随机信号分析第三章.ppt

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1、3.23.23.23.2平平平平稳过稳过稳过稳过程相关函数的性程相关函数的性程相关函数的性程相关函数的性质质质质3.4 3.4 随机过程统计特性的实验研究方法随机过程统计特性的实验研究方法随机过程统计特性的实验研究方法随机过程统计特性的实验研究方法 3.5 3.5 相关函数的计算举例相关函数的计算举例相关函数的计算举例相关函数的计算举例 3.7 3.7 高斯随机过程高斯随机过程高斯随机过程高斯随机过程 小结小结小结小结3.3 3.3 平稳随机序列的自相关阵与协方差阵平稳随机序列的自相关阵与协方差阵平稳随机序列的自相关阵与协方差阵平稳随机序列的自相关阵与协方差阵 3 3.1 1 平稳随机过程及其

2、数字特征平稳随机过程及其数字特征平稳随机过程及其数字特征平稳随机过程及其数字特征 平稳随机过程在通信等应用领域中占有重要平稳随机过程在通信等应用领域中占有重要地位。其重要性来自两个方面：地位。其重要性来自两个方面：1.1.在实际应用中，特别在通信中所遇到的过在实际应用中，特别在通信中所遇到的过程大多属于或很接近平稳随机过程；程大多属于或很接近平稳随机过程；2.2.平稳随机过程可以用它的一维、二维统计平稳随机过程可以用它的一维、二维统计特征很好地描述。特征很好地描述。一、平稳随机过程的基本概念一、平稳随机过程的基本概念 1严平稳随机过程严平稳随机过程 一一个个随随机机过过程程X(t),X(t),

3、如如果果它它的的n n维维概概率率密密度度(或或n n维维分分布布函函数数)不不随随时时间间起起点点选选择择的的不不同同而而改改变变，则则称称X(t)X(t)是是严严平平稳稳随机随机过过程。程。该式说明，平稳随机过程的统计特性与所选取该式说明，平稳随机过程的统计特性与所选取的时间起点无关。或者说，整个过程的统计特性的时间起点无关。或者说，整个过程的统计特性不随时间的推移而变化。不随时间的推移而变化。平平稳稳随随机机过过程程的的n n维维概概率率密密度度不不随随时时间间平平移移而而变变化化的的特特性性，反反映映在在其其一一，二二维维概概率率密密度度及及数数字字特特征征上上具具有以下性有以下性质质

4、：(1)若若X(t)为平稳过程为平稳过程,则它的一维概率密度与时间无关。则它的一维概率密度与时间无关。所以与所以与一维分布一维分布有关的数字特征均为常数。有关的数字特征均为常数。所以与二所以与二维分布维分布有关的数字特征仅是有关的数字特征仅是的函数，的函数，而与而与t1,t2的本身取值无关的本身取值无关当当=0=0 时时，有，有若随机若随机过过程程 满满足足则称则称X(t)为宽平稳过程为宽平稳过程(或称广义平稳过程或称广义平稳过程)严平稳过程只要均方值有界，严平稳过程只要均方值有界，就是广义平稳的，就是广义平稳的，但反之则不一定。但反之则不一定。当当我我们们同同时时考考虑虑两两个个平平稳稳过过

5、程程X(t)X(t)和和Y(t)Y(t)时时，若若它它们们的互相关函数的互相关函数仅仅是是单变单变量量 的函数，即的函数，即则称则称X(t)和和Y(t)宽平稳相依，或称这两个随机过程宽平稳相依，或称这两个随机过程是联合宽平稳的。是联合宽平稳的。两个随机过程的联合概率分布不随时间平移而两个随机过程的联合概率分布不随时间平移而变化、与时间起点无关，则称这两个随机过程是变化、与时间起点无关，则称这两个随机过程是（严）联合平稳的，或（严）平稳相依的。（严）联合平稳的，或（严）平稳相依的。例例3.1 3.1 设设随机随机过过程程 式式中中a a，0 0为为常常数数，是是在在区区间间(0(0，2)2)上上

6、均均匀匀分分布布的的随随机机变变量量,这这种种信信号号通通常常称称为为随随相相正正弦弦波波。求求证证X(t)X(t)是是宽宽平平稳稳的。的。证：证：可见，可见，X(t)的均值为的均值为“0”。自相关函数仅与。自相关函数仅与有关，有关，故故X(t)是宽平稳过程。是宽平稳过程。可可见见，该该随随机机过过程程的的均均值值与与时时间间有有关关，自自相相关关函函数数也也与与时间时间t t1 1,t,t2 2的的值值均有关，所以不是平均有关，所以不是平稳过稳过程。程。例例3 32 2 设随机过程设随机过程 式中式中Y Y是随机变是随机变量。讨论量。讨论X(t)X(t)的平稳性。的平稳性。解解:例例3 33

7、 3 设设有有状状态态连连续续，时时间间离离散散的的随随机机过过程程X(t)=sin2At,X(t)=sin2At,式式中中t t只只能能取取整整数数值值，即即t=1t=1，2 2，式式中中的的A A是是在在（0 0，1 1）上上均均匀匀分分布布的的随随机机变变量量。试试讨讨论论X(t)X(t)的平的平稳稳性。性。解：解：(1)(1)可以可以证证明明X(t)X(t)是是宽宽平平稳稳的的.(2)(2)讨论讨论X(t)X(t)是否是是否是严严平平稳稳的的?令令t=tt=t1 1过过程的状程的状态为态为：这表明，过程的一维变量这表明，过程的一维变量x与与a是双值关系，于是可是双值关系，于是可求得过程

8、的一维概率密度为求得过程的一维概率密度为 可见，可见，X(t)的一维概率密度与时间的一维概率密度与时间t有关，因此有关，因此X(t)只是宽平稳的，不是严平稳过程。只是宽平稳的，不是严平稳过程。在上面的讨论中，每当谈到随机过程时，就意味在上面的讨论中，每当谈到随机过程时，就意味着所涉及的是大量的样本函数的集合。要得到随机过着所涉及的是大量的样本函数的集合。要得到随机过程的统计特性，就需要观察大量的样本函数。程的统计特性，就需要观察大量的样本函数。能否找到更简单的方法代替上述方法呢能否找到更简单的方法代替上述方法呢?各态历经性过程的各样本函数都同样的经历了各态历经性过程的各样本函数都同样的经历了随

9、机过程的各种可能状态随机过程的各种可能状态,因此从随机过程的任何一因此从随机过程的任何一个样本函数都可以得到随机过程的全部统计信息，个样本函数都可以得到随机过程的全部统计信息，任何一个样本函数的特性都可以充分地代表整个随任何一个样本函数的特性都可以充分地代表整个随机过程的特性。机过程的特性。样本函数样本函数x(t)的时间平均用的时间平均用 表示，定义为：表示，定义为：能否用典型能否用典型“样本函数样本函数”的时间平均代替集平的时间平均代替集平均？均？例：例：此随机过程的样本函数此随机过程的样本函数为不随时间变化的常量，为不随时间变化的常量，且且显然显然该过程的时间平均不等于集平均该过程的时间平

10、均不等于集平均 各态历经性过程的各样本函数都同样的经历了随机各态历经性过程的各样本函数都同样的经历了随机过程的各种可能状态过程的各种可能状态,任何一个样本函数的特性都可以充任何一个样本函数的特性都可以充分地代表整个随机过程的特性分地代表整个随机过程的特性,因此从随机过程的任何一因此从随机过程的任何一个样本函数都可以得到随机过程的全部统计信息。个样本函数都可以得到随机过程的全部统计信息。该过程的时间平均等于集平均该过程的时间平均等于集平均 定定义义 设设X(t)X(t)是一个平是一个平稳过稳过程程(1)若若 以概率以概率1成立，则称随机过程成立，则称随机过程X(t)的均值具有各态历经性。的均值具

11、有各态历经性。(2)若若 以概率以概率1 1成立，成立，则则称称X(t)X(t)的自相关函数具有各的自相关函数具有各态历经态历经性。性。式中式中分别称作分别称作X(t)的时间均值和时间自相关函数。的时间均值和时间自相关函数。若若X(t)的均值和自相关函数都具有各态历经性，的均值和自相关函数都具有各态历经性，则称则称X(t)是是宽各态历经过程宽各态历经过程。对于遍历过程对于遍历过程,只要根据其一个样函数只要根据其一个样函数,便可得便可得到其数字特征。到其数字特征。若若X(t)的所有统计平均特性和其样函数所有相的所有统计平均特性和其样函数所有相应的时间平均特性以概率为一相等应的时间平均特性以概率为

12、一相等,则称则称X(t)为严为严遍历过程或窄义遍历过程遍历过程或窄义遍历过程.本章仅限于研究宽遍历本章仅限于研究宽遍历过程过程.如果不加特别说明如果不加特别说明,遍历过程即指宽遍历过程遍历过程即指宽遍历过程.不难看出不难看出,遍历过程必定是平稳过程遍历过程必定是平稳过程,但平稳过程不但平稳过程不一定是遍历过程。一定是遍历过程。(3)(3)若若以以概概率率1 1成成立立，则则称称X(t)X(t)的的分分布布函函数数具具有有各各态态历历经经性性。式中式中 是否各态历经过程。是否各态历经过程。例例3.4 3.4 讨论讨论本本节节例例3.13.1所所给给出的随机出的随机过过程程解解:由例由例3.13.

13、1知知X(t)X(t)是平稳过程是平稳过程对对照例照例3.13.1的的结结果可得果可得所以所以X(t)是宽各态历经的。是宽各态历经的。例例35 讨论随机过程讨论随机过程X(t)=Y的各态历经性的各态历经性(图图3.3)，式中，式中Y是方差不为零的随机变量。是方差不为零的随机变量。解解:首先首先X(t)X(t)是平是平稳稳的，因的，因为为但但X(t)X(t)不具不具备备各各态历经态历经条件，因条件，因为为 是是个个随随机机变变量量，则则 ，故故X(t)X(t)不不是是各各态态历历经过经过程。可程。可见见并不是任何平并不是任何平稳过稳过程都是各程都是各态历经态历经的。的。(a)(b)(c)(d)在

14、电子工程中，若各态历经过程在电子工程中，若各态历经过程X(t)代表的噪声电压代表的噪声电压或电流，则其一、二阶矩函数有着明确的物理意义。或电流，则其一、二阶矩函数有着明确的物理意义。噪声电压噪声电压(或电流或电流)的均值实际就是它的直流分量的均值实际就是它的直流分量 RX(0)代表噪声电压代表噪声电压(或电流或电流)消耗在消耗在1欧姆电阻上的总欧姆电阻上的总平均功率平均功率 方差代表噪声电压方差代表噪声电压(或电流或电流)消耗在消耗在1欧姆电阻上的交欧姆电阻上的交流平均功率，流平均功率，性性质质1 1：R RX X()()是偶函数，即是偶函数，即满满足足性质性质2：证证：任何正的随机函数的数学

15、期望恒：任何正的随机函数的数学期望恒为为非非负值负值，即，即证证：同理协方差函数：同理协方差函数：对对于平于平稳过稳过程，有程，有对对于于中中心心化化自自相相关关函函数数(或或协协方方差差函函数数)，不不难难得得到到同同样的结论：样的结论：性质性质3：周期平稳过程的自相关函数必是周期函数，周期平稳过程的自相关函数必是周期函数，且与过程的周期相同。且与过程的周期相同。若平稳过程若平稳过程X(t)满足条件满足条件X(t)=X(t+T)，则称它为周期，则称它为周期平稳过程，其中平稳过程，其中T为过程周期。为过程周期。应用：提取信号周期应用：提取信号周期 一种基于线性预测与自相关函一种基于线性预测与自

16、相关函数法的语音基音周期检测新算法数法的语音基音周期检测新算法性质性质3扩展扩展：如果随机过程含有周期分量，那么平稳如果随机过程含有周期分量，那么平稳过程的自相关函数也含有周期分量，且周期相同。过程的自相关函数也含有周期分量，且周期相同。例：例：为（为（0，2）上均匀分布，）上均匀分布，N（t)与与 统计独立统计独立可见自相关函数中也可见自相关函数中也含有周期分量。含有周期分量。应用应用：淹没在加性噪声中的某个周期信号可从自相：淹没在加性噪声中的某个周期信号可从自相关函数曲线中关函数曲线中“发现发现”。如潜艇探测如潜艇探测:发动机发动机(周期性周期性)+海浪海浪(随机随机)性性质质4 4：平平

17、稳稳过过程程的的均均方方值值可可以以由由自自相相关关函函数数令令=0=0得到。得到。R RX X(0)(0)代表了平稳过程的代表了平稳过程的“总平均功率总平均功率”。性质性质5 5：不包含任何周期分量的非周期平稳过程满足：不包含任何周期分量的非周期平稳过程满足 这这是是因因为为，从从物物理理意意义义上上讲讲，当当增增大大时时X(t)X(t)与与X(t+)X(t+)之之间间相相关关性性会会减减弱弱，在在的的极极限限情情况况下下，两者相互独立，于是有两者相互独立，于是有对于中心化自相关函数，则有对于中心化自相关函数，则有 性性质质6 6：若若平平稳稳过过程程含含有有平平均均分分量量(均均值值)为为

18、m mX X，则则自自相关函数将含有固定分量相关函数将含有固定分量m mX X2 2。即。即当考虑到非周期平稳过程有当考虑到非周期平稳过程有 ，并，并=0=0时，得时，得性质性质7 7：自相关函数必须满足：自相关函数必须满足这一条件限制了自相关函数曲线图形不能有任意形状，不这一条件限制了自相关函数曲线图形不能有任意形状，不能出现平顶，垂直边或在幅度上的任何不连续。能出现平顶，垂直边或在幅度上的任何不连续。性性质质8:8:一一个个函函数数能能成成为为自自相相关关函函数数的的充充要要条条件件是是，必须满足半正定性，即对任意函数必须满足半正定性，即对任意函数f(t)有平稳过程的自相关函数平稳过程的自

19、相关函数RX()及及CX()的典型曲线如图的典型曲线如图3.5(a)及图及图3.5(b)所示。所示。指出题指出题3.11图中函数曲线能否是正确的自相图中函数曲线能否是正确的自相关函数曲线，为什么？关函数曲线，为什么？例例3.7 3.7 平稳过程平稳过程X(t)X(t)的自相关函数为的自相关函数为 求求X(t)X(t)的均值、均方值和方差。的均值、均方值和方差。解：解：式中式中 对应为一平稳周期过程的相关函数（随对应为一平稳周期过程的相关函数（随相正弦波的相关函数）相正弦波的相关函数）,该分量的均值为零。该分量的均值为零。对于非周期分量的对于非周期分量的 有：有：均方值为：均方值为：方差为：方差

20、为：例例3 38 8 已知平稳过程已知平稳过程X(t)X(t)的相关函数为的相关函数为求求X(t)的均值和方差。的均值和方差。解解:(1)(1)相关系数相关系数定义为：定义为：实际上实际上X()是对平稳随机过程的协方差函数作是对平稳随机过程的协方差函数作归一归一化处理，可称作归一化自相关函数。显然，化处理，可称作归一化自相关函数。显然，X()具具有与有与CX()相同的特点，并且相同的特点，并且X(0)=1.相关系数值的大小可相关系数值的大小可直观地说明随机过程直观地说明随机过程的相关性大小或随机的相关性大小或随机过程起伏快慢。过程起伏快慢。定义定义1 1：取对应于：取对应于X()=005的那个

21、时间为相关时的那个时间为相关时间间0 定定义义2 2：用用图图3.63.6中中的的矩矩形形(高高为为X X(0)=1(0)=1，底底为为0 0的的矩矩形形)面面积积等等于于阴阴影影面面(X X()()积积分分的的一一半半)来来定定义义0 0，即，即 相相关关时时间间0 0愈愈小小，就就意意味味着着相相关关系系数数X X()()随随的的增增加加降降落落得得愈愈快快，也也就就说说明明随随机机过过程程随随时时间间变变化化得得愈愈剧烈。反之，剧烈。反之，0 0大则说明随机过程随时间变化缓慢。大则说明随机过程随时间变化缓慢。性质性质1：性质性质2：可见互相关函数既不是奇函数也不是偶函数。可见互相关函数既

22、不是奇函数也不是偶函数。性质性质3：性质性质4：互相关系数互相关系数 随随机机序序列列的的自自相相关关阵阵与与协协方方差差阵阵具具有有对对称称性性与与半半正正定定性性。若若随随机机序序列列是是平平稳稳的的，则则可可以以证证明明上上述述两两个个矩矩阵阵还还是是ToeplitzToeplitz矩阵，即矩阵的每一条对角线上的元素是相同的。矩阵，即矩阵的每一条对角线上的元素是相同的。从一个样本函数的有限个样本数据：从一个样本函数的有限个样本数据：出发找出总体的统计特性，在统计学中称为估值问出发找出总体的统计特性，在统计学中称为估值问题。这是一个内容十分广泛的课题，作为基础课程题。这是一个内容十分广泛的

23、课题，作为基础课程这里我们仅研究其基本统计特性，均值、方差、这里我们仅研究其基本统计特性，均值、方差、相关函数、功率谱密度相关函数、功率谱密度 留待下章留待下章)及密度函数的估及密度函数的估计问题。计问题。注意注意：前提是基于该随机过程是各态历经过程的假：前提是基于该随机过程是各态历经过程的假设设设设X X0 0,X,X1 1,X,XN-1N-1是是统统计计独独立立的的高高斯斯随随机机变变量量，这这种种情情况况称称X Xj j为为独独立立高高斯斯随随机机序序列列。设设其其未未知知均均值值为为m mX X，则则以以m mX X为条件的多维密度函数为条件的多维密度函数(称为似然函数称为似然函数)为

24、为由于对数函数的单调性，用似然函数的对数更简单由于对数函数的单调性，用似然函数的对数更简单 让对数似然函数取最大值让对数似然函数取最大值 得到得到均值的最大似然估值均值的最大似然估值 此式说明，可用此式说明，可用N个观测值的算术平均作为均值个观测值的算术平均作为均值mX的估值。的估值。MATLAB的均值函数的均值函数:m=mean(x)1 1有偏估计与无偏估计有偏估计与无偏估计 由于估计量依赖于观测结果，因此估计量本身是由于估计量依赖于观测结果，因此估计量本身是随机变量，于是它也存在其均值和方差。随机变量，于是它也存在其均值和方差。若若估估计计量量的的数数学学期期望望等等于于真真值值 ，则则称

25、称该该估计量为估计量为无偏估计量无偏估计量，反之则称为，反之则称为有偏估计量有偏估计量。例如，上面介绍的均值估计量是一个无偏估计量。例如，上面介绍的均值估计量是一个无偏估计量。当估计量为有偏估计量时，一般称偏差值当估计量为有偏估计量时，一般称偏差值 为偏倚。显然，无偏估计量的偏倚为零。为偏倚。显然，无偏估计量的偏倚为零。另若另若，但，但则称为则称为渐近无渐近无偏估计量偏估计量 估估计计量量的的方方差差，反反映映了了该该估估计计量量围围绕绕均均值值的的分分散散程程度度的的大大小小。一一般般来来讲讲当当样样本本数数N一一定定时时，方方差差小小的的无无偏偏估估计计量量就就是是比比较较好好的的估估计计

26、量量。若若N时时，估估计计量量的的方差趋于零，则称该估计量为方差趋于零，则称该估计量为一致估计量一致估计量。一一般般情情况况下下，认认为为偏偏倚倚与与方方差差两两者者均均小小的的估估计计量量为为好好估估计计量量。为为方方便便起起见见，可可以以定定义义均均方方误误差差，即即估估计量与真值的均方差，定义为计量与真值的均方差，定义为则可以认为，均方误差小的估计量为好估计量。则可以认为，均方误差小的估计量为好估计量。可以证明上面的均值估计量为一致估计量，即可以证明上面的均值估计量为一致估计量，即可以证明，方差的最大似然估值为可以证明，方差的最大似然估值为 若均值方差均为待估计量，则可将均值估计值代入若

27、均值方差均为待估计量，则可将均值估计值代入 1 1 是有偏估计量，是有偏估计量，但当但当N时时,，则为渐进无偏的。，则为渐进无偏的。2 2 为一致估计量为一致估计量MATLAB的方差估计函数的方差估计函数:sigma2=var(x,1)性质性质 1 是渐近无偏的是渐近无偏的.性质性质2 是一致估计量。是一致估计量。自相关函数的定义为：自相关函数的定义为：自相关函数的有偏估计：自相关函数的有偏估计：MATLAB函数用法函数用法:c=xcorr(x,y)c=xcorr(x)c=xcorr(x,y,option)c=xcorr(x,option)Option 选项是选项是:biased有偏估计有偏估

28、计 unbiased无偏估计无偏估计 coeff m=0的相关函数值归一化为的相关函数值归一化为1 none不做归一化处理不做归一化处理最简单的一维密度函数的估计方法，这种方法称为最简单的一维密度函数的估计方法，这种方法称为直方图法直方图法。i等距直方图，等距直方图，.等概直方图等概直方图 MATLAB直方图函数直方图函数:hist(y,x)PhotoShop中的直方图随机过程的模拟与特征估计随机过程的模拟与特征估计:模拟一个正态分布随模拟一个正态分布随机序列的机序列的N个样本个样本,然后估计其各数字特征然后估计其各数字特征.N=1000;subplot(3,1,2);x=randn(N,1)

29、;plot(r);m=mean(x);title(自相关函数自相关函数);sigma2=var(x);gridr=xcorr(x,biased);figure subplot(3,1,3);subplot(3,1,1);i=-2.9:0.1:2.9;plot(x);hist(x,i);title(样本曲线样本曲线);title(随机序列的直方图随机序列的直方图);grid gridMATLAB仿真程序如下仿真程序如下:运行结果运行结果:m=0.0011sigma2=1.0374二元随机过程的相关函数计算二元随机过程的相关函数计算 二二元元随随机机信信号号的的样样本本函函数数如如图图3.103.

30、10所所示示，它它是是离离散散、平平稳稳、零零均均值值的的，并并且且幅幅度度仅仅有有a两两个个值值的的随随机机过过程程，幅幅度度变变化化只只在在等等时时间间间间隔隔T上上产产生生，并并且且变变号号与与不不变变号号是是等等概概发发生生的的。跳跳变变时时间间t0是是在在时时间间间间隔隔T上上均均匀匀分分布布的的随随机机变变量量，此此外外，还还假假设设x(t)落落在在不不同同时间间隔内的值是相互独立的。时间间隔内的值是相互独立的。(1)(1)当当 时时，t t1 1和和t t1 1+必必定定落落在在两两个个不不同同的的时时间间间间隔上，故隔上，故x x1 1和和x x2 2是独立的，于是有是独立的，

31、于是有(2)当当 时，时，t1和和t1+是否能落在同一个时间间隔是否能落在同一个时间间隔内有两种可能性内有两种可能性(i)0(i)0时，要落入同一间隔必须满足时，要落入同一间隔必须满足 t0 t1 t2 t0+TPtPt1 1与与t t1 1+在同间隔内在同间隔内=P(t=P(t1 1+-T)t+-T)t0 0tt1 1)由于由于t t0 0在间隔在间隔T T上均匀分布，故上均匀分布，故p(tp(t0 0)=1/T,)=1/T,于是于是PtPt1 1与与t t1 1+在同间隔内在同间隔内 t0 t1 t2 t0+T()0()0时，要落入同一间隔必须满足时，要落入同一间隔必须满足 即即 PtPt

32、1 1与与t t1 1+在同间隔内在同间隔内 归纳上面两种情况，可得归纳上面两种情况，可得 PtPt1 1与与t t1 1+在同间隔内在同间隔内 t0 t1+t1 t0+T故有故有 由此可计算当由此可计算当 时的自相关函数：时的自相关函数：一、复随机变量一、复随机变量 定义复随机变量定义复随机变量Z Z为：为：Z=X+jY 式中的式中的X和和Y都是我们已经熟悉的实随机变量。都是我们已经熟悉的实随机变量。下面我们把普通实随机变量的数学期望、方差和下面我们把普通实随机变量的数学期望、方差和相关矩等概念推广到复随机变量的情况。首先我们相关矩等概念推广到复随机变量的情况。首先我们指出指出这种推广必须遵

33、循的原则是：这种推广必须遵循的原则是：在特殊情况下，在特殊情况下，即即当当Y=0时时(此时，此时，Z成为实随机变量成为实随机变量)，它们应等于，它们应等于实随机变量的数学期望、方差和相关矩实随机变量的数学期望、方差和相关矩。复随机变量复随机变量Z Z的数学期望定义为：的数学期望定义为：复随机变量复随机变量Z Z的方差定义为：的方差定义为：式中式中 即复随机变量的方差等于它的实部和虚部的方即复随机变量的方差等于它的实部和虚部的方差之和，复随机变量的方差是非负的实数。差之和，复随机变量的方差是非负的实数。对于两个复随机变量对于两个复随机变量Z1和和Z2：它们的相关矩它们的相关矩 定义为：定义为：式

34、中式中*表示复共扼，即表示复共扼，即 复随机变量复随机变量 协方差定义为：协方差定义为：可见两个复随机变量涉及四个实随机变量可见两个复随机变量涉及四个实随机变量。两个复随机变量的独立，不相关、正交等概念两个复随机变量的独立，不相关、正交等概念 Z1和和Z2相互统计独立需满足：相互统计独立需满足：Z1与与Z2不相关不相关 只需满足：只需满足：或或 若满足若满足 则称则称Z Z1 1与与Z Z2 2正交正交.定义复随机过程定义复随机过程Z(t)Z(t)为为 式中，式中，X(t)，Y(t)皆为实随机过程。皆为实随机过程。复复过过程程Z(t)Z(t)的的统统计计特特性性可可由由X(t)X(t)和和Y(

35、t)Y(t)的的2n2n维维联联合合概率分布概率分布(密度密度)完整地描述，其概率密度为：完整地描述，其概率密度为：定义复随机过程的数学期望为：定义复随机过程的数学期望为：定义复随机过程的方差为：定义复随机过程的方差为：定义复随机过程的自相关函数为定义复随机过程的自相关函数为协方差函数定义为协方差函数定义为:当当=0=0时，中心化自相关函数就是方差时，中心化自相关函数就是方差如果复随机过程如果复随机过程Z(t)Z(t)满足：满足：称称Z(t)是宽平稳的复随机过程是宽平稳的复随机过程 注注：平稳复随机过程的自相关函数不具有对称性。：平稳复随机过程的自相关函数不具有对称性。同同理理，对对于于两两个

36、个复复随随机机过过程程Z Z1 1(t),Z(t),Z2 2(t),(t),定定义义它们的互相关函数和互协方差为：它们的互相关函数和互协方差为：若若Z Z1 1(t),Z(t),Z2 2(t)(t)联合平稳，则联合平稳，则若若则称则称Z1(t)与与Z2(t)互不相关。互不相关。若若则称则称Z1(t)与与Z2(t)为正交过程。为正交过程。例例3.83.8随机过程随机过程X(t)X(t)由由N N个复数信号之和构成，即个复数信号之和构成，即式中式中0 0为角频率为角频率(常数常数)，A Ak k为第为第k k个信号的幅度、个信号的幅度、是随机变量，是随机变量，k k是在是在(0(0，2)2)上均匀

37、分布的随机上均匀分布的随机相位。现假设对所有变量相位。现假设对所有变量A Ak k和和k k(k=1,2,(k=1,2,N),N)，都是统计独立的。求，都是统计独立的。求X(t)X(t)的自相关函数。的自相关函数。解：解：因为因为A Ak k和和k k统计独立，所以统计独立，所以由于由于于是于是 高高斯斯过过程程定定义义：如如果果对对于于任任意意时时刻刻 ，随随机机过过程程的的任任意意n维维随随机机变变量量 的的n维维密度函数服从高斯分布，则密度函数服从高斯分布，则X(t)就是高斯过程。就是高斯过程。高斯过程的高斯过程的n维概率密度函数为：维概率密度函数为：式中式中m,x为为n维向量维向量C为

38、协方差矩阵：为协方差矩阵：由此可见，正态随机过程的由此可见，正态随机过程的n维概率分布仅取决于其维概率分布仅取决于其一、二阶矩函数。一、二阶矩函数。另高斯过程的另高斯过程的n n维概率密度函数的展开式：维概率密度函数的展开式：高斯过程的多维特征函数高斯过程的多维特征函数 正态随机过程的正态随机过程的n维概率分布仅取决于其一、二阶维概率分布仅取决于其一、二阶矩函数。所以当它满足宽平稳条件时，其一、二阶矩矩函数。所以当它满足宽平稳条件时，其一、二阶矩与时间起点无关，故其与时间起点无关，故其n n维概率密度函数也与时间起维概率密度函数也与时间起点无关，必然是严平稳的点无关，必然是严平稳的 。性质性质

39、1：宽平稳高斯过程一定是严平稳过程。：宽平稳高斯过程一定是严平稳过程。如平稳高斯过程的一、二维概率密度函数为：如平稳高斯过程的一、二维概率密度函数为：性质性质2：若平稳高斯过程在任意两个不同时刻是不：若平稳高斯过程在任意两个不同时刻是不相关的，那么也一定是互相关的，那么也一定是互相独立的。相独立的。所以，所以，高斯过程的不相关性和独立性也是等价的高斯过程的不相关性和独立性也是等价的。由不相关性知，对任意两个不同时刻由不相关性知，对任意两个不同时刻t ti i,t,tk k，有有 由式由式(3.7.7)(3.7.7)：由由此此当当随随机机过过程程不不相相关关时时，可可得得平平稳稳高高斯斯过过程程

40、的的二维概率密度函数为二维概率密度函数为n维分布为维分布为综上所述，综上所述，高斯过程的宽平稳性和严平稳性是等价的；高斯过程的宽平稳性和严平稳性是等价的；不相关性和独立性也是等价的不相关性和独立性也是等价的。性质性质3：平稳高斯过程与确定时间信号之和仍是高斯过程。平稳高斯过程与确定时间信号之和仍是高斯过程。设混合信号设混合信号Z(t)=Y(t)+S(t)，其中S(t)为确定信号为确定信号，Y(t)为为平稳高斯过程，前面讨论过的两独立随机变量之和的平稳高斯过程，前面讨论过的两独立随机变量之和的概率密度为两随机变量概率密度的卷积在这也适用。概率密度为两随机变量概率密度的卷积在这也适用。由于由于S(

41、t)为确定信号，故其概率密度可表示为为确定信号，故其概率密度可表示为s-S(t)混合信号的一维概率密度为：混合信号的一维概率密度为：当当Y Y为高斯分布，则混合信号的一维分布也是高斯的。为高斯分布，则混合信号的一维分布也是高斯的。同理可得混合信号同理可得混合信号Z(t)Z(t)的二维概率密度为的二维概率密度为依此类推可得混合信号依此类推可得混合信号Z(t)的的n维概率密度维概率密度:当当Y(t)为一个高斯过程时，只要将式为一个高斯过程时，只要将式(3.7.1)的指数的指数项中每一对项中每一对(yi-mY)用用(zi-s(ti)-mY)代替，即可得到混合代替，即可得到混合信号的信号的n维概率密度

42、。维概率密度。还须指出，对于平稳高斯过程与确定信号之和的还须指出，对于平稳高斯过程与确定信号之和的分布而言，仍可得到高斯分布，但是一般情况下混分布而言，仍可得到高斯分布，但是一般情况下混合信号不再是平稳的了。合信号不再是平稳的了。性质性质4：若正态随机过程：若正态随机过程 在在T上是均方可积的，则上是均方可积的，则也是正态过程。也是正态过程。性性质质5：若若正正态态随随机机过过程程 在在T上上是是均均方方可可微微的的，则其导数也是正态过程。则其导数也是正态过程。一个高斯随机过程经任意线性变换（如线性相一个高斯随机过程经任意线性变换（如线性相加、线性放大、微分、积分等），其输出仍是加、线性放大、

43、微分、积分等），其输出仍是高斯随机过程高斯随机过程1 1、宽宽平平稳稳随机随机过过程程2 2、宽、宽各态历经过程各态历经过程X(t)的均值和自相关函数都具有各态历经性的均值和自相关函数都具有各态历经性3 3 3 3、平稳过程自相关函数的性质平稳过程自相关函数的性质平稳过程自相关函数的性质平稳过程自相关函数的性质R RX X()()是偶函数是偶函数周期平稳过程的自相关函数必是周期函数周期平稳过程的自相关函数必是周期函数不包含任何周期分量的非周期平稳过程满足不包含任何周期分量的非周期平稳过程满足相关系数、相关时间相关系数、相关时间4 4 4 4、随机过程统计特性的实验研究方法、随机过程统计特性的实

44、验研究方法、随机过程统计特性的实验研究方法、随机过程统计特性的实验研究方法估计量的性质估计量的性质无偏估计量、有偏估计量、渐近无偏估计量、无偏估计量、有偏估计量、渐近无偏估计量、一致估计量一致估计量均值的最大似然估值均值的最大似然估值 方差的最大似然估值方差的最大似然估值自相关函数的估自相关函数的估计计5 5 5 5、高斯随机过程的性质、高斯随机过程的性质、高斯随机过程的性质、高斯随机过程的性质性质性质1：宽平稳和严平稳等价：宽平稳和严平稳等价性质性质2 2：不相关性和独立性也是等价的：不相关性和独立性也是等价的性质性质3：平稳高斯过程与确定时间信号之和仍是平稳高斯过程与确定时间信号之和仍是高斯过程高斯过程性质性质4：一个高斯随机过程经任意线性变换（如：一个高斯随机过程经任意线性变换（如线性相加、线性放大、微分、积分等），其输线性相加、线性放大、微分、积分等），其输出仍是高斯随机过程出仍是高斯随机过程3，4，5，10，12，13，14，16，*25