控制工程基础8-第3章 (控制系统的时域分析-2).ppt

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1、第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 分分析析和和设设计计控控制制系系统统的的首首要要任任务务是是建建立立系系统统的的数数学学模模型型。一一旦旦获获得得合合理理的的数数学学模模型型，就就可可以以采采用用不不同同的的分分析析方方法法来来分析系统的性能。分析系统的性能。经典控制理论中常用的工程方法有经典控制理论中常用的工程方法有经典控制理论中常用的工程方法有经典控制理论中常用的工程方法有 时域分析法时域分析法时域分析法时域分析法 频率特性法频率特性法频率特性法频率特性法 根轨迹法根轨迹法根轨迹法根轨迹法分析内容分析内容分析内容分析内容 瞬态响应瞬态响应瞬态响应瞬态响应 稳定性稳定性稳

2、定性稳定性 稳态性能稳态性能稳态性能稳态性能时域分析法在时域分析法在时间域内时间域内研究系统在研究系统在典型输入信号典型输入信号典型输入信号典型输入信号的作用下的作用下，其其输出响应输出响应输出响应输出响应随时间变化规律的方法。对于任何一个随时间变化规律的方法。对于任何一个稳定稳定的控的控制系统，输出响应含有瞬态分量和稳态分量。制系统，输出响应含有瞬态分量和稳态分量。23.1 3.1 时间响应性能指标时间响应性能指标3.2 3.2 一阶系统的时域响应一阶系统的时域响应3.3 3.3 二阶系统的时域响应二阶系统的时域响应3.4 3.4 系统的稳定性分析系统的稳定性分析3.5 3.5 系统稳态性能

3、分析系统稳态性能分析基本要求基本要求 熟练掌握熟练掌握一、二阶系统的数学模型和阶跃响应的特点。一、二阶系统的数学模型和阶跃响应的特点。熟练计算性能指标和结构参数。熟练计算性能指标和结构参数。重点：是一阶系统和典重点：是一阶系统和典型欠阻尼二阶系统动态性能的计算方法。型欠阻尼二阶系统动态性能的计算方法。了解一阶系统的脉冲响应和斜坡响应的特点。了解一阶系统的脉冲响应和斜坡响应的特点。正确理解系统稳定性的概念，正确理解系统稳定性的概念，能熟练运用能熟练运用稳定性判据稳定性判据判定系统的稳定性并进行有关的参数计算、分析。判定系统的稳定性并进行有关的参数计算、分析。正确理解稳态误差的概念，明确终值定理的

4、应用条件。正确理解稳态误差的概念，明确终值定理的应用条件。熟练掌握熟练掌握计算稳态误差的方法。计算稳态误差的方法。掌握掌握系统的型次和静态误差系数的概念。系统的型次和静态误差系数的概念。基本要求基本要求4 解解:(1)(1)与标准形式对比得：与标准形式对比得：T=1/10=0.1,T=1/10=0.1,t ts s=3T=0.3s=3T=0.3s例例3.13.1 某一阶系统如图某一阶系统如图,在单位阶跃信号作用下在单位阶跃信号作用下 （1 1）若）若K Kh h=0.1=0.1求调节时间求调节时间t ts s,（2 2）若要求）若要求t ts s=0.1s,=0.1s,求反馈系数求反馈系数 K

5、 Kh h.(2)要求要求ts=0.1s，即，即3T=0.1s,即即 ,得得 0.1C(s)R(s)E(s)100/s(-)解题关键：解题关键：化闭环传递函数为标准形式。化闭环传递函数为标准形式。KhR(s)C(s)R(s)C(s)63.3 3.3 二阶系统的时域响应二阶系统的时域响应 由由二二阶阶微微分分方方程程描描述述的的系系统统称称为为二二阶阶系系统统。在在控控制制工工程程实实践践中中，二二阶阶系系统统应应用用极极为为广广泛泛，此此外外，许许多多高高阶阶系系统统在在一一定定的的条条件件下下可可以以近近似似为为二二阶阶系系统统来来研研究究，因因此，讨论和分析二阶系统的特征具有重要的实际意义

6、。此，讨论和分析二阶系统的特征具有重要的实际意义。R(t)R(t)_ _C(t)C(t)二阶系统结构图二阶系统结构图二阶系统结构图二阶系统结构图设二阶系统的结构图如图所示。设二阶系统的结构图如图所示。系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为 其中其中K K为系统的开环放大系数，为系统的开环放大系数，T T为时间常数。为时间常数。7式式中中 ，称称为为无无阻阻尼尼自自然然振振荡荡角角频频率率，（简简称称为为无无阻阻尼尼自自振振频频率），率），称为阻尼系数（或阻尼比）。称为阻尼系数（或阻尼比）。为了分析方便，将系统的传递函数改写成如下形式为了分析方便，将系统的传递函数改写成如下形式 它的两个根为它

7、的两个根为 二阶系统特征根（即闭环极点）的形式随着阻尼二阶系统特征根（即闭环极点）的形式随着阻尼比比 取值的不同而不同。取值的不同而不同。系统的闭环特征方程为系统的闭环特征方程为 83.3.1 3.3.1 二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应 设设系统的输入为单位阶跃函数系统的输入为单位阶跃函数，则系，则系统输出响应的拉氏变换表达式为统输出响应的拉氏变换表达式为对上式取拉氏反变换，即可求得二阶系对上式取拉氏反变换，即可求得二阶系统的单位阶跃响应统的单位阶跃响应 。（一）（一）过阻尼（过阻尼（1 1）的情况）的情况系统具有两个不相等的负实数极点系统具有两个不相等的负实数极点j j0 0s

8、s 过阻尼时极点分布9C(t)C(t)t to o1 1 过阻尼响应过阻尼响应稳态分量为稳态分量为1 1，瞬态分量包含两个衰减指数项，曲线单调上升。，瞬态分量包含两个衰减指数项，曲线单调上升。分析：当分析：当 时，极点时，极点 比比 距虚轴远得多，故距虚轴远得多，故 比比 衰减快的多，可将二阶系统近似成一阶系统来处理。衰减快的多，可将二阶系统近似成一阶系统来处理。阻尼比阻尼比 1 1 时二阶系统的运动状态为过阻尼状态。时二阶系统的运动状态为过阻尼状态。系统的单位跃响系统的单位跃响应无振荡、无超调、无稳态误差应无振荡、无超调、无稳态误差.10sso o 欠阻尼时的极点分布欠阻尼时的极点分布(二二

9、)欠阻尼（欠阻尼（）的情况）的情况系统具有一对在系统具有一对在S S平面的左半部的共轭复平面的左半部的共轭复数极点，数极点，式中式中 ，称为阻尼自振频率，称为阻尼自振频率11sso o 欠阻尼时的极点分布欠阻尼时的极点分布欠阻尼时的极点分布欠阻尼时的极点分布12 系系统统的的稳稳态态响响应应为为1 1，瞬瞬态态分分量量是是一一个个随随时时间间t t的的增增大大而而衰衰减减的的正正弦弦振振荡荡过过程程。振振荡荡的的角角频频率率为为 ，它它取取决决于于阻阻尼尼比比 和和无无阻阻尼尼自自然然频频率率 。衰衰减减速速度度取取决决于于 的的大大小小。此此时时系系统统工工作作在在欠欠阻阻尼尼状状态态。输输

10、出出响响应应如图所示。如图所示。t tC(t)C(t)1 10 0 欠阻尼响应欠阻尼响应13 稳态部分等于稳态部分等于1 1，表明不存在稳态误差；，表明不存在稳态误差；瞬态部分是阻尼正弦振荡过程，阻尼的大小由瞬态部分是阻尼正弦振荡过程，阻尼的大小由 n n(即特征根实部）决定；即特征根实部）决定；振荡角频率为阻尼振荡角频率振荡角频率为阻尼振荡角频率 d d（特征根虚部）（特征根虚部），其值由阻尼比，其值由阻尼比和自然振荡角频率和自然振荡角频率 n n决定。决定。欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应由欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应由稳态稳态稳态稳态和和瞬态瞬态瞬态瞬态 两部分组成：两部分组成：14（三）临

11、界阻尼（三）临界阻尼 （）的情况）的情况系统具有两个相等的负实数极点系统具有两个相等的负实数极点 ，o oss临界阻尼时极点的分布临界阻尼时极点的分布t t1 1o oC(t)C(t)临界阻尼响应临界阻尼响应系系统统的的输输出出响响应应无无超超调调、无无振振荡荡,由由零零开开始始单单调调上升，最后达到稳态值上升，最后达到稳态值1 1，不存在稳态误差不存在稳态误差。是是输输出出响响应应的的单单调调和和振振荡荡过过程程的的分分界界，通通常常称称为为临界阻尼状态临界阻尼状态。15系统有一对共轭纯虚数极点系统有一对共轭纯虚数极点 ,它们在它们在S S平面上的位置如图平面上的位置如图所示。所示。（四）无

12、阻尼（四）无阻尼（）的情况）的情况sso o(a)(a)无阻尼时的极点分布和响应无阻尼时的极点分布和响应C(t)(b)1to系统的输出响应是无阻尼的等幅振荡过程，其振荡频率为系统的输出响应是无阻尼的等幅振荡过程，其振荡频率为将将 代入代入16输出响应是发散的，此时系统已无法正常工作。输出响应是发散的，此时系统已无法正常工作。无阻尼自然振荡频率，此时系统输出为等幅振荡无阻尼自然振荡频率，此时系统输出为等幅振荡 阻尼振荡频率。系统输出为衰减正弦振荡过程。阻尼振荡频率。系统输出为衰减正弦振荡过程。阻尼振荡频率。系统输出为衰减正弦振荡过程。阻尼振荡频率。系统输出为衰减正弦振荡过程。综上所述，不难看出频

13、率综上所述，不难看出频率 和和 的物理意义。的物理意义。根据上面的分析可知，在不同的阻尼比时，二阶系统的响应具有不根据上面的分析可知，在不同的阻尼比时，二阶系统的响应具有不同的特点。因此阻尼比同的特点。因此阻尼比 是二阶系统的重要特征参数。是二阶系统的重要特征参数。分析分析系统具有实部为正的极点，系统具有实部为正的极点，若选取若选取 为横坐标，可作出不同阻尼比时二阶系统单位阶跃响应曲线。为横坐标，可作出不同阻尼比时二阶系统单位阶跃响应曲线。17系系统统无无振振荡荡时时，以以临临界界阻阻尼尼时时过过渡渡过过程程的的时时间间最最短短，此此时时，系系统统具具有有最快的响应速度。最快的响应速度。系系统

14、统在在欠欠阻阻尼尼状状态态时时，若若阻阻尼尼比比在在0.40.40.80.8之之间间，则则系系统统的的过过渡渡过过程程时时间间比比临临界界阻阻尼尼时时更更短短，此此时时振振荡荡特性也并不严重。特性也并不严重。如图所示，此时曲线只和阻尼比如图所示，此时曲线只和阻尼比 有关。有关。一般希望二阶系统工作在一般希望二阶系统工作在 的欠阻尼状态下，的欠阻尼状态下，通常选取通常选取 作为设计系统的依据作为设计系统的依据。二阶系统的阶跃响应二阶系统的阶跃响应 越小，响应特性振荡得越厉害越小，响应特性振荡得越厉害,随着随着 增大到一定程度，响应特增大到一定程度，响应特 性变成单调上升的。性变成单调上升的。上述

15、四种情况分别称为二阶无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和过阻尼系统。其阻尼系数、特征根、极点分布和单位阶跃响应如下表所示：单位阶跃响应极点位置特征根阻尼系数单调上升两个互异负实根单调上升一对负实重根 衰减振荡一对共轭复根(左半平面）等幅周期振荡一对共轭虚根 二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应可以看出：随着 的增加，c(t)将从无衰减的周期运动变为有衰减的正弦运动，当 时c(t)呈现单调上升运动(无振荡)。可见 反映实际系统的阻尼情况，故称为阻尼系数。二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应20 在在实实际际应应用用中中，控控制制系系统统性性能能的的好好坏坏是是通通过过系系统统的的单单位位阶

16、阶跃跃响响应应的的特特征征量量来来表表示示的的。为为了了定定量量地地评评价价二二阶阶系系统统的的控控制制质质量量，必必须须进进一一步步分分析析 和和 对对系系统统单单位位阶阶跃跃响响应应的的影影响响，并并定定义义二二阶阶系系统统单位阶跃响应的一些特征量作为评价系统的性能指标。单位阶跃响应的一些特征量作为评价系统的性能指标。3.3.23.3.2二阶系统瞬态性能指标二阶系统瞬态性能指标 此时，系统在具有适度振荡特性的情况下，能有较短此时，系统在具有适度振荡特性的情况下，能有较短的过渡过程时间，因此下面有关性能指标的定义和定量关的过渡过程时间，因此下面有关性能指标的定义和定量关系的推导，主要是针对二

17、阶系统的系的推导，主要是针对二阶系统的欠阻尼欠阻尼工作状态进行的。工作状态进行的。控制系统的单位阶跃响应一般与初始条件有关，为了便于控制系统的单位阶跃响应一般与初始条件有关，为了便于比较各种系统的控制质量，通常假设系统的初始条件为零。比较各种系统的控制质量，通常假设系统的初始条件为零。除除了了一一些些不不允允许许产产生生振振荡荡的的系系统统外外，通通常常希希望望二二阶阶系系统统工工作作在在 的欠阻尼状态下。的欠阻尼状态下。21动态性能动态性能 当当系系统统受受到到外外部部扰扰动动的的影影响响或或者者参参考考输输入入发发生生变变化化时时，被被控控量量会会随随之之发发生生变变化化，经经过过一一段段

18、时时间间，被被控控量量恢恢复复到到原原来来的的平平衡衡状状态态或或到到达达一一个个新新的的给给定定状状态态，称称这这一一过过程为过渡过程程为过渡过程 在在时时域域中中，常常用用单单位位阶阶跃跃信信号号作作用用下下，系系统统输输出出的的超超调调量量 p p ,上上升升时时间间T Tr r ，峰峰值值时时间间T Tp p ,过过渡渡过过程程时时间间（或或调调整时间）整时间）T Ts s和和振荡次数振荡次数N N等特征量表示。等特征量表示。22 系统在欠阻尼情况下的单位阶跃响应为系统在欠阻尼情况下的单位阶跃响应为对应的响应曲线如图所示。对应的响应曲线如图所示。由上式和图所示曲线来定义由上式和图所示曲

19、线来定义系统的瞬态性能指标，同时系统的瞬态性能指标，同时讨论性能指标与特征量之间讨论性能指标与特征量之间的关系。的关系。超调量C(t)C(t)上升时间tr峰值时间tp调节时间ts误差带误差带误差带误差带稳态误差稳态误差稳态误差稳态误差o o1.01.0t t控制系统性能指标控制系统性能指标控制系统性能指标控制系统性能指标23(一一)上升时间上升时间 响应曲线从零开始上升，第一次到达稳态值所需的时间，称为上升时间。响应曲线从零开始上升，第一次到达稳态值所需的时间，称为上升时间。根据上述定义，当根据上述定义，当 ，由式，由式可得可得（k=0,1,2k=0,1,2）当当 一定时，阻尼比一定时，阻尼比

20、 越大，上升时间越大，上升时间 越长，越长，当当 一定时，一定时，越小，越小，越长。越长。24（二）峰值时间（二）峰值时间（二）峰值时间（二）峰值时间 响应曲线响应曲线响应曲线响应曲线C C C C（t t t t）从零开始到达第一个峰值所需时间，称为峰值时间。）从零开始到达第一个峰值所需时间，称为峰值时间。）从零开始到达第一个峰值所需时间，称为峰值时间。）从零开始到达第一个峰值所需时间，称为峰值时间。由定义，令由定义，令得得所以所以即即 （k=1,2k=1,2，）分析分析 、与与 的关系。的关系。因为峰值时间因为峰值时间 是是C(tC(t)到达第一个峰值的时间，故取到达第一个峰值的时间，故取

21、k=1,k=1,25可见，当可见，当 一定时，一定时，越大，越大，越小，反应速度越快。当越小，反应速度越快。当 一定一定时，时，越小，越小，越大。由于越大。由于 是闭环极点虚部的数值，是闭环极点虚部的数值，越大，越大，则闭环极点到实轴的距离越远，因此，也可以说峰值时间则闭环极点到实轴的距离越远，因此，也可以说峰值时间 与闭环与闭环极点到实轴的距离成反比。极点到实轴的距离成反比。分析分析 、与与 的关系。的关系。因为峰值时间因为峰值时间 是是C(tC(t)到达第一个峰值的时间，故取到达第一个峰值的时间，故取k=1,k=1,26（三）超调量（三）超调量 在响应过程中，输出量在响应过程中，输出量C

22、C（t t）超出其稳态值的最大差量与稳态值）超出其稳态值的最大差量与稳态值之比称为超调量。之比称为超调量。根据超调量的定义，并考虑到根据超调量的定义，并考虑到输出量的最大值为输出量的最大值为所以所以超调量可表示为超调量可表示为式中式中 为输出量的最大值，为输出量的最大值，为输出量的稳态值。为输出量的稳态值。27 上上式式表表明明，只只是是 的的函函数数，与与 无无关关，越越小小 ,则则 越越大大。当当二二阶阶系系统统的的阻阻尼尼比比 确确定定后后，即即可可求求得得对对应应的的超超调调量量 。反反之之，如如果果给给出出了了超超调调量量的的要要求求值值，也也可可求得相应的阻尼比的数值。求得相应的阻

23、尼比的数值。一般当一般当 时，相应的超调量为时，相应的超调量为 1001009090808070706060505040403030202010100 00.20.20.40.40.60.60.80.81.01.0欠阻尼二阶系统超调与欠阻尼二阶系统超调与阻尼比关系曲线阻尼比关系曲线 与与 的关系曲线如图所示。的关系曲线如图所示。28（四）（四）调节时间调节时间 响应曲线到达并停留在稳态值的响应曲线到达并停留在稳态值的 （或（或 )误差范围内所误差范围内所需的最小时间称为调节时间（或过渡过程时间）需的最小时间称为调节时间（或过渡过程时间）。由定义下式成立由定义下式成立式中式中 （或（或0.020

24、.02）采用近似的计算方法，忽略正弦函数的影响，认为指数项衰采用近似的计算方法，忽略正弦函数的影响，认为指数项衰减到减到0.050.05（或（或0.020.02）时，过渡过程即进行完毕，得到）时，过渡过程即进行完毕，得到29在在 时，上面两式可分别近似为时，上面两式可分别近似为 和和可可以以近近似似认认为为调调节节时时间间与与闭闭环环极极点点到到虚虚轴轴的的距距离离成成反反比比。在在设设计计系系统统时时，通通常常由由要要求求的的超超调调量量所所决决定定，而而调调节节时时间间 则则由由自自然然振振荡荡频频率率 所所决决定定。即即在在不不改改变变超超调调量量的的条条件件下下，通通过过改改变变 的的

25、值值可可以改变调节时间。以改变调节时间。由此可求得由此可求得30（五）振荡次数（五）振荡次数NN响应曲线在响应曲线在 0 0 时间内波动的次数称为振荡次数。时间内波动的次数称为振荡次数。式中式中 称为系统的阻尼振荡周期。称为系统的阻尼振荡周期。振荡次数只与阻尼比振荡次数只与阻尼比 有关。有关。31 阻尼比阻尼比 和无阻尼自振频率和无阻尼自振频率 是二阶系统两个重要特征是二阶系统两个重要特征参数，它们对系统的性能具有决定性的影响。参数，它们对系统的性能具有决定性的影响。v 当当保保持持 不不变变时时，增增大大 可可使使 和和 下下降降 ,但但使使 和和 上上升升，显显然然在在系系统统的的振振荡荡

26、性性能能和和快快速速性性之之间间是是存存在在矛盾的。矛盾的。v 当当保保持持 不不变变时时，提提高高 可可使使 、下下降降，从从而而提提高高系统的快速性，同时保持系统的快速性，同时保持 和和N N不变。不变。要要使使二二阶阶系系统统具具有有满满意意的的动动态态性性能能，必必须须选选取取合合适适的的阻阻尼尼比比和和无无阻阻尼尼自自振振荡荡率率。通通常常可可根根据据系系统统对对超超调量的限制要求选定调量的限制要求选定 ，然后在根据其它要求来确定，然后在根据其它要求来确定32R(s)R(s)E(s)E(s)-C(s)C(s)(a)(a)(b)(b)R(s)R(s)E(s)E(s)C(s)C(s)-例

27、例例例3.2 3.2 系统结构图系统结构图系统结构图系统结构图（秒）（秒）（秒）（秒）解解 系统（系统（a a）的闭环传递函数为）的闭环传递函数为例例3.23.2 设控制系统设控制系统 如图所示。其中（如图所示。其中（a a）为无速度反馈系统，（）为无速度反馈系统，（b b）为带速度反馈系统，试确定是系统阻尼比为为带速度反馈系统，试确定是系统阻尼比为0.50.5时时 的值，并比较系的值，并比较系统（统（a a）和）和(b)(b)阶跃响应的瞬态性能指标。阶跃响应的瞬态性能指标。（秒）（秒）（秒）（秒）（秒）（秒）（秒）（秒）（次）（次）（次）（次）33系统（系统（b b）的闭环传递函数为）的闭环

28、传递函数为结论：采用速度反馈后，可以明显地改善系统的动态性能结论：采用速度反馈后，可以明显地改善系统的动态性能。（秒）（秒）（秒）（秒）（秒）（秒）（秒）（秒）（秒）（秒）（秒）（秒）由由 和和 可求得可求得将将 代入，解得代入，解得34例例3.33.3 设单位反馈系统的开环传递函数为设单位反馈系统的开环传递函数为若要求系统的阶跃响应的瞬态性能指标为若要求系统的阶跃响应的瞬态性能指标为 试确定参数试确定参数K K和和a a的值。的值。解解 系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为（秒）（秒）35 若若描描述述系系统统的的微微分分方方程程高高于于二二阶阶，则则该该系系统统为为高高阶阶系统系统。控

29、制工程中，大多数控制系统都是高阶系统。控制工程中，大多数控制系统都是高阶系统。理理论论上上，高高阶阶系系统统也也可可以以直直接接由由传传递递函函数数求求出出它它的的时时域域响响应应，然然后后按按上上述述二二阶阶系系统统的的分分析析方方法法来来确确定定系系统统的的瞬瞬态态性性能能指指标标。但但是是，高高阶阶系系统统的的分分布布计计算算比比较较困困难难，同同时时，在在工工程程设设计计的的许许多多问问题题中中，过过分分讲讲究究精精确确往往往往是是不不必必要要的的，甚甚至至是是无无意意义义的的。因因此此，工工程程上上通通常常把把高高阶阶系统适当地简化成低阶系统进行分析。系统适当地简化成低阶系统进行分析。