不等式的特点，所以同学们注意：近几年来函数与不等式结合的考查是近年来高考中不等式的特点，所以同学们 复习的时候要适当的加强这一块的训练。复习的

8、时候要适当的加强这一块的训练。(10 全国卷 II 3)若变量x，y满足约束条件 523, 1yxxyx则yxz 2的最大值为A1B2C3D4 考点考点：简单的线性规划问题. 规律方法规律方法：线性规划解析解析：可行域是由1, 1A，4 , 1B， 1 , 1C构成的三角形，将化成，即直线与轴交点的纵坐标，可知目标函数过点 C 时最大，最大值为 3。 答案答案：C注意注意：线性规划问题是近年来高考的热点，一般以选择题和填空题为主，以基础题和 中档题居多，同学们在复习的过程中注重概念和基础，熟练掌握图解法，要做到数图结合。(10 北京 7)设不等式组 0935033011yxyxyx表示的平面区

9、域为 D，若指数函数xay 的图象上存在区域 D 上的点，则a的取值范围是A3 , 1B 3 , 2C2 , 1D, 3考点考点：线性规划、指数函数 规律方法规律方法：划归 解析解析：这是一道略微灵活的线性规划问题，作出区域 D 的图象，联系指数函数xay 的图象，能够看出，当图象经过区域的边界点(2，9)时，a 可以取到最大值 3，而显然只要 a 大 于 1，图象必然经过区域内的点 答案答案：A提高篇提高篇(10 福建 8)设不等式组 xyyxx 0321所表示的平面区域是1，平面区域是2与1关于直线0943 yx对称，对于1中的任意一点 A 与2中的任意一点 B，AB的最小值等于( )A5

10、28B4C512D2考点考点：线性规划、解析几何 规律方法规律方法：线性规划点到直线距离公式解析解析：由题意知，所求的AB的最小值，即为区域1中的点到直线0943 yx的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，可看出点(1，1)到直线0943 yx的距离最小，故AB的最小值为45914132答案答案：B(10 重庆 7)已知 x0，y0，x2y2xy8，则 x2y 的最小值是A3B4C29D211考点考点：均值不等式 规律方法规律方法：转化与化归变量代换 解析解析： 2228282 yxyxyx，整理得0322422yxyx即08242yxyx，又02 yx，42 yx，本

11、题难度较高，需要一定的放缩技巧。另一种方法：令yxz2，代入原关系式消去 y，得 zx(zx)8，整理得4219121921192212 1822 xxxxxxxx xxz这种方法的核心思想在于将 x+2y 的最值问题构建成一个函数，并通过均值不等式来求解该函数的最值，发现时成立，即 x=2 时取最小值。在使用均值不等式的时在使用均值不等式的时911xx 候，若取等式时，要注意正，定，等的三个要求。候，若取等式时，要注意正，定，等的三个要求。 答案：答案：B13设x，y满足约束条件 0, 0048022yxyxyx，若目标函数yabxz0, 0ba的最大值为 8，则ba的最小值为_ 考点考点：

12、线性规划均值不等式 规律方法规律方法：线性规划问题均值不等式解析解析：不等式表示的区域是一个四边形，4 个顶点是0 , 0，2 , 0， 0 ,21， 4 , 1，易见目标函数在 4 , 1取最大值 8，这时 x=1,y=4,所以448abab，所以42abba，在2 ba是等号成立答案答案：4(10 陕西 14)铁矿石 A 和 B 的含铁率 a，冶炼每万吨铁矿石的的 CO2排放量 b 及每万 吨铁矿石的价格 c 如下表：aB(万吨)C(百万元) A5013B700.56某冶炼厂至少要生产 1.9(万吨)铁，若要求2CO的排放量不超过 2(万吨)则购买铁矿石的最少费用为 15(万元) 考点考点

13、：线性规划 规律方法规律方法：线性规划问题解析解析：设购买铁矿石 A 和 B 各 x，y 万吨，则购买铁矿石的费用yxz63 x，y 满足约束条件0,25 . 09 . 17 . 05 . 0yxyxyx表示平面区域如图所示则当直线过点 B(1，2)时，yxz63 购买铁矿石的最少费用 z15 答案答案：15(10 全国 I 20)已知函数. 1ln1xxxxf()若，求的取值范围； 12axxxxfa()证明：. 01xfx考点考点：函数、导数、不等式证明等知识，通过运用导数知识解决函数、不等式问题， 考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力 规律方法规律方法：函数与方程思想、化

14、归与转化思想. 解析解析：()， xxxxxxf1ln1ln1， 1lnxxxxf题设,f(x)的定义域为 x0,两边同除以 x，化简为，这时 12axxxxfln xxa依然难求，我们进行参变分离，等效为.ln xxa令，则 xxxg ln 11xxg当，；当时，是的最大值点，10 x 0xg1x 0xg1x xg 11 gxg综上，的取值范围是.a , 1()法一：解析：设 xfxx1， 21ln2 xxxxx01不好讨论从而考虑分类讨论，原不等式即证 11ln2“2xxx.所以我们直接去讨论的单调性01110,xxx 时, x-10, 若题目成立，则f (x)0时若题目成立, f (x)

15、0f (x) xxxxxxxf1ln1ln1设；.解方程得，从而可知的单 1lnxxx 1lnxx 0xe2x x调性.在上单调递减，在上单调递增.从而可知，当 x时取得 x e1, 0 ,e1 e1 x最小值0e11从而知即.所以 f(x)在(0，)单增.并且 f(1)0.所以有 x0 0xf 01010xfxxfx时时法二：由()知，即. 11 gxg01ln xx当时，；10 x 01lnln1ln1xxxxxxxxf当时，1x 1lnlnxxxxxf 11lnlnxxxx0111lnln xxxx所以 01xfx总结总结：因为是一元不等式，所以采用方法一的求导这种最基本方法来确定函数的

16、单调 性，但是在题目中函数求导过于复杂，所以我们进行分类讨论，简化了求导运算。方法二 直接用了第一小问的结论，计算更简单，同学们在做题的过程中要注意这种方法。(10 全国卷 II 18)已知数列的前项和 nann nnnS32()求；nnnSalim()证明：nn naaa321222 21考点考点：本试题主要考查数列基本公式的运用，数列极限和数列 2111 nssnsannn不等式的证明，考查考生运用所学知识解决问题的能力. 规律方法规律方法：简单的数列不等式证明解析解析：(I)32 112132lim3342limlim212 nn nnnn Sannnnnnn(II)当 n1 时，361

17、121 San1 时11 212232321242 kkk k kkakk ka1 222 213232621nn naaannn 333313124所以nn naaa321222 21(10 湖北 21)已知函数 f(x)axc(a0)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为xbyx1.()用 a 表示出 b，c；()若 f(x)lnx 在1，)上恒成立，求 a 的取值范围；()证明：1ln(n1)(n1).21 31 n1 12nn考点考点：考察函数、导数、不等式的证明等基础知识。 规律方法规律方法：综合运用数学知识进行推理论证的能力和分类讨论的思想解析解析：() ，则有，解得 2xbaxf

18、 1101bafcbaf acab 211()由()知， axaaxxf211令， xaxaaxxxfxgln211ln , 1x则，01 g 222211111xaaxxaxaxax xxaaxg g(x)若在 1 点附近单减，则原不等式不成立.为判断 g(x)的单调性，我们在草稿纸上解不等式0 由 a0，我们可知 xg 0110 aaxxxg当，即时，0 的解集为.从而在aa1121a xg aaxxx11或上0 aa1, 1 xg即 g(x)在上单调递减，此时原不等式不成立 aa1, 1当，即时0 在1，)恒成立，也就是 g(x)在上单aa1121a xg aa1, 1调递增，从而对任意

19、 x(1，)有 g(x)g(1)0，即原不等式恒成立.我们可以分类讨论：(i)当，210 a11 aa若，则，是减函数，所以aax11 0xg xg 01 gxg，故在上恒不成立 xxfln xxfln, 1(ii)时，21a11 aa若，故当时， xxfln1x xxfln综上所述，所求的取值范围为a ,21()解法一：分析：这里注意： nn nnn1ln23ln12ln1,23,12ln1ln那么与的关系便是本题的突破口 kk1lnk1111211111ln ka kaakkakkakkfkk这时，我们发现我们好像找到了与和的关系但是二者前有系数，怎 kk1lnk1 11 k么办呢?如果让

20、两个系数相等就好了.两个系数何时相等呢?令 a(a1)求得.21a那么，我们由上面的式子就可以得到 111 211lnkkkk我们对这个式子左右两端求和，左侧正好有，右侧又有，1lnnn1 31 21这时，我们就离要证的不等式不远了.由()知：当时，有21a 1lnxxxf令，有21a 1ln1 21 xxxxxf当时，1xxxxln1 21 令，有kkx1 1111121 11 211lnkkkk kk kk即， 111 21ln1lnkkkknk, 3 , 2 , 1将上述个不等式依次相加得n1211 31 21 211ln nnn整理得121ln1 31 211nnnn解法二：用数学归纳

21、法证明分析：利用数学归纳法证明时，注意格式.关键问题是怎样用 nk 时的归纳假设推出 nk1 时的结论.证等式时往往很简单，但对于不等式，我们就需要去尝试，去计算注意 逆推的方法.如本题中，利用归纳假设，我们很容易将要证的不等式左边化为.那么我们只需证明即可.将其1221lnkkk2212ln1221lnkkkkkk变形，可得122 221 21ln kk kk kk也就是.这时，我们就可以考虑用上一问所得的结论证明 21 11 21 21lnkkkk这一不等式.(1)当时，左边，右边，不等式成立1n11412ln(2)假设时，不等式成立，就是kn 121ln1 31 211kkkk那么11

22、121ln111 31 211kkkkkk1221lnkkk由()知：当时，有21a 1lnxxxf令，有21a 1ln1 21 xxxxxf令，得：12 kkx1ln2ln12ln21 12 21 kkkk kk kk2212ln1221lnkkkkkk122ln111 31 211kkkkk就是说，当时，不等式也成立1 kn根据(1)和(2)，可知不等式对任何都成立Nn已知数列满足， na11a121nnaaNn(I)求通项公式 na(II)求证231 213221n aa aa aannn考点考点：数列不等式的证明 规律方法规律方法：数列的整形和不等式的放缩方法解析解析：(I)因为 所以

23、即121nnaa2221nnaa1211nnaa所以成等比数列.从而1nann naa22111 1所以12 n na(II)要证原不等式，只需证naa aa aannn13221222 32即32222013221 nn aa aa aan也就是32222011323212nnn aaa aaa aaa由递推公式可得：121nnaa121nnaa从而上不等式可化为：321110132naaa那么只要证明了32 121011nii就可以证得原不等式.由于对于任意正整数 i 都成立，所以上式左侧不等号0121i成立.利用等比数列求和公式，我们可以将展开：32 nii ii 11 11231 23121131231 32我们接下来比较和的通项12111in i11231in i 0231221 23121223 231 121111111111iiiiiiiii所以有 niniii 111132 231 121从而有成立 nii 1132 1210也就是成立231 213221n aa aa aannn