19.4 综合与实践--多边形的镶嵌.ppt

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1、19.4 19.4 综合与实践综合与实践 多边形的镶嵌多边形的镶嵌自主自主学习学习沪沪 科科 版版太太 湖湖 三三 中中 李李 光光 耀耀自主学习自主学习好漂亮的地板好漂亮的地板!这是怎么铺设的这是怎么铺设的?一点空隙也没有一点空隙也没有.用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，这叫做盖，这叫做平面镶嵌平面镶嵌，镶嵌也叫，镶嵌也叫密铺密铺.注意：注意：各种图形拼接后要既各种图形拼接后要既无缝隙无缝隙，也，也不重叠不重叠.定义：定义：合作探究合作探究活动活动1 1：探究用相同的正多边形铺设地面：探究用相同的正多边形铺设地面正三角形的平面镶嵌正三

2、角形的平面镶嵌6060606060606个正三角形可以镶嵌个正三角形可以镶嵌正方形的平面镶嵌正方形的平面镶嵌904个正方形可以镶嵌个正方形可以镶嵌正六边形的平面镶嵌正六边形的平面镶嵌120 120 120 3个正六边形个正六边形可以镶嵌可以镶嵌1231+2+3=?用边长相同的用边长相同的正五边形正五边形能能否镶嵌？否镶嵌？为什么边长相等的为什么边长相等的正正五边形五边形不能镶嵌，而不能镶嵌，而边长相等的边长相等的正六边形正六边形能镶嵌？能镶嵌？图形图形一个顶点周一个顶点周围正多边形围正多边形的个数的个数 能能能能能能正三角形正三角形正方形正方形正五边形正五边形正六边形正六边形643不能不能能否

3、平能否平面镶嵌面镶嵌90一个内一个内角度数角度数10860120要用图形不留空隙、不重叠地镶嵌一个平面区域，要用图形不留空隙、不重叠地镶嵌一个平面区域，需使得需使得拼接点拼接点处处的所有内角之和等于的所有内角之和等于360还有还有其它其它正多边形能镶嵌吗？正多边形能镶嵌吗？还能找到能镶嵌的其他正多边形吗？还能找到能镶嵌的其他正多边形吗？。k(n-2)180n=360。(n-2)(k-2)=4k=6n=3k=4n=4k=3n=6 设在一个顶点周围有设在一个顶点周围有 k k 个正个正 n n 边形的角，则有边形的角，则有 k 为正整数，为正整数，n 为大于等于为大于等于 3 的正整数的正整数解为

4、解为在正多边形里，正三角形的每个内角都是在正多边形里，正三角形的每个内角都是60，需要，需要六六个正三角形个正三角形 正四边形的每个内角都是正四边形的每个内角都是90，需要，需要四四个正四边形个正四边形 正六边形的每个内角都是正六边形的每个内角都是120，需要，需要三三个正六边形个正六边形这三种多边形的一个内角的倍数都是这三种多边形的一个内角的倍数都是360，而其他的正多边形的每个内，而其他的正多边形的每个内角的倍数都不是角的倍数都不是360，所以说：在正多边形里只有正三角形、正四，所以说：在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌，而其他的正多边形不可镶嵌。边形、正六边形可以镶嵌，

5、而其他的正多边形不可镶嵌。正多边形可以镶嵌的条件：正多边形可以镶嵌的条件：每个内角都能被每个内角都能被360o 整除。整除。还能找到能镶嵌的其他正多边形吗？还能找到能镶嵌的其他正多边形吗？用用两种两种正多边形镶嵌，哪些能镶嵌正多边形镶嵌，哪些能镶嵌成一个平面区域成一个平面区域?探究（二）探究（二）（一）正三角形与正方形（一）正三角形与正方形2 m+3 n=12m=3n=2 m60+n90=360设在一个顶点周围有设在一个顶点周围有 m m 个正三角形的角个正三角形的角,n,n 个正方形的角，则有个正方形的角，则有 m,n 为正整数为正整数解为解为 个个正三角形正三角形+个个正方形正方形32（二

6、）正三角形与正六边形m+2n=6m=2m=2n=2n=2m=4n=1 m60+n120=360设在一个顶点周围有设在一个顶点周围有 m m 个正三角形的角个正三角形的角,n,n 个正六个正六边形的角，则有边形的角，则有 m,n 为正整数为正整数解为解为 个个正三角形正三角形+个个正六边形正六边形224 4个个正三角形正三角形+1+1个个正六边形正六边形1 1个个正方形正方形+2+2个个正八边形正八边形（三）正方形与正八边形2 2个个正五边形正五边形+1+1个个正十边形正十边形（四）正五边形与正十边形（五）正三角形与正十二边形1 1个个正三角形正三角形+2+2个个正十二边形正十二边形收获收获当拼

7、接点处的当拼接点处的所有角之和所有角之和是是360360 时，时，就能拼成一个平面图形。就能拼成一个平面图形。思考：思考：能否用三种正多边形，如用正三角形，能否用三种正多边形，如用正三角形，正方形，正六边形（边长相同）能铺正方形，正六边形（边长相同）能铺满地面？满地面？1 1个个正三角形正三角形+2+2个个正方形正方形+1+1个个正六边形正六边形探究（三）探究（三）仅用同一种形状、大小完全相同的仅用同一种形状、大小完全相同的多边形能进行平面镶嵌吗？多边形能进行平面镶嵌吗？结论：结论：形状、大小完全相同的任意三角形形状、大小完全相同的任意三角形 能镶嵌成平面图形能镶嵌成平面图形.结论：结论：形状

8、、大小相同的任意四边形形状、大小相同的任意四边形能镶嵌成平面图形能镶嵌成平面图形.上面我们讨论的一般上面我们讨论的一般三角形和四三角形和四边形边形都可以平面镶嵌，因为三角都可以平面镶嵌，因为三角形的内角和是形的内角和是180，四边形内角，四边形内角和是和是360它们的内角和的整数倍它们的内角和的整数倍都是都是360。小结：小结：1.1.要用图形不留空隙、不重叠地镶嵌一个平面区域，要用图形不留空隙、不重叠地镶嵌一个平面区域，需使得拼接点处的所有角之和等于需使得拼接点处的所有角之和等于360360。4.4.任意形状但全等的三角形都可以进行镶嵌任意形状但全等的三角形都可以进行镶嵌5.5.任意形状但全等的四边形也都可以进行镶嵌任意形状但全等的四边形也都可以进行镶嵌2.2.用一种正多边形可以进行镶嵌的是：正三角形、用一种正多边形可以进行镶嵌的是：正三角形、正方形、正六边形正方形、正六边形3.3.用两种正多边形可以进行镶嵌的是：正三角形和正用两种正多边形可以进行镶嵌的是：正三角形和正方形、正三角形和正六边形、正方形和正八边形方形、正三角形和正六边形、正方形和正八边形 等等作业：作业：设计一个镶嵌图案设计一个镶嵌图案