2022届高考数学一轮复习第三章第六节正弦定理和余弦定理课时作业理含解析北师大版202106302179.doc

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1、第六节第六节 正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理授课提示：对应学生用书第 311 页A 组基础保分练1（2021遵义联考）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若 a2ccos A，5sinA1，则 sin C 的值为（）A12B14C54D53解析：5sin A1，即 sin A55，又 a2ccos A，cos Aa2c0，cos A2 55由条件及正弦定理得 sin A2sin Ccos A，即5522 55sin C，sin C14答案：B2（2021阳春一中月考）已知在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，cax，b2，B30，若三角形有两个解，则

2、x 的取值范围是（）A（2，）B（2，2 2）C（2，4）D（2，2 3）解析：因为三角形有两个解，所以 xsin Bbx，可得 2x4，即 x 的取值范围是（2，4）答案：C3设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c若 bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不确定解析：因为 bcos Cccos Basin A，所以由正弦定理得 sin Bcos Csin Ccos Bsin2A，所以sin（BC）sin2A，又 sin（BC）sin A 且 sin A0，所以 sin A1，所以 A2，所以ABC为直角三角形答案：B

3、4（2021承德期末测试）设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若 b1，c 6，cos C23，则 a（）A3B4C5D6解析：由余弦定理可得 cos Ca2b2c22ab，即23a2162a，整理可得（a3）（3a5）0结合 a0，可得 a3答案：A5（2021江西上饶模拟）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，ABC 的面积为S，若 2S（ab）2c2，则 tan C 的值是（）A43B34C43D34解析：因为 S12absin C，c2a2b22abcos C，所以由 2S（ab）2c2，可得 absin C（ab）2（a2b22abcos C），整

4、理得 sin C2cos C2，所以（sin C2cos C）24，所以（sin C2cos C）2sin2Ccos2C4，sin2C4cos2C4sin Ccos Csin2Ccos2C4，化简得 3tan2C4tan C0，因为 C（0，），所以 tan C43答案：C6（2021青岛质检）如图，在ABC 中，D 是 AB 边上的点，且满足 AD3BD，ADACBDBC2，CD 2，则 cos A（）A13B24C14D0解析：设 BDx，则 AD3x，AC23x，BC2x，易知 cosADCcosBDC，由余弦定理可得9x22（23x）22 23xx22（2x）22 2x，解得 x13故

5、 AD1，AC1，cos AAD2AC2CD22ADAC0答案：D7在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 acos Bcb20，a272bc，bc，则bc_解析：由 acos Bcb20 及正弦定理可得 sin Acos Bsin Csin B20因为 sin Csin（AB）sin Acos Bcos Asin B，所以sin B2cos Asin B0，所以 cos A12，即 A23由余弦定理得 a272bcb2c2bc，即 2b25bc2c20，又 bc，所以bc2答案：28在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 asin Bcos

6、Ccsin Bcos A12b，则 B_解析：asin Bcos Ccsin Bcos A12b，sin Asin Bcos Csin Csin Bcos A12sin B又sin B0，sin Acos Csin Ccos A12，即 sin（AC）sin B120B，B6或56答案：6或569（2020高考全国卷）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 cos22Acos A54（1）求 A；（2）bc33a，证明：ABC 是直角三角形解析：（1）由已知得 sin2Acos A54，即 cos2Acos A140所以cos A1220，cos A12由于 0A，故 A3

7、（2）证明：由正弦定理及已知条件可得 sin Bsin C33sin A由（1）知 BC23，所以sin Bsin23B33sin3 即12sin B32cos B12，sinB3 12 由于 0B23，故 B2 从而ABC 是直角三角形10（2021西安质检）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，面积为 S，已知 2acos2C22ccos2A252b（1）求证：2（ac）3b；（2）若 cos B14，S 15，求 b解析：（1）证明：由已知得 a（1cos C）c（1cos A）52b在ABC 中，过 B 作 BDAC，垂足为 D（图略），则 acos Cccos Ab

8、所以 ac32b，即 2（ac）3b（2）因为 cos B14，所以 sin B154因为 S12acsin B158ac 15，所以 ac8又 b2a2c22accos B（ac）22ac（1cos B），2（ac）3b，所以 b29b2416114，所以 b4B 组能力提升练1（2021重庆六校联考）在ABC 中，cos2B2ac2c（a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边），则ABC 的形状为（）A直角三角形B等边三角形C等腰三角形D等腰三角形或直角三角形解析：已知等式变形得 cos B1ac1，即 cos Bac由余弦定理得 cos Ba2c2b22ac，代入得a2c2b22acac

9、，整理得 b2a2c2，即 C 为直角，则ABC 为直角三角形答案：A2（2021莱阳一中月考）在ABC 中，边 a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，且满足 bcos C（3ac）cos B，若BCBA4，则 ac 的值为（）A12B11C10D9解析：在ABC 中，bcos C（3ac）cos B，由正弦定理可得 sin Bcos C（3sin Asin C）cos B，3sin Acos Bsin Ccos Bsin Bcos C，即 3sin Acos Bsin Ccos Bsin Bcos C，即 3sinAcos Bsin（BC）sin A，又 sin A0，故 cos B13

10、由BCBA4，可得 accos B4，即ac12答案：A3在ABC 中，若 2cos Bsin Asin C，则ABC 的形状是（）A等腰直角三角形B直角三角形C等腰三角形D等边三角形解析：2cos Bsin Asin C，2a2c2b22aca2Rc2R，则 ab，所以ABC 为等腰三角形答案：C4（2021葫芦岛质检）在ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，如果 a，b，c 成等差数列，B30，ABC 的面积为32，那么 b（）A1 32B1 3C2 32D2 3解析：由余弦定理得 b2a2c22accos B（ac）22ac2accos B，又 SABC12acsin B

11、14ac32，故 ac6，因为 a，b，c 成等差数列，所以 ac2b，可得 b24b2126 3，整理得 b242 3，得 b1 3答案：B5（2021北京海淀区模拟）在锐角ABC 中，角 A，B 所对的边分别为 a，b，若 2asin B 3b，则角 A_解析：因为 2asin B 3b，所以 2sin Asin B 3sin B，因为 B（0，），sin B0，所以 sin A32，所以 A3或 A23因为ABC 为锐角三角形，所以 A3答案：36在ABC 中，A2B，AB73，BC4，CD 平分ACB 交 AB 于点 D，则线段 AD 的长为_解析：因为 A2B，BC4，所以由正弦定理

12、ACsin BBCsin A，得ACsin B4sin 2B42sin Bcos B，所以 cos B2AC，则 cos Acos 2B2cos2B18AC21在ABC 中，ACcos ABCcos BAB，即 AC8AC2142AC73，解得 AC163（舍去）或 AC3，由三角形的角平分线，得ADBDACBC，即AD73AD34，解得 AD1答案：17已知ABC 内接于半径为 R 的圆，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，且 2R（sin2Bsin2A）（bc）sin C，c3（1）求 A；（2）若 AD 是 BC 边上的中线，AD192，求ABC 的面积解析：（1）对于 2R（si

13、n2Bsin2A）（bc）sin C，由正弦定理得 bsin Basin Absin Ccsin C，即 b2a2bcc2，所以 cos Ab2c2a22bc12因为 0A180，所以 A60（2）以 AB，AC 为邻边作平行四边形 ABEC，连接 DE，易知 A，D，E 三点共线在ABE 中，ABE120，AE2AD 19，在ABE 中，由余弦定理得 AE2AB2BE22ABBEcos 120，即 199AC223AC12，得 AC2故 SABC12bcsinBAC3 328（2021汕头模拟）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，3bsin Aa（2cosB）（1）求角

14、B 的大小；（2）D 为边 AB 上一点，且满足 CD2，AC4，锐角三角形ACD 的面积为 15，求 BC 的长解析：（1）由正弦定理得3sin Bsin Asin A（2cos B），因为 A（0，），则 sin A0，所以3sin B2cos B，所以 2sinB6 2，所以 sinB6 1，因为 B（0，），所以 B62，解得 B3（2）由题意，可得 SACD12CDCAsinACD1224sinACD 15，解得 sinACD154又因为ACD 为锐角三角形，所以 cosACD 1sin2ACD14在ACD 中，由余弦定理得 AD2CA2CD22CACDcosACD422222414

15、16，所以 AD4在ACD 中，由正弦定理得CDsin AADsinACD，则 sin ACDADsinACD158，在ABC 中，由正弦定理得BCsin AACsin B，所以 BCACsin Asin B 5C 组创新应用练1如图，四边形 ABCD 的对角线交点位于四边形的内部，ABBC1，ACCD，ACCD，当ABC 变化时，BD 的最大值为_解析：设ACB02，则ABC2，DCB2，由余弦定理可知，AC2AB2BC22ABBCcosABC，即 ACDC 22cos 22cos 02，由余弦定理知，BD2BC2DC22BCDCcosDCB，即 BD24cos21212cos cos2 2

16、cos 22sin 232 2sin24 3由 02，可得42454，则（BD2）max2 23，此时8，因此（BD）max 21答案：212（2021云南师范大学附属中学月考）在ABC 中，D 为 AC 上一点，且 AD2，DC1，BD 为ABC 的平分线，则ABC 面积的最大值为_解析：如图，BD 为ABC 的角平分线，且 AD2，CD1由角平分线定理知ABBCADDC2，令 BCm，AB2m，由两边之和大于第三边，两边之差小于第三边知 1m3在ABC 中，由余弦定理知cosABC4m2m2922mm5494m2，所以 SABC122mmsinABCm21cos2ABCm215494m22

17、94m29494m2434（m21）（9m2）34m219m2223，当且仅当 m219m2，即 m 5时取等号，所以ABC 面积的最大值为 3答案：33如图，在平面四边形 ABCD 中，已知 A2，B23，AB6在 AB 边上取点 E，使得 BE1，连接 EC，ED若CED23，EC 7（1）求 sinBCE 的值；（2）求 CD 的长解析：（1）在BEC 中，由正弦定理，知BEsinBCECEsin BB23，BE1，CE 7，sinBCEBEsin BCE3272114（2）CEDB23，DEABCE，cosDEA 1sin2DEA 1sin2BCE13285 714A2，AED 为直角三角形，又 AE5，EDAEcosDEA55 7142 7在CED 中，CD2CE2DE22CEDEcosCED7282 72 712 49CD7