机械振动全章.ppt

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1、 第第 四四 章章机机机机械械械械振振振振动动动动第四章第四章 机械振动机械振动(oscillatory or vibratory motion)机械振动：机械振动：物体在一定位置附近来回往复的运动。物体在一定位置附近来回往复的运动。其轨迹可以是直线，也可以是平面曲线或空间曲线。其轨迹可以是直线，也可以是平面曲线或空间曲线。机械机械振动可分为周期性振动和非周期性振动，最简振动可分为周期性振动和非周期性振动，最简单的机械振动是周期性的直线振动单的机械振动是周期性的直线振动简谐振动。简谐振动。任何复任何复杂的振动都可认为是由若干个简谐振动合成的杂的振动都可认为是由若干个简谐振动合成的，因此，简，因

2、此，简谐振动的特点和规律是本章的重点。谐振动的特点和规律是本章的重点。一、一、振动的一般概念振动的一般概念广义振动广义振动：任一物理量：任一物理量(如位移、电流等如位移、电流等)在某一在某一 数值附近反复变化。数值附近反复变化。振动分类振动分类非线性振动非线性振动线性振动线性振动受迫振动受迫振动自由振动自由振动机械振动机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动。：物体在一定位置附近作来回往复的运动。二、二、简谐振动简谐振动(simple harmonic oscillation)的特点及表的特点及表述述 什么样的周期性直线振动是简谐振动？先观察一个实验什么样的周期性直线振动是简谐振动？先观察

3、一个实验 A位置位置A：小球所受合力为零的位置，称为小球所受合力为零的位置，称为振动系统的平衡位置振动系统的平衡位置。将小球推离平衡位置并释放，小球来回振动，如果摩擦将小球推离平衡位置并释放，小球来回振动，如果摩擦阻力小，小球振动的次数就多。假如一点阻力也没有，小球阻力小，小球振动的次数就多。假如一点阻力也没有，小球只受弹性回复力，振动将永久持续下去，这种理想化的振动只受弹性回复力，振动将永久持续下去，这种理想化的振动是是简谐振动简谐振动。弹簧振子：弹簧振子：弹簧振子：弹簧振子：连接在一起的一个忽略了质量的弹簧和连接在一起的一个忽略了质量的弹簧和一个不发生形变的物体系统。一个不发生形变的物体系

4、统。以平衡位置为坐标原点，水平向右为正，则小球所受弹性以平衡位置为坐标原点，水平向右为正，则小球所受弹性力力F与小球离开平衡位置的位移与小球离开平衡位置的位移x有以下关系：有以下关系：k是弹簧的弹性系数，负号表示力和位移方向相反。是弹簧的弹性系数，负号表示力和位移方向相反。从从动力学观点动力学观点，若物体仅受线性回复力作用，它就，若物体仅受线性回复力作用，它就作简谐振动。作简谐振动。简谐振动的特点：简谐振动的特点：1.是周期性是周期性(periodic)振动。振动。x(t)=x(t+T),v(t)=v(t+T)2.是变加速运动。是变加速运动。F=-kx,a=-(k/m)x3.物体作简谐振动，机

5、械能守恒。物体作简谐振动，机械能守恒。mkX0三、简谐振动的运动方程，速度，加速度三、简谐振动的运动方程，速度，加速度1、运动方程运动方程 从简谐振动的特点出发，可得到其运动方程从简谐振动的特点出发，可得到其运动方程令令积分得积分得从从运动学观点运动学观点，若物体离开平衡位置的位移随时间变化的规，若物体离开平衡位置的位移随时间变化的规律是正弦或余弦的函数，它就作简谐振动。律是正弦或余弦的函数，它就作简谐振动。2、速度、速度 加速度加速度其中其中是速度和加速度的幅值。是速度和加速度的幅值。讨讨 论：论：1、方程、方程 中各项的物理意义中各项的物理意义x:表示表示 t 时刻时刻质点离开平衡位置的位

6、移。质点离开平衡位置的位移。A:质点离开平衡位置的位移最大值的绝对值质点离开平衡位置的位移最大值的绝对值振幅振幅(amplitude)。：又又比较知比较知称为圆频率称为圆频率(circular frequency)仅决定于振动系统的力学性质。仅决定于振动系统的力学性质。t+0:称位相或相位称位相或相位(phase)或周相，表示任意或周相，表示任意 t 时刻振时刻振动物体运动状态的参量。动物体运动状态的参量。0 :称为初位相，表示称为初位相，表示 t=0 时刻振动物体状态的参量。时刻振动物体状态的参量。周期（periodic）、频率（frequency）0 0是开始计时时刻的相位，表征初始振动状

7、态。是开始计时时刻的相位，表征初始振动状态。t=0t=0时，时，x x0 0=Acos=Acos0 0 v v0 0=-Asin=-Asin0 0 2+2（2）初始条件决定A和0(3)(3)相位和初相相位和初相相位相位 ：决定简谐运动状态的物理量。决定简谐运动状态的物理量。初相位初相位 ：t=0 时的相位时的相位。相位概念可用于比较两个谐振动之间在振动相位概念可用于比较两个谐振动之间在振动步调上的差异。步调上的差异。设有两个同频率的谐振动，表达式分别为：设有两个同频率的谐振动，表达式分别为：二者的二者的相位差相位差为：为：(b)(b)当当 时时,称两个振动为称两个振动为反相反相；(d)(d)当

8、当 时时,称第二个振动落后第一个振动称第二个振动落后第一个振动 。(c)(c)当当 时时,称第二个振动超前第一个振动称第二个振动超前第一个振动 ；讨论讨论:(a)(a)当当 时时,称两个振动为称两个振动为同相同相；A21A0A1A20A1100 x20A2同相同相反相反相位相超前或落后位相超前或落后 相位可以用来比较不同物理量变化的步调，对于相位可以用来比较不同物理量变化的步调，对于简谐振动的位移、速度和加速度，存在简谐振动的位移、速度和加速度，存在:速度的相位比位移的相位超前速度的相位比位移的相位超前 ，加速度的相，加速度的相位比位移的相位超前位比位移的相位超前 。（4)、简谐振动的函数图象

9、及简谐振动的函数图象及x,v,a 之间的相位关系之间的相位关系 简谐振动中质点位移、速度、加速度与时间的关系简谐振动中质点位移、速度、加速度与时间的关系:va at问题：问题：0 是描述是描述t=0时刻振动物体的状态，当给定计时时刻振时刻振动物体的状态，当给定计时时刻振动物体的状态（动物体的状态（t=0 时的位置及速度：时的位置及速度：x0 和和 v0)，如何求解相如何求解相对应的对应的 0？mkX0例例1：如图所示，将小球拉至：如图所示，将小球拉至A释放，小球作谐振动。如果释放，小球作谐振动。如果已知已知 k,，以小球运动至以小球运动至A/2处，且向处，且向x负方向运动作为计时负方向运动作为

10、计时的起点，求小球的振动方程。的起点，求小球的振动方程。解：问题归结于求解：问题归结于求0atvxaxv0 v 的位相超前的位相超前 x /2,a 与与 x 的位相相反。的位相相反。t=0 小球向小球向 x 负方向运动，因而负方向运动，因而 v 0 0=+600 显然，当已知显然，当已知 t=0 振动物体的状态振动物体的状态x0,v0时，则时，则 有没有一种更为直观的方法来描述简谐振动呢？有没有一种更为直观的方法来描述简谐振动呢？采用旋转矢量法，可直观地领会简谐振动表达式采用旋转矢量法，可直观地领会简谐振动表达式中各个物理量的意义。中各个物理量的意义。旋转矢量旋转矢量:一长度等于振幅一长度等于

11、振幅A 的矢量的矢量 在纸平面在纸平面内绕内绕O点沿逆时针方向旋转，其角速度与谐振动的角点沿逆时针方向旋转，其角速度与谐振动的角频率相等，这个矢量称为旋转矢量。频率相等，这个矢量称为旋转矢量。三、旋转矢量图三、旋转矢量图振动相位振动相位逆时针方向逆时针方向 M 点在点在 x 轴上投影轴上投影(P点点)的运动的运动规律规律：的长度的长度 旋转的角速度旋转的角速度旋转的方向旋转的方向与参考方向与参考方向x 的夹角的夹角XOM P x振幅振幅A振动圆频率振动圆频率速度、加速度的旋转矢量表示法：速度、加速度的旋转矢量表示法：M 点点:沿沿X 轴的投影轴的投影为简谐运动的速度、为简谐运动的速度、加速度表

12、达式加速度表达式。（1）物体在平衡位置正欲向）物体在平衡位置正欲向振动的负方向运动开始计时，振动的负方向运动开始计时，其初位相？其初位相？（2）物体在平衡位置正欲向）物体在平衡位置正欲向振动的正方向运动开始计时，振动的正方向运动开始计时，其初位相？其初位相？四四四四.几种常见的简谐振动几种常见的简谐振动几种常见的简谐振动几种常见的简谐振动(1)(1)单摆单摆重物所受合外力矩：重物所受合外力矩：据据转动定律，得到转动定律，得到 很小时很小时(小于小于 )，可取，可取令令 ,有有转角转角 的表达式可写为：的表达式可写为：角角振幅振幅 和初相和初相 由初始条件求得。由初始条件求得。单摆周期单摆周期

13、与角振幅与角振幅 的关系为的关系为 为为 很小时单摆的周期。很小时单摆的周期。根根据据上上述述周周期期的的级级数数公公式式，可可以以将将周周期期计计算算到所要求的任何精度。到所要求的任何精度。几种常见的简谐振动几种常见的简谐振动几种常见的简谐振动几种常见的简谐振动(2)(2)复摆复摆一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆。一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆。刚刚体体的的质质心心为为C,对对过过O 点点的的转转轴轴的的转转动动惯惯量量为为J,O、C 两两点点间间距距离的距离为离的距离为h。令令据转动定律，得据转动定律，得若若 角度较小时角度较小时 几种常见的简谐振动几种常见的简谐振动几种常见的简谐振动几

14、种常见的简谐振动 例例1 1 一一质质量量为为m 的的平平底底船船，其其平平均均水水平平截截面面积积为为S，吃吃水水深度为深度为h，如不计水的阻力，求此船在竖直方向的振动周期。如不计水的阻力，求此船在竖直方向的振动周期。解解:船静止时浮力与重力平衡，船静止时浮力与重力平衡，船船在在任任一一位位置置时时，以以水水面面为为坐坐标标原原点点,竖竖直向下的坐标轴为直向下的坐标轴为y 轴，船的位移用轴，船的位移用y 表示。表示。几种常见的简谐振动几种常见的简谐振动几种常见的简谐振动几种常见的简谐振动船船的的位位移移为为y 时时船船所所受受合力为：合力为：船在竖直方向作简谐振动，其角频率和周期为船在竖直方

15、向作简谐振动，其角频率和周期为:因因得得:几种常见的简谐振动几种常见的简谐振动几种常见的简谐振动几种常见的简谐振动 例例2 2 一一物物体体沿沿X X 轴轴作作简简谐谐振振动动，振振幅幅A=0.12mA=0.12m,周周期期T=2sT=2s。当当t=0t=0时时,物物体体的的位位移移x=0.06m,x=0.06m,且且向向 X X 轴轴正正向向运运动动。求求:(1):(1)简简谐谐振振动动表表达达式式;(2);(2)t t=T/4=T/4时时物物体体的的位位置置、速速度度和和加加速速度度;(3);(3)物物体体从从x x=-0.06m=-0.06m向向 X X 轴轴负负方方向向运运动动，第第一

16、一次次回回到到平平衡衡位位置置所所需时间。需时间。解解:(1):(1)取平衡位置为坐标原点取平衡位置为坐标原点,谐振动方程写为：谐振动方程写为：其中其中A=0.12m,T=2s,初始条件：初始条件：t=0,x0=0.06m,可得可得据据初始条件初始条件 得得(2)(2)由由(1)(1)求得的简谐振动表达式得求得的简谐振动表达式得:在在t=T/4=0.5s时时，从前面所列的表达式可得从前面所列的表达式可得(3)(3)当当x=-0.06m时时，该时刻设为该时刻设为t1 1,得得因该时刻速度为负，应舍去因该时刻速度为负，应舍去 ，设物体在设物体在t2 2时刻第一次回到平衡位置，相位是时刻第一次回到平

17、衡位置，相位是因此从因此从x=-0.06m处第一次回到平衡位置的时间处第一次回到平衡位置的时间：另解另解：从从t1 1时刻到时刻到t2 2时刻所对应的相差为时刻所对应的相差为：例例3 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为的小球，弹簧伸长量为b。b自然长度自然长度mg 例例3 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为的小球，弹簧伸长量为b。用手将重物上托用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。使弹簧保持自然长度后放手。求证：放手后小球作简谐振动，并写出求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。振动方程。b自然长度自

18、然长度mgb自然长度自然长度静平衡时静平衡时mgFkb-mg=0 例例3 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为的小球，弹簧伸长量为b。用手将重物上托用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。使弹簧保持自然长度后放手。求证：放手后小球作简谐振动，并写出求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。振动方程。b0 x平衡位置平衡位置自然长度自然长度取静平衡位置为坐标原点取静平衡位置为坐标原点 例例3 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为的小球，弹簧伸长量为b。用手将重物上托用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。使弹簧

19、保持自然长度后放手。求证：放手后小球作简谐振动，并写出求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。振动方程。b0bx 例例3 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为的小球，弹簧伸长量为b。用手将重物上托用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。使弹簧保持自然长度后放手。求证：放手后小球作简谐振动，并写出求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。振动方程。b0bx 例例3 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为的小球，弹簧伸长量为b。用手将重物上托用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。使弹簧保持自然长度后放手。求证

20、：放手后小球作简谐振动，并写出求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。振动方程。b0bx 例例3 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为的小球，弹簧伸长量为b。用手将重物上托用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。使弹簧保持自然长度后放手。求证：放手后小球作简谐振动，并写出求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。振动方程。b0bx 例例3 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为的小球，弹簧伸长量为b。用手将重物上托用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。使弹簧保持自然长度后放手。求证：放手后小球作简谐振动，

21、并写出求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。振动方程。b0bx 例例3 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为的小球，弹簧伸长量为b。用手将重物上托用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。使弹簧保持自然长度后放手。求证：放手后小球作简谐振动，并写出求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。振动方程。b0bx 例例3 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为的小球，弹簧伸长量为b。用手将重物上托用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。使弹簧保持自然长度后放手。求证：放手后小球作简谐振动，并写出求证：放手后小球作

22、简谐振动，并写出振动方程。振动方程。b0bx 例例3 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为的小球，弹簧伸长量为b。用手将重物上托用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。使弹簧保持自然长度后放手。求证：放手后小球作简谐振动，并写出求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。振动方程。b0bx 例例3 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为的小球，弹簧伸长量为b。用手将重物上托用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。使弹簧保持自然长度后放手。求证：放手后小球作简谐振动，并写出求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程

23、。振动方程。b0bx 例例3 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为的小球，弹簧伸长量为b。用手将重物上托用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。使弹簧保持自然长度后放手。求证：放手后小球作简谐振动，并写出求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。振动方程。b0bx 例例3 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为的小球，弹簧伸长量为b。用手将重物上托用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。使弹簧保持自然长度后放手。求证：放手后小球作简谐振动，并写出求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。振动方程。b0bx 例

24、例3 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为的小球，弹簧伸长量为b。用手将重物上托用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。使弹簧保持自然长度后放手。求证：放手后小球作简谐振动，并写出求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。振动方程。b0bx 例例3 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为的小球，弹簧伸长量为b。用手将重物上托用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。使弹簧保持自然长度后放手。求证：放手后小球作简谐振动，并写出求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。振动方程。b0bx 例例3 垂直悬挂的弹簧下端

25、系一质量为垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为的小球，弹簧伸长量为b。用手将重物上托用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。使弹簧保持自然长度后放手。求证：放手后小球作简谐振动，并写出求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。振动方程。b0bx 例例3 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为的小球，弹簧伸长量为b。用手将重物上托用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。使弹簧保持自然长度后放手。求证：放手后小球作简谐振动，并写出求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。振动方程。b0bx 例例3 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为垂直悬挂的弹簧

26、下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为的小球，弹簧伸长量为b。用手将重物上托用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。使弹簧保持自然长度后放手。求证：放手后小球作简谐振动，并写出求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。振动方程。b0bx 例例3 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为的小球，弹簧伸长量为b。用手将重物上托用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。使弹簧保持自然长度后放手。求证：放手后小球作简谐振动，并写出求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。振动方程。b0bx 例例3 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，

27、弹簧伸长量为的小球，弹簧伸长量为b。用手将重物上托用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。使弹簧保持自然长度后放手。求证：放手后小球作简谐振动，并写出求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。振动方程。b0bx 例例3 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为的小球，弹簧伸长量为b。用手将重物上托用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。使弹簧保持自然长度后放手。求证：放手后小球作简谐振动，并写出求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。振动方程。b0bx 例例3 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为的小球，弹簧

28、伸长量为b。用手将重物上托用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。使弹簧保持自然长度后放手。求证：放手后小球作简谐振动，并写出求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。振动方程。b0bx 例例3 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为的小球，弹簧伸长量为b。用手将重物上托用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。使弹簧保持自然长度后放手。求证：放手后小球作简谐振动，并写出求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。振动方程。b0bx 例例3 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为的小球，弹簧伸长量为b。用手将重物上

29、托用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。使弹簧保持自然长度后放手。求证：放手后小球作简谐振动，并写出求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。振动方程。b0bx 例例3 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为的小球，弹簧伸长量为b。用手将重物上托用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。使弹簧保持自然长度后放手。求证：放手后小球作简谐振动，并写出求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。振动方程。自然自然长度长度自然自然长度长度b平衡平衡位置位置自然自然长度长度b平衡平衡位置位置0 xx自然自然长度长度b平衡平衡位置位置0 xx任意位置时小球所受到的

30、合外力为：任意位置时小球所受到的合外力为：自然自然长度长度b平衡平衡位置位置0 xx任意位置时小球所受到的合外力为：任意位置时小球所受到的合外力为：F=mg-k(b+x)=-kx自然自然长度长度b平衡平衡位置位置0 xx任意位置时小球所受到的合外力为：任意位置时小球所受到的合外力为：F=mg-k(b+x)=-kx可见小球作谐振动。可见小球作谐振动。自然自然长度长度b平衡平衡位置位置0 xx任意位置时小球所受到的合外力为：任意位置时小球所受到的合外力为：可见小球作谐振动。由可见小球作谐振动。由得：得：mg-kb=0F=mg-k(b+x)=-kx自然自然长度长度b平衡平衡位置位置0 xx任意位置时

31、小球所受到的合外力为：任意位置时小球所受到的合外力为：=kmgb=可见小球作谐振动。由可见小球作谐振动。由得：得：mg-kb=0F=mg-k(b+x)=-kx自然自然长度长度b平衡平衡位置位置0 xx任意位置时小球所受到的合外力为：任意位置时小球所受到的合外力为：=kmgb=当当 t0=:可见小球作谐振动。由可见小球作谐振动。由得：得：mg-kb=0F=mg-k(b+x)=-kx自然自然长度长度b平衡平衡位置位置0 xx任意位置时小球所受到的合外力为：任意位置时小球所受到的合外力为：=kmgb=00当当 t0 xb,=:v0可见小球作谐振动。由可见小球作谐振动。由得：得：mg-kb=0F=mg

32、-k(b+x)=-kx自然自然长度长度b平衡平衡位置位置0 xx任意位置时小球所受到的合外力为：任意位置时小球所受到的合外力为：=kmgb=00当当得得t0 xb,A=:v0=b,=可见小球作谐振动。由可见小球作谐振动。由得：得：mg-kb=0F=mg-k(b+x)=-kx自然自然长度长度b平衡平衡位置位置0 xx任意位置时小球所受到的合外力为：任意位置时小球所受到的合外力为：=kmgb=000 x=b cos(gt+)b当当得得t0 xb,A=:v0=b,=可见小球作谐振动。由可见小球作谐振动。由得：得：mg-kb=0F=mg-k(b+x)=-kx 例例 4 一谐振动的振动曲线如图所示。一谐

33、振动的振动曲线如图所示。xAA21.00t、0以及振动方程。以及振动方程。求：求：例例 4 一谐振动的振动曲线如图所示。一谐振动的振动曲线如图所示。xAA21.00t、00 xAA21.00tt=0时时x=A2以及振动方程。以及振动方程。求：求：例例 4 一谐振动的振动曲线如图所示。一谐振动的振动曲线如图所示。、0000 xAA21.00tt=0时时x=A2v以及振动方程。以及振动方程。求：求：例例 4 一谐振动的振动曲线如图所示。一谐振动的振动曲线如图所示。、000 xA3xAA21.00tt=0时时x=A2v以及振动方程。以及振动方程。求：求：例例 4 一谐振动的振动曲线如图所示一谐振动的

34、振动曲线如图所示0、0000=3xA3xAA21.00tt=0时时x=A2v以及振动方程。以及振动方程。求：求：例例 4 一谐振动的振动曲线如图所示一谐振动的振动曲线如图所示0、0000=31xA3xAA21.00tt=0时时x=A2vt=1时时x=0以及振动方程。以及振动方程。求：求：例例 4 一谐振动的振动曲线如图所示一谐振动的振动曲线如图所示0、0000=3110 xA3xAA21.00tt=0时时x=A2vt=1时时x=0v=dxdt以及振动方程。以及振动方程。求：求：例例 4 一谐振动的振动曲线如图所示一谐振动的振动曲线如图所示0、0000=3110 xA3A2xxAA21.00tt

35、=0时时x=A2vt=1时时x=0v=dxdt以及振动方程。以及振动方程。求：求：例例 4 一谐振动的振动曲线如图所示一谐振动的振动曲线如图所示0、0000=31101=2xA3A2xxAA21.00tt=0时时x=A2vt=1时时x=0v=dxdt以及振动方程。以及振动方程。求：求：例例 4 一谐振动的振动曲线如图所示一谐振动的振动曲线如图所示0、00000=31101=21=t1+=xA3A2xxAA21.00tt=0时时x=A2vt=1时时x=0v=dxdt以及振动方程。以及振动方程。求：求：例例 4 一谐振动的振动曲线如图所示一谐振动的振动曲线如图所示0、00000=31101=21=

36、t1+=13xA3A2xxAA21.00tt=0时时x=A2vt=1时时x=0v=dxdt以及振动方程。以及振动方程。求：求：例例 4 一谐振动的振动曲线如图所示一谐振动的振动曲线如图所示0、00000=31101=21=t1+=13=2xA3A2xxAA21.00tt=0时时x=A2vt=1时时x=0v=dxdt以及振动方程。以及振动方程。求：求：例例 4 一谐振动的振动曲线如图所示一谐振动的振动曲线如图所示0、0000=31101=21=t1+=13=2=56xA3A2xxAA21.00tt=0时时x=A2vt=1时时x=0v=dxdt以及振动方程。以及振动方程。求：求：例例 4 一谐振动

37、的振动曲线如图所示一谐振动的振动曲线如图所示0 x=A cos(56t3)x=A cos(56t3)本题本题 的另一种求法：的另一种求法：x=A cos(56t3)本题本题3xAt=0 的另一种求法：的另一种求法：x=A cos(56t3)本题本题32AxAt=1t=0 的另一种求法：的另一种求法：x=A cos(56t3)本题本题32AxAt=1t=02+32=T1 的另一种求法：的另一种求法：x=A cos(56t3)本题本题32AxAt=1t=02+32=T1T=125 的另一种求法：的另一种求法：例例:如图所示，振动系统由一倔强系数为如图所示，振动系统由一倔强系数为k的的 轻弹簧、轻弹

38、簧、一半径为一半径为R、转动惯量为转动惯量为I的的 定滑轮和一质量为定滑轮和一质量为m的的 物体所组成。使物体略偏离平衡位置后放手，任其振物体所组成。使物体略偏离平衡位置后放手，任其振动，试证物体作简谐振动，并求其周期动，试证物体作简谐振动，并求其周期T.mm解：取位移轴解：取位移轴ox，m在平在平衡位置时，设弹簧伸长量衡位置时，设弹簧伸长量为为 l，则则mm当当m有位移有位移x时时联立得联立得物体作简谐振动物体作简谐振动例例5 如图所示如图所示,弹簧处于原长，当子弹射入后，求系统的振动弹簧处于原长，当子弹射入后，求系统的振动方程。方程。m1kX0vm2解：解：t=0,x0=0,v0 =v例例

39、 已知某简谐振动的已知某简谐振动的 速度与时间的关系曲线如图速度与时间的关系曲线如图所示，试求其振动方程。所示，试求其振动方程。解：方法解：方法1设振动方程为设振动方程为故振动方程为故振动方程为方法方法2：用旋转矢量法辅助求解。用旋转矢量法辅助求解。v的旋转矢量的旋转矢量与与v轴夹角表轴夹角表示示t 时刻相位时刻相位由图知由图知三、谐振的能量 物体受弹性力作谐振动，弹性力是保守力，物体受弹性力作谐振动，弹性力是保守力，机械能守恒。机械能守恒。10.Ek、Ep都作周期性变化，相位相反。EkmaxEpo EkoEpmax 周期，x是E的2倍。在一个周期内：注意：动动能能势势能能情况同动能。情况同动

40、能。机械能机械能简谐振动系统机械能守恒简谐振动系统机械能守恒2 2 阻尼振动阻尼振动阻尼振动阻尼振动 振振动动物物体体不不受受任任何何阻阻力力的的影影响响，只只在在回回复复力力作作用用下所作的振动，称为下所作的振动，称为无阻尼自由振动无阻尼自由振动。在回复力和阻力作用下的振动称为在回复力和阻力作用下的振动称为阻尼振动阻尼振动。阻尼：阻尼：消耗振动系统能量的原因消耗振动系统能量的原因。阻尼种类：摩擦阻尼阻尼种类：摩擦阻尼 辐射阻尼辐射阻尼 对在流体对在流体(液体、气体液体、气体)中运动的物体，当物体速中运动的物体，当物体速度较小时，阻力大小正比于度较小时，阻力大小正比于速度，且方向相反，表示速度

41、，且方向相反，表示为为 ：阻力系数：阻力系数在阻力作用下的弹簧振子在阻力作用下的弹簧振子 阻尼振动阻尼振动阻尼振动阻尼振动受力：受力：运动方程运动方程:引入引入 阻尼因子阻尼因子 固有频率固有频率在小阻尼条件下在小阻尼条件下 ，微分方程的解为，微分方程的解为:其中其中阻力阻力弹性恢复力弹性恢复力其中其中 和和 为积分常数为积分常数,由初始条件决定。上式由初始条件决定。上式中的余弦项表征了在弹性力和阻力作用下的周期中的余弦项表征了在弹性力和阻力作用下的周期运动；运动；反映了阻尼对振幅的影响。反映了阻尼对振幅的影响。阻尼振动的准周期性阻尼振动的准周期性减幅振动减幅振动 阻尼振动阻尼振动阻尼振动阻尼

42、振动 阻尼振动不是周期性振动，更不是简谐振动，因阻尼振动不是周期性振动，更不是简谐振动，因位移不是时间的周期函数。但阻尼振动有某种重复性。位移不是时间的周期函数。但阻尼振动有某种重复性。位移相继两次达到极大值的时间间隔叫做位移相继两次达到极大值的时间间隔叫做阻尼振阻尼振动的周期动的周期，有，有显而易见，由于阻尼，振动变慢了。显而易见，由于阻尼，振动变慢了。阻尼振动的振幅为：阻尼振动的振幅为：振幅随时间作指数衰减。阻尼振幅随时间作指数衰减。阻尼 大小决定了阻尼大小决定了阻尼振动振幅的衰减程度。振动振幅的衰减程度。阻尼振动阻尼振动阻尼振动阻尼振动阻尼振动的三种情形：阻尼振动的三种情形：临界阻尼临界

43、阻尼过阻尼过阻尼欠阻尼欠阻尼欠阻尼欠阻尼过阻尼过阻尼临界阻尼临界阻尼 通过控制阻尼的通过控制阻尼的大小，以满足不同实大小，以满足不同实际需要。际需要。阻尼振动阻尼振动阻尼振动阻尼振动 3 3 受迫振动受迫振动受迫振动受迫振动 共振共振共振共振 1.1.1.1.受迫振动受迫振动受迫振动受迫振动 物体在物体在周期性外力周期性外力的持续作用下发生的振动的持续作用下发生的振动称为称为受迫振动受迫振动。物体所受驱动力：物体所受驱动力：运动方程：运动方程：设设受受受受 迫迫迫迫 振振振振 动动动动对于阻尼较小的情形，运动方程之解表为对于阻尼较小的情形，运动方程之解表为:衰减项衰减项稳态项稳态项经过一段时间

44、后，衰减项忽略不计，仅考虑稳态项。经过一段时间后，衰减项忽略不计，仅考虑稳态项。稳态时振动物体速度：稳态时振动物体速度：在受迫振动中，周期性的驱动力对振动系统提供在受迫振动中，周期性的驱动力对振动系统提供能量，另一方面系统又因阻尼而消耗能量，若二者相能量，另一方面系统又因阻尼而消耗能量，若二者相等，则系统达到稳定振动状态。等，则系统达到稳定振动状态。受受受受 迫迫迫迫 振振振振 动动动动2.2.2.2.共振共振共振共振 对对于于受受迫迫振振动动，当当外外力力幅幅值值恒恒定定时时，稳稳定定态态振振幅幅随随驱驱动动力力的的频频率率而而变变化化。当当驱驱动动力力的的角角频频率率等等于于某某个个特特定

45、定值值时时，位位移移振振幅幅达达到到最最大大值值的的现现象象称称为为位位移移共振。共振。阻尼阻尼=0=0阻尼较小阻尼较小阻尼较大阻尼较大根据根据共振共振共共共共 振振振振 受受迫迫振振动动速速度度在在一一定定条条件件下下发发生生共共振振的的的的现现象象称为称为速度共振速度共振。根据根据共振共振 在在阻阻尼尼很很小小的的前前提提下下，速速度度共共振振和和位位移移共共振振可可以以认为等同。认为等同。阻尼阻尼=0=0阻尼较小阻尼较小阻尼较大阻尼较大美国美国Tocama大桥的坍塌大桥的坍塌4 4 同方向的简谐振动的合成同方向的简谐振动的合成同方向的简谐振动的合成同方向的简谐振动的合成 1.1.1.1.

46、同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成 设一质点同时参与沿同一方向设一质点同时参与沿同一方向(x 轴轴)的两个独的两个独立的同频率的简谐振动，两个振动位移为：立的同频率的简谐振动，两个振动位移为：合位移：合位移：令：所以：合振动仍然是简谐振动，其方向和频率与原来相同。合振动仍然是简谐振动，其方向和频率与原来相同。合振动加强和减弱的条件：合振动加强和减弱的条件：当当=2 2-1 1=2k=2k，（，（k=0k=0，11，22）相互相互加强或相长加强或相长（constructiveconstructive）当

47、当=2 2-1 1=（2k+12k+1），（，（k=0k=0，11，22）相互相互减弱或相消减弱或相消（destructivedestructive）当2k(2k+1)旋转矢量法求谐振合成同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成矢量沿矢量沿X 轴之投影表征了合运动的规律。轴之投影表征了合运动的规律。旋转矢量图示法旋转矢量图示法同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成(1)当当Df=f 20-f10=2kp(k=0及及正正

48、负整数负整数)，cos(f20-f10)=1,有有同相迭加，合振幅最大同相迭加，合振幅最大。反相迭加，合振幅最小反相迭加，合振幅最小。当当A1=A2 时，时，A=0。讨论：讨论：同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成(2)当当Df=f 20-f10=(2k+1)p(k=0及及正负整数正负整数),cos(f20-f10)=0,有有(3)通常情况下，合振幅介于通常情况下，合振幅介于 和和 之间。之间。例例1 1 N个同方向、同频率的简谐振动，它们的振幅相等，初相个同方向、同频率的简谐振动，它们的振幅相等，初相

49、分别为分别为0,0,a,2,2a,.,.,依次差一个恒量依次差一个恒量a，振动表达式可写成振动表达式可写成求它们的合振动的振幅和初相。求它们的合振动的振幅和初相。解解:采用采用旋转矢量法旋转矢量法可使问题得到简化，从而避开可使问题得到简化，从而避开烦琐的三角函数运算。烦琐的三角函数运算。根据矢量合成法则，根据矢量合成法则，N个个简谐振动对应的旋转矢简谐振动对应的旋转矢量的合成如下图所示：量的合成如下图所示：同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成 因各个振动的振幅相同且相差依次恒为因各个振动的振幅相同且相差

50、依次恒为 a a ，上图上图中各个矢量的起点和终点都中各个矢量的起点和终点都在以在以C为圆心的圆周上为圆心的圆周上，根据简单的几何关系，可得根据简单的几何关系，可得同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成 在三角形在三角形DOCM中中,OM 的长度就是和振动位移矢的长度就是和振动位移矢量的位移量的位移,角度角度 就是和振动的初相，据此得就是和振动的初相，据此得考虑到考虑到当当 时时(同相合成同相合成)，有，有同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成同方