多自由度振动.ppt

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1、第第3章章 多自由度系统振动多自由度系统振动 3.1 二自由度系统的自由振动一.二自由度系统振动研究的意义 工程中的大量实际问题是不能简化为单自由度系统，而只能简化为多自由度系统才能充分描述其振动特性。二自由度系统振动问题具有一定的代表性，我们通过处理二自由度系统振动问题及实际应用来熟悉多自由度振动系统。另一方面，二自由度振动理论在实际中广泛的应用，因此讨论二自由度系统的振动，具有特别重要的意义。3.1 二自由度系统的自由振动二自由度系统的自由振动X1平衡位置X2平衡位置K1K2K3M1M2K22K11K33M1M2K3（3+x2）K1（1-x1）X1X2M1M21.力学模型坐标系统和受力分析

2、2.微分方程组建立3.1二自由度系统的自由振动 整理幅值不同，相位相同通解：其中3.1二自由度系统的自由振动 3.1二自由度系统的自由振动 振幅比振幅比3.1二自由度系统的自由振动 振幅比振幅比 这说明，虽然振幅的大小可用振动的初始条件来确定，但当系统按任一固有频率振动时，振幅比却和固有频率一样，只决定于系统本身的物理性质。3.1二自由度系统的自由振动 在任一瞬时两质量的位移比值也同样是确定的，并等于在任一瞬时两质量的位移比值也同样是确定的，并等于振幅比。其它各点的位移都可由振幅比。其它各点的位移都可由x x1 1和和x x2 2所决定。这样在振所决定。这样在振动过程中，系统各点位移的相对比值

3、动过程中，系统各点位移的相对比值都可由振幅比确定。都可由振幅比确定。可见振幅比确定系统的振动形态，因此称为主振型。与可见振幅比确定系统的振动形态，因此称为主振型。与p p1 1对应的振幅比对应的振幅比 称为第一阶主振型；与称为第一阶主振型；与p p2 2对应的振幅比对应的振幅比 称为第二阶主振型。称为第二阶主振型。3.1二自由度系统的自由振动 此式说明，当系统以频率p1振动时，质量m1和m2总是按同一方向运动；而当以频率p2振动时，m1和m2则按相反方向运动。系统以某一阶固有频率按其相应的主振型作振动，称为系统的主振动。3.1二自由度系统的自由振动 耦合：从振动方程可以看出，若K2=0，则是两

4、个独立的弹簧质量单自由度模型。也就时说K2将两个自由度的振动联系了起来。K1K2K3M1M23.1二自由度系统的自由振动 K1K2K3M1M2注意到实际振动形式是两种主振动的叠加二自由度汽车自由振动分析二自由度汽车自由振动分析 L2L1K2K1二自由度汽车力学模型二自由度汽车力学模型二自由度汽车自由振动分析二自由度汽车自由振动分析 L1L2K2K1二自由度汽车力学模型二自由度汽车力学模型平衡位置坐标系统和受力分析微分方程组建立二自由度汽车自由振动分析二自由度汽车自由振动分析 L1L2K2K1令二自由度汽车自由振动分析二自由度汽车自由振动分析 L1L2K2K1振幅比振幅比二自由度汽车主振动形态二

5、自由度汽车主振动形态 K2K1节点K2K1节点1阶主振型2阶主振型二自由度汽车主振动形态二自由度汽车主振动形态 K2K1节点K2K1节点1阶主振型2阶主振型二自由度汽车坐标变换二自由度汽车坐标变换 平衡位置汽车绕质心轴的回转半径惯性耦合系数质量分配系数其中二自由度汽车坐标变换二自由度汽车坐标变换 平衡位置称为汽车的偏频，它表示前后支点之 一受到限制时的振动频率。即x1=0时 的振动频率是 ；x2=0时的振动频 率是 。n3.2 二自由度系统的强迫振动 一.简述 设在双质量弹簧系统的质量m1与m2上分别作用简谐激振力 和 。如图3-3所示。图3-3二.振动微分方程及解 根据非齐次微分方程的解的结

6、构可知3.2二自由度系统的强迫振动二自由度系统的强迫振动m1m2k1k2k3x1x23.2二自由度系统的强迫振动二自由度系统的强迫振动 注意由于没有阻尼，所以激励和响应之间没有相位差。代入微分方程组，得 解之得3.2二自由度系统的强迫振动二自由度系统的强迫振动三.解的讨论 当f2=0，得 其曲线如图3-4(下页)所示。两个概念反共振：当加在x1上的激振力的频率 时，B1=0，实际上相当于没有m1和k1时m2-k2-k3组成的单自由度系统的固有频率，这叫反共振。利用这一规律，可以对定转速的电机进行减振，也叫动力减振方法。3.2二自由度系统的强迫振动二自由度系统的强迫振动 图3-43.2二自由度系

7、统的强迫振动二自由度系统的强迫振动 比值：当激振频率一定时是一个常数，即系统 有一定的振型。当激振频率等于某一 阶固有频率时，称之为某阶主振型。3.3多自由度系统的振动多自由度系统的振动n3.3 多自由度系统的振动 实际的工程结构都是具有无限多自由度的弹性体系，若通过离散化方法把分布质量聚缩成集中质量，就能将无限多自由度的弹性体简化为多自由度系统。因此，多自由党系统的振动理论是解决工程振动问题的基础。二自由度系统与多自由度系统的振动没有本质区别，但随着系统自由度数的增加，计算工作就越复杂。因此，在讨论多自由度系统的振动问题时，常采用表示简洁、算法规范的矩阵运算法。目前以矩阵和有限元法为基础的结

8、法已发展成一种通用的工程分析方法，成为分析多自由度系统振动问题的有力工具。一.二自由度的矩阵表示 采用如下表达形式：3.3多自由度系统的振动多自由度系统的振动 质量矩阵 刚度矩阵 位移列阵 外力列阵 则其矩阵方程为 注意每个矩阵元素的意义：刚度矩阵元素kij表示仅当使j点发生单位位移时，在i点上须施加的作用力。Mij表示仅当使j点发生单位加速度时，在i点上须施加的达朗贝尔力。二.多自由度系统的自由振动和主振型性质3.3多自由度系统的振动多自由度系统的振动 考虑n个自由度系统的自由振动：矩阵符号 二自由度矩阵分解形式 非矩阵表达形式 代入矩阵方程得空间扩展自由度增加参数和环境增加3.3多自由度系

9、统的振动多自由度系统的振动 即 令其行列式为零，即 展开即可得到确定系统固有频率的特征方程式。扩展到n维，即可得到其特征方程式为：可以证明在一般情况下可求出p2的n个大于零的正实根，它们就是系统的n个互不相等的固有频率。显然，对应于某固有频率pi，便可确定n个振幅值A1(i)，A2(i)，,An(i)的比例关系，表示系统有一定的振动形态，我们称它为对应于固有频率pi的振型。3.3多自由度系统的振动多自由度系统的振动 主振型 如果系统在某一个特殊的初始条件下，使得特定常数中只有 An(1)0，而其它An(2)=An(3)=An(n)=0，因而与An(j)(j=2,3,n)成正比的Ai(2)=Ai(3)=Ai(n)=0(i=1,2,n-1)。于是系统自由振动的一般解成为如下特殊形式：则 中各元素的比值，称为第一主振型。同理，可求得系统的第二阶、第三阶、一直到n阶主振型。