线性代数向量组的线性相关与线性无关.ppt

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1、3.2 向量组的线性相关向量组的线性相关 与线性无关与线性无关一、线性组合的概念一、线性组合的概念定义定义1：和向量和向量如果存在一组实数如果存在一组实数使得使得则称向量则称向量 是向量组是向量组A的的线性组合，线性组合，给定向量组给定向量组或称向量或称向量 能由向量组能由向量组A线性表示。线性表示。例如例如：有有所以，称所以，称 是是 的线性组合，的线性组合，或或 可以由可以由 线性表示。线性表示。线性方程组的矩阵表示和向量表示：线性方程组的矩阵表示和向量表示：令令方程组可表示为方程组可表示为其中其中若记若记即即为方程组的为方程组的系数列向量系数列向量则方程组的向量表示为则方程组的向量表示为

2、即即则线性方程组是否有解等价于向量方程则线性方程组是否有解等价于向量方程是否有解是否有解而向量方程是否有解等价于向量而向量方程是否有解等价于向量 能否用能否用向量组向量组 线性表示线性表示例例线性方程组线性方程组则方程组可以表示为向量方程则方程组可以表示为向量方程则方程组可以表示为向量方程则方程组可以表示为向量方程由于方程组存在一组解由于方程组存在一组解即存在一组数即存在一组数使使即即 能用向量组能用向量组 线性表示线性表示方程组的解方程组的解线性表示的系数线性表示的系数 向量向量 可由向量组可由向量组 线性表示的线性表示的 充分必要条件是：充分必要条件是：以以为为系数列向量，系数列向量，以以

3、列向量列向量的线性方程组有解，且一个解就是线的线性方程组有解，且一个解就是线性表示的系数。性表示的系数。为为常数项常数项由此我们得到如下由此我们得到如下结论结论：二、线性相关性与线性无关二、线性相关性与线性无关定义定义2 2则称向量组则称向量组A是是线性相关线性相关的，的，线性无关线性无关则必有则必有k1=k2=km=0否则称它否则称它线性无关线性无关向量组向量组由于存在不全为零的数由于存在不全为零的数2，1，-1使使故向量组故向量组 线性相关线性相关例如例如而向量组而向量组不存在不全为零的数不存在不全为零的数 使使即只有即只有 时时 才成立才成立所以向量组所以向量组 线性无关线性无关说明说明

4、1.1.对于任一向量组，不是线性相关就是线性无对于任一向量组，不是线性相关就是线性无关。关。2.2.向量组只包含一个向量时，如果它线性相关，向量组只包含一个向量时，如果它线性相关，则必是零向量。则必是零向量。3.3.包含零向量的任何向量组是线性相关的。包含零向量的任何向量组是线性相关的。4.4.对于含有两个向量的向量组，它线性相关对于含有两个向量的向量组，它线性相关的充要条件是两向量的分量对应成比例。的充要条件是两向量的分量对应成比例。例如例如 如果如果 线性相关，则使等式线性相关，则使等式 成立的成立的 中至少有一个非零中至少有一个非零假设假设 则有则有 即两向量的对应分量成比例即两向量的对

5、应分量成比例两向量相差常数倍两向量相差常数倍线性相关性在线性方程组中的应用线性相关性在线性方程组中的应用可表示为向量方程可表示为向量方程其中其中则齐次线性方程组是否有非零解等价于向量方程则齐次线性方程组是否有非零解等价于向量方程是否有非零解是否有非零解而向量方程是否有非零解等价于向量组而向量方程是否有非零解等价于向量组 是否线性相关。是否线性相关。由此我们得到如下由此我们得到如下结论结论：向量组向量组 线性相关线性相关的充分必要的充分必要条件是：齐次线性方程组有条件是：齐次线性方程组有非零解非零解。显然，如果齐次线性方程只有零解，则对显然，如果齐次线性方程只有零解，则对该方程增加若干方程后仍有

6、零解，由此我们得该方程增加若干方程后仍有零解，由此我们得到如下命题到如下命题命题命题1设有两个向量组设有两个向量组若向量组若向量组A线性无关，则向量组线性无关，则向量组B也线性无关。也线性无关。对应向量组对应向量组 线性无关线性无关说明说明增加方程个数相当于向量增加方程个数相当于向量 增加分量，但向量组所含向量的个数不变增加分量，但向量组所含向量的个数不变 由于线性方程组的解与方程组中方程的次由于线性方程组的解与方程组中方程的次序无关，由此我们得到如下命题序无关，由此我们得到如下命题命题命题2设有两个向量组设有两个向量组则向量组则向量组A与与B的线性相关性相同。的线性相关性相同。其中其中 是是

7、 这这n个自然数的某个确个自然数的某个确定的排列，定的排列，说明说明改变方程的次序相当于改变向量改变方程的次序相当于改变向量 的各分量的次序。的各分量的次序。例例 1 证明证明 n 维单位坐标向量组维单位坐标向量组线性无关；并将任意线性无关；并将任意n维向量维向量 表示成表示成 的线性组合的线性组合解解设存在一组数设存在一组数 ，使得，使得按照向量的数乘、加法运算可得按照向量的数乘、加法运算可得根据向量相等的定义，即有根据向量相等的定义，即有所以所以 线性无关线性无关对于任意给定的对于任意给定的n维向量维向量例例2 讨论向量组讨论向量组的线性相关性的线性相关性解解假设存在假设存在 x,y,z，

8、使得，使得即即由向量相等的定义得由向量相等的定义得容易验证容易验证 x=1,y=1,z=-1是上述方程的一组非零解是上述方程的一组非零解即存在一组不全为零的数即存在一组不全为零的数 1，1，1使使所以所以 线性相关线性相关实际上象这样维数和实际上象这样维数和向量个数相等的向量向量个数相等的向量组，讨论线性相关或组，讨论线性相关或无关时，只需考虑以无关时，只需考虑以、构成的行列构成的行列式是否为式是否为0，为零则，为零则线性相关，否则线性线性相关，否则线性无关。无关。例例3 设设则则t为何值时向量组为何值时向量组 线性相关线性相关解解向量组向量组 线性相关等价于行列式线性相关等价于行列式即即t5时时 线性相关线性相关证证设有设有x1，x2，x3使使故方程组只有零解故方程组只有零解x1=x2=x3=0，所以向量组所以向量组 线性无关。线性无关。例例5 把向量把向量 表示成向量组表示成向量组的线性组合的线性组合解解设存在四个数设存在四个数 ，使得，使得即即由向量的线性运算及向量相等的定义得由向量的线性运算及向量相等的定义得应用克莱姆法则解此方程组应用克莱姆法则解此方程组解得解得所以所以注注0 也可以把方程组写成矩阵方程也可以把方程组写成矩阵方程AX，则，则XA-1，用初等行变换即可求，用初等行变换即可求X