苏教版中学复习：《解直角三角形》课件.ppt

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1、解直角三角形解直角三角形 课题学习目标知识回顾典型例题和及时反馈1.1.了解锐角三角函数的概念了解锐角三角函数的概念,掌握直角三角掌握直角三角形的边、角关系形的边、角关系.2.2.熟记熟记3030、4545、60 60特殊角的三角函特殊角的三角函数值数值.会计算含有特殊角的三角函数式的会计算含有特殊角的三角函数式的值，会由一个特殊角的三角函数值，求值，会由一个特殊角的三角函数值，求出它对应的角度出它对应的角度.3.3.理解直角三角形中理解直角三角形中5 5个元素的关系，会运个元素的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形余及锐角

2、三角函数解直角三角形.知识回顾一：锐角三角函数的概念由前面的探索可知，在由前面的探索可知，在ABCABC中中C=90C=90，锐角锐角A A确定（取某一数值）时，其对边与斜确定（取某一数值）时，其对边与斜边的比、邻边与斜边的比、对边与邻边的边的比、邻边与斜边的比、对边与邻边的比，都是确定的值。比，都是确定的值。A AB BB B1 1B B2 2C CC C1 1C C2 2锐角三角函数的概念锐角三角函数的概念正弦：正弦：把锐角把锐角A A的对边与斜边的比叫做的对边与斜边的比叫做A A的的正弦，记作正弦，记作 余弦：余弦：把锐角把锐角A A的邻边与斜边的比叫做的邻边与斜边的比叫做A A的的余弦

3、，记作余弦，记作 正切：正切：把锐角把锐角A A的对边与邻边的比叫做的对边与邻边的比叫做A A的的正切，记作正切，记作 锐角锐角A A的正弦的正弦、余弦余弦、正切都叫做正切都叫做A A的锐角三角函数的锐角三角函数.给出锐角的三角函数值，我们也能够求出锐角的大小。给出锐角的三角函数值，我们也能够求出锐角的大小。AA邻边邻边b b斜边斜边c cAA对边对边a a在在RtABCRtABC中，有中，有 互余锐角的正弦值和余弦值之间的关系是：一个互余锐角的正弦值和余弦值之间的关系是：一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，余弦值等于锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，余弦值等于它的余角的正弦值它的余角的正弦

4、值.即即sinAsinAcoscos（9090一一A A）cosB cosB cosAcosAsinsin（9090一一A A）sinBsinB思考：思考：互余的两个锐角的正弦值和余弦值互余的两个锐角的正弦值和余弦值之间有何关系？（之间有何关系？（4343页思考与探索）页思考与探索）b bc ca a知识回顾二：特殊角的三角函数特殊角的三角函数值表特殊角的三角函数值表锐角锐角三角函数三角函数30300 045450 060600 0正弦正弦sinsin余弦余弦coscos正切正切tantan锐角的三角函数值有何变化规律呢？w要记要记住哦！住哦！知识回顾三：解直角三角形解直角三角形解直角三角形由

5、直角三角形中的已知元素，求出所有未知元素的过程，由直角三角形中的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形叫做解直角三角形.1.1.什么叫解直角三角形？什么叫解直角三角形？AA十十B B9090 归纳：归纳：只要知道其中的只要知道其中的2 2个元素（至少有一个是边），就可个元素（至少有一个是边），就可以求出其余以求出其余3 3个未知元素个未知元素.（1 1）三边关系：）三边关系：（勾股定理）（勾股定理）（2 2）两锐角的关系：）两锐角的关系：（3 3）边角的关系：）边角的关系：2.2.直角三角形除直角外，其余直角三角形除直角外，其余5 5个元素之间有什么关系？个元素之间有什么关系？3.

6、3.知道其中哪些元素，就能够确定其余的元素？知道其中哪些元素，就能够确定其余的元素？典型例题一例例1 1如如图图，在，在 中，中，9090，BC=1BC=1，AB=2AB=2，则则下列下列结论结论正确的是（正确的是（）A AB B C C D DBCA解法一：在解法一：在ABCABC中，中，ACBACB9090，BC=1BC=1，AB=2AB=2，AC=(AC=(勾股定理）勾股定理）sinA=sinA=，tanA=tanA=，cosB=cosB=，tanB=tanB=D D点拨：本道题我们可以从锐角三角函数的概念来解题。点拨：本道题我们可以从锐角三角函数的概念来解题。解法二：由条件知解法二：由

7、条件知AB=2BCAB=2BC，故，故A=30A=30，B=60B=60，可得正确选项可得正确选项。点拨：我们还可以通过特殊角的三角函数来解题。点拨：我们还可以通过特殊角的三角函数来解题。及时反馈一1 1、在、在RtABCRtABC中，如果各边都扩大中，如果各边都扩大2 2倍，则锐角倍，则锐角A A的的正弦值和余弦值（正弦值和余弦值（）A A、都不变都不变 B B、都扩大都扩大2 2倍倍 C C、都缩小都缩小2 2倍倍 D D、不确定不确定2 2、如、如图图，AOBAOB是放置在正方形网格是放置在正方形网格中的一个角，中的一个角，则则coscosAOB AOB=（）。）。点评：网格中，找到特殊

8、位置的两个点评：网格中，找到特殊位置的两个格点，连接构得等腰直角三角形，得格点，连接构得等腰直角三角形，得AOB=45AOB=45。A A3 3、将以、将以A A为为直角直角顶顶点的等腰直角三角点的等腰直角三角形形ABCABC沿直沿直线线BCBC平移得到平移得到 ，使，使点点 与与C C重合，连接重合，连接 ，则，则的值为（的值为（）。）。AC(B)BACD D 思路点拨：如图作高构造直角三角形，思路点拨：如图作高构造直角三角形，由等腰直角三角形的性质得直角边的比例关系，由等腰直角三角形的性质得直角边的比例关系，根据锐角三角函数的定义得解。根据锐角三角函数的定义得解。典型例题二例例2.2.计算

9、计算tan45tan45sin30sin30cos60cos60解：原式解：原式=1-=1-=0=0w准确写出三角准确写出三角函数值，代入运函数值，代入运算注意运算顺序算注意运算顺序例例3.3.若若 ，则锐角，则锐角=.2sin-=02sin-=0点拨：本题是由特殊角的三角函数值求角度，首先点拨：本题是由特殊角的三角函数值求角度，首先将原式变形为将原式变形为sin=sin=，从而求得，从而求得的度数的度数.6060及时反馈二1 1、若、若 ，则锐角，则锐角=2 2、若、若 ，则锐角，则锐角=3 3、计算：、计算：454580804 4、如果、如果 ，那么，那么ABCABC是（是（）A A、直角

10、三角形、直角三角形 B B、锐角三角形、锐角三角形C C、钝角三角形、钝角三角形 D D、等边三角形、等边三角形A A典型例题三例例4 4RtABCRtABC中，中，C C9090，ACAC8 8，A A的平分的平分线线ADAD ，求，求B B的度数的度数以及以及边边BCBC、ABAB的的长长。A AC CB BD D 遇到边长含有遇到边长含有 、时，我们通常时，我们通常会考虑特殊角；求含有特殊角的直角会考虑特殊角；求含有特殊角的直角三角形的边长时我们可以用三角函数三角形的边长时我们可以用三角函数的概念得到等式，也可以用三边比值的概念得到等式，也可以用三边比值来解决问题。来解决问题。思路点拨：

11、思路点拨：例例4 4RtABCRtABC中，中，C C9090，ACAC8 8，A A的平分的平分线线ADAD ，求，求B B的度数以的度数以及及边边BCBC、ABAB的的长长。A AC CB BD D解解:在在RtACDRtACD中，中，cosCAD=cosCAD=CAD=30 CAD=30ADAD是平分线是平分线 CAB=2CAD=60CAB=2CAD=60B=30B=30，在在RtACDRtACD中，中，tanB=tanB=BC=BC=AC AC=AB=2ACAB=2AC=16=16例例5.5.如图，在如图，在ABCABC中，中，ADAD是是BCBC边上的高，边上的高，若若tanB=co

12、sDAC.tanB=cosDAC.（）（）ACAC与与BDBD相等吗？说明理由；相等吗？说明理由；DCBA解：（）解：（）故故BD=ACBD=AC在在RtRtABDABD和和ACDACD中，中，tanB=tanB=，因为因为tanB=cosDACtanB=cosDAC，所以，所以cosDACcosDAC（）若（）若sinCsinC，BC=12BC=12，求，求ADAD的长的长.提示：找准直角三角形，根据三角函数的概念列出等比式。提示：找准直角三角形，根据三角函数的概念列出等比式。例例5.5.如图，在如图，在ABCABC中，中，ADAD是是BCBC边上的高，边上的高，若若tanB=cosDAC.

13、tanB=cosDAC.（）（）ACAC与与BDBD相等吗？说明理由；相等吗？说明理由；DCBA（）若（）若sinCsinC，BC=12BC=12，求，求ADAD的长的长.提示：找到给出三角函数值的提示：找到给出三角函数值的RtACDRtACD，已知两边的，已知两边的比值，可用设比值，可用设K K法，表示出法，表示出CDCD边，由（边，由（1 1）的结论可）的结论可以表示出以表示出BDBD边，根据边，根据BC=12BC=12列出方程求解。列出方程求解。AD=12AD=12解（）解（）设设AC=13k,AD=12kAC=13k,AD=12k，所以，所以CD=5k,CD=5k,又又BD=AC=13

14、kBD=AC=13k，在在RtRtACDACD中，因为中，因为sinCsinC所以所以BC=18k=12,BC=18k=12,故故k=k=，及时反馈三1 1、如图，在、如图，在RtABCRtABC中，中，C=90 C=90 b=,c=4.b=,c=4.则则a=a=，B=B=，A=A=.A AB BC Cb ba ac c2 2606030302 2、如图，在、如图，在ABCABC中，中，CDCD是是ABAB边上的边上的高，高，AD=2AD=2，AC=3AC=3，则，则tanAtanA值值为（为（）.C CA AD DB B361ACBDO方法点拨方法点拨:根据锐角三角函数的概念列式或应用相似。

15、根据锐角三角函数的概念列式或应用相似。方法一：方法一：在在RtARtAOCOC和和BOBOD D中中，tantanAOCAOC=,tantanBOD=,AOC=BOD,BOD=,AOC=BOD,=，=，OD=2OCOD=2OC又又CD=11,OC=,tan1=tanA=CD=11,OC=,tan1=tanA=方法二：方法二：易证易证RtAOCRtBODRtAOCRtBOD，得比例式同一。，得比例式同一。3 3、在光的反射中，入射角等于、在光的反射中，入射角等于反射角，入射角为反射角，入射角为1 1，ACACCDCD，BDBDCDCD，且，且AC=3AC=3，BD=6BD=6，CD=11CD=1

16、1，tan1=tan1=。4.4.直角三角形纸片的两直角边分别直角三角形纸片的两直角边分别BCBC为为6 6，ACAC为为8,8,现将现将ABCABC，按如图折叠，使点，按如图折叠，使点A A与点与点B B重合，折痕为重合，折痕为DEDE，则，则tanCBEtanCBE的值的值是（是（）.ABC68ED方法点拨方法点拨:找准找准RtBCERtBCE，设，设CE=x,CE=x,由由折叠知折叠知BE=AE=8-x,BE=AE=8-x,利用勾股定利用勾股定理得方程：理得方程：6 62 2+x+x2 2=（8-x8-x）2 2 解出解出x=,x=,再由正切定义求再由正切定义求tanCBEtanCBE的

17、值的值.拓展提升 如如图图D D是是ABCABC的的边边ABAB上一点上一点,CD=2AD,AEBC,CD=2AD,AEBC,交交BCBC于点于点F.F.若若BD=8,sinCBD=BD=8,sinCBD=,求求AEAE的的长长。点拨：作垂线段点拨：作垂线段DFDF，在，在BDFBDF中易中易求出求出DFDF的长，由平行得相似，列出的长，由平行得相似，列出比例式求出比例式求出AEAE的长为的长为 9.9.F点评：（点评：（1 1）构造直角三角形是）构造直角三角形是解直角三角形不可少的一步，如何构造直角三解直角三角形不可少的一步，如何构造直角三角形才最有效，是我们要深刻体会的；角形才最有效，是我们要深刻体会的；（2 2）解直角三角形的问题经常与三角形的）解直角三角形的问题经常与三角形的相似相结合相似相结合.ABDCE小结锐锐角角三三角角函函数数1.1.锐角三角函数的定义锐角三角函数的定义正弦正弦余弦余弦正切正切2.302.30、4545、6060特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值3.3.解直角三角形解直角三角形 定义定义解直角三角形的依据解直角三角形的依据三边间关系三边间关系锐角间关系锐角间关系边角间关系边角间关系解直角三角形在实际问题中解直角三角形在实际问题中 的应用的应用