关于微分中值定理的应用.doc

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1、新疆财经大学本科毕业论文题目： 关于微分中值定理的应用 学生姓名： 皮路热木热合木 学 号： 2014102009 系 部： 应用数学学院 专 业： 金融数学 年 级： 2014年级-2班 指导教师姓名及职称： 买买提热依木尤努斯 （讲师） 完成日期： 2018年 3月 31 日 32摘要微分中值定理是高等数学微分学的主要知识点，本文在确定罗尔定理、拉格朗日中值以及柯西中值定理的重要基础上，深入分析不同中值定理的推广延伸形式。在确定微分中值定理的经典证明的前提下，分析上述彼此之间的关系。把其相关形式的证明全部寻找出来，且分析上述证明内所使用的理论，进而全面验证使用微分中值定理得得到的分段函数的

2、导函数的属性、讨论导数零点的存在性、分析函数性态、证明不等式与求极限。最终叙述微分中值定理的有关使用，然后确定微分中值定理在一元函数、求极限、方程实根、证明等式、证明不等式等部分的推广使用。本文核心内容为：第一部分， 重点叙述了微分中值定理的分析和其发展包含罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒公式。第二部分， 重点叙述微分中值定理在数学中的关键位置和其定义、属性、推广和部分关键的经典证明。第三部分， 重点叙述了微分中值定理在函数状况下的与相关不等式的使用推广和真实案例、求微分中值定理求极限等。第四部分， 重点叙述拉格朗日中值定理与柯西中值定理的行列式形式、推广延伸和其使用。 微分中值

3、定理是数学研究中的关键内容。本文重点叙述微分中值定理的内容和多种类型，和使用微分中值定理证明多种数学问题，全面叙述微分中值定理的彼此关系。关键词：微分中值定理，应用，推广AbstractDifferential mean value theorem of higher mathematics is the core content of differential calculus, in the three differential mean value theorem are given on the basis of further study, each extending form t

4、he generalization of the mean value theorem.The differential mean value theorem proof based on the classic, discuss the connection between them.Its extension forms of evidence are presented, and discussed these proved in the use of thought, thereby further demonstrate that the application of the dif

5、ferential mean value theorem that piecewise function, discuss the properties of derivative function zero of derivative existence, of studying function, the proof of inequality and limit.Finally, the differential mean value theorem in multivariate function applicationKey words: differential mean valu

6、e theorem, application, multiple functions摘 要摘要2ABSTRACT31.引言52. 微分中值定理及其推广形式介绍62.1 预备知识62.2 微分中值定理及其经典证明72.3 微分中值定理的推广形式及其证明123.微分中值定理的应用153.1一元函数微分中值定理153.2利用微分中值定理求极限183.3 利用微分中值定理证明函数的连续性193.4 利用微分中值定理解决含高阶导数的中值问题203.5 利用微分中值定理求近似值20 3.6 利用微分中值定理解决导数估值问题.20 3.7 利用微分中值定理讨论方程的实根.21 3.8 利用微分中值定理证明有

7、关的等式.24 3.9 利用微分中值定理证明有关的不等式.254.对微分中值定理的推广265.结论30参考文献31致 谢321.引言 在数学研究中，微分中值定理具备非常关键的作用。在近期的数学类硕士研究生考试中，与微分中值定理相关的命题层出不穷。所以分析此部分问题不只可以让我们深入了解与认知微分中值定理知识，此外对于后续的解题来说也非常关键。微分中值定理一般涵盖罗尔（Roll）定理，拉格朗日（Lagrange）中值定理，柯西(Cauchy)中值定理和泰勒(Taylor)公式。上述部分彼此不断递进。分析某个函数整体和部分，和众多函数彼此间的关系。对了解函数的属性和根的存在性等部分具有关键的价值。

8、学微分中值定理这部分的时候，我们需要了解为何要学习，以及与其他定理间的关系与使用。基于教材进行分析，我们逐渐了解到导数微分的关键性，然而并未讲解怎样使用，所以需要强化导数的使用，但是微分中值定理是导数使用的理论前提。因此此部分知识非常关键。其是此后分析函数极限，单调，凹凸性的前提。基于微分中值定理的形成进行分析，此处主要的基础是函数最值问题。而处理上述问题是使用微分中值定理。学者对微分中值定理的分析，总共经历了二百多年的时间，其主要从费马定理开始，经过从特殊到一般、直观到抽象，强条件到弱条件的发展时期。学者也是在上述发展时期中，开始了解到其本身的内在关系与根本特点。微分中值定理是浓缩版本的普遍

9、化，而上述普遍化和美国数学家克拉默所说在对数学史上任何阶段中大众对数学做出贡献进行评估的，那些可以将之前统一起来而为此后发展寻找道路的概念，就应该被当做最深刻的定义。从广义层面进行分析，微分中值定理是这样的定义。微分中值定理是微分学的主要定理，在数学研究中具备关键位置，是分析函数在某区间内的综合性质的重要方式。其主要包含众多定理。此处拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，柯西中值定理是罗尔中值定理的推广；反之，拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊案例，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特殊案例。要想全面的分析中值定理，也需要掌握具体的推广方式和利用中值定理来处理函数的相关问题。文献1叙述微分中值

10、定理的表达和典型证明，且延伸出具体的推广形式；文献2使用微分中值定理得出分段函数在分段点可导性的重要判定方式，之后得出分段函数的不同性质，且确定了分段函数的导数性质的使用案例；文献3叙述三个微分中值定理性质彼此间的关系，通过几何意义进行解题应用、分析函数零点的存在性和个数估计、明确证明函数恒是常数的多种方式；文献4使用微分中值定理表述反函数指数导数求导法则，在指数导数意义下创建知名的罗尔定理，拉格朗日中指与柯西中值定理；文献5叙述了微分中值定理的证明是利用创建辅助函数，在罗尔中值定理的前提上验证的，受到启迪，本文创建另类辅助函数，使用罗尔中值定理验证微分中值定理的全新方式，且叙述了微分中值定理

11、在处理数学问题中的使用；文献6利用弱化微分中值定理的要求，得出减弱之后的结论，也就是中值定理的不等式形式，其在大部分中都有普通中值定理的效果，此外使用时期也弱化了少数条件；文献7叙述了罗尔定理逆命题的不成立性、拉格朗日定理结果内的点非任意性且寻找出充足的补充，研究论述了微分中值定理的使用；文献8根据案例研究了微分中值定理证明内的原函数法、积分法、K值法等众多方式；文献9和8也都分析了副主函数的众多方式且增加了使用函数增量构造辅助函数的方式；文献10使用实函数的微分中值定理检验向量函数对微分中值定理的不成立性，且确定出单纯的对微分中值定理成立的向量函数的类型；文献11全面叙述了微分中值定理的使用

12、，包含解方程的根、证明不等式、证明等式，也确定出函数在特定环境中问题思路研究；文献12使用微分中值定理整理出部分解题方式。根据以上资料我们就可以分析对于多元函数来说的微分中值定理。2. 微分中值定理及其推广形式介绍2.1 预备知识由于微分中值定理与连续函数紧密相关，因此有必要介绍一些连续函数的性质、定理性质2.11（极限的保号性） 若而，则存在，使当时，定理2.21（最值定理） 闭区间上的连续函数在上必有最大值和最小值，亦即在内，至少有两点和，使得对内的一切，有这里和分别是在上的最大值与最小值定理2.31（介值定理） 闭区间上的连续函数可以取其最大值和最小值之间的一切值定理2.41（零点存在定

13、理） 若在连续，和异号，那么在内至少有一点，使定义2.51(导数的定义) 设有函数在附近有定义，对应于自变量的任意改变量，函数的改变量为此时，如果极限存在，则称此极限值为函数在点的导数，记为2.2 微分中值定理及其经典证明2.2.1 罗尔定理的概念及证明若函数满足下列条件： 在闭区间a,b内连续； 在开区间（a,b）内可导； ;则在（a,b）内至少存在一点c，使证明：因为在a,b上连续，所以有最大值与最小值，分别用M与m表示，现分两种情况讨论：(i)若M = m , 则在a,b上必为常数，从而结论显然成立。(ii)若m 在内 在内时, 为的一个极小值点; 在内 在内时, 为的一个极大值点; 若

14、在上述两个区间内同号, 则不是极值点. (充分条件) 设点为函数的驻点且存在.则 当时, 为的一个极大值点; 当时, 为的一个极小值点.证 当时, 在点的某空心邻域内与异号,证 用Taylor公式展开到二阶, 带Peano型余项.(充分条件 ) 设,而.则 为奇数时, 不是极值点; 为偶数时, 是极值点. 且对应极小; 对应极大.3.1.2 利用单调性证明不等式 原理1: 若增函数，则对, 有不等式. 证明: 对任意实数和, 成立不等式 证 取在内增函数.于是, 由 , 就有 , 即 .不等式原理: 设函数在区间上连续,在区间内可导,且; 又 则 时, (不等式原理的其他形式.)3.1.3 凸

15、性的定义及判定（1）凸性的定义：由直观引入. 强调曲线弯曲方向与上升方向的区别.定义 设函数在区间上连续. 若对, 恒有 , 或. 则称曲线在区间上是凹(或凸)的. 若在上式中, 当时, 有严格不等号成立, 则称曲线在区间上是严格凹(或严格凸)的. 凹和凸也分别称为上凸和下凸.(2) 凸性的几何意义: 倘有切线, 与切线的位置关系; 与弦的位置关系; 曲线的弯曲方向.3.1.4 利用二阶导数判断曲线的凸向 设函数在区间内存在二阶导数, 则在内 在内严格上凸; 在内严格下凸.该判别法也俗称为“雨水法则”.证 ( 用Taylor公式 ) 对 设, 把在点展开成具Lagrange型余项的Taylor

16、公式, 有 .其中和在与之间. 注意到 , 就有 , 于是 若有 上式中, 即严格上凸. 若有 上式中, 即严格下凸.3.1.5 曲线的拐点拐点的定义、确定函数的上凸、下凸区间和拐点。 解 的定义域为 . 令, 解得 .在区间内的符号依次为，. 拐点为: 倘若注意到本题中的是奇函数, 可使解答更为简捷.3.1.6 函数的最值设函数在闭区间上连续且仅有有限个可疑点. 则=; . 函数最值的几个特例: 单调函数的最值: 如果函数在区间上可导且仅有一个驻点, 则当为极大值点时, 亦为最大值点; 当为极小值点时, 亦为最小值点. 若函数在内可导且仅有一个极大(或小)值点, 则该点亦为最大(或小)值点.

17、 对具有实际意义的函数, 常用实际判断原则确定最大(或小)值点.3.2 利用微分中值定理求极限在求极限的问题中，很多题目假如使用一般的方法来求解的话，就会让我们在解题的时候增加任务量，或者遇到相对繁杂的解题过程12。然而使用中值定理，就可以为此部分题目准备相对便利简单的方式。其中使用中值定理来解题重点就是辅助函数的构造，之后再使用中值定理，基于可以得出极限。【例1】 求，其中。分析：由于题目中有和，则可以试着构造辅助函数，那么就可以得到在连续，在可导，即可以利用Lagrange定理解题了。解 根据题意，由Lagrange定理，有其中，【例2】 已知，试求。解 令则对于函数在上满足Lagrang

18、e定理可得： ， 当时，把得到的上述个不等式相加得： 即 故 所以 3.3 利用微分中值定理证明函数的连续性【例1】 若函数在区间上可导，且有界，则在上一致连续。证明 对任意，则由拉格朗日中值定理可知：又在上有界，所以存在，对任意，有。由此可得因此，对任意，取，对任意，且，都有这就证明了在上一致连续的。3.4 利用微分中值定理解决含高阶导数的中值问题一般原理是：若有，使得，则相继n次用罗尔中值定理得出 ，使得13。【例4】 设，则存在，使得证 首先变换待证中值公式为 0其中故用两次罗尔中值定理得所要证。3.5 利用微分中值定理求近似值【例1】求的近似值解是在处的值,令 则,由拉格朗日中值定理中

19、值定理,存在一点，使得可取近似计算,得3.6 利用微分中值定理解决导数估值问题【例1】 设在上具有二阶连续的导数，且满足条件，其中都是非负常数，是内任意一点，证明：。证：将在处展为一阶泰勒公式 (1)在(1)式中令，则有在(1)式中令，则有上述两式相减，就有于是又因为，故3.7 利用微分中值定理讨论方程的实根例: 设在上一阶可导，在内二阶可导，证明（1）在内存在相异的点与使，；（2）在内至少存在一点使证（1）因在上可导，故在上连续，则在上必分别可取到其最大值与最小值，根据导数定义，由，按极限的保号性知：在的充分小右邻域内有，故存在一点，使；在的充分小左邻域内有，故存在一点，使即在内存在相异的两

20、点与使，（2）由（1）的结论即知，在上的最大值点与最小值点必在开区间的内部，且（否则恒为常数），则按费马定理得， , , 显然，导函数在以与为端点的区间上满足罗尔定理的条件，则有，其中，在与之间，当然有 例: 设函数在上连续，在内可导，试证明：在内至少存在一点，使证 构造函数显然，在上是有界的，由此得（1），（2）在上连续，（3）在内可导，故由罗尔定理知：在内至少存在一点，使，故：例: 设函数，在上连续，在内二阶可导，且存在相等的最大值，试证明：存在一点，使得证 因连续函数，在闭区间上必能取得它们相等的最大值，即存在，不妨设，使得则当时，取，使；当时，构造辅助函数，有;当时，有，取使；当时，有

21、，取使；当，时，则由介值定理知存在一点，使得，即又由题设知，又，且满足罗尔定理的各项条件，则至少存在，使得，再因在上满足罗尔定理条件，故至少存在一点，使得,故存在一点，使得3.8 利用微分中值定理证明有关的等式例：设函数在上二阶可导，求证：，使得，证 由知与同号，不妨设，（另一情况的证明类似）因为在上二阶可导，故在上连续，所以，由极限的保号性，存在点的右邻域和点的左邻域使得，；，由于，故，使得，因，在区间上应用零点定理，必，使得函数在区间与上满足罗尔定理的条件，必，使得，函数在上二阶可导，在上必一阶可导，对函数在区间上应用罗尔定理，必使得例：设函数，在上可导，求证：存在使得证 令函数，显见在上

22、可导，又，应用罗尔定理，必使得，即由于，所以（否则，应用罗尔定理，必使得，此与矛盾）将上式简化即得3.9 利用微分中值定理证明有关的不等式例：设函数在上可导，且非直线，求证：存在使得证 连接两点，的直线方程为考虑曲线与上述直线的纵坐标的差，记为函数，则显见在上可导，且由于非直线，所以，使得，或(1) 当时，对分别在与上应用拉格朗日中值定理，必，使得，若，则，即，这里为所求的；若，则，即，这里为所求的(2) 当时，证明与上述讨论完全类似，从略4.对微分中值定理的推广 在对微分中值定理的分析中，拉格朗日中值以及柯西中值定理能够表述成行列式的方式，目前把其行列式的形式展现出来：1（拉格朗日中值定理的

23、行列式形式） 设在上连续，在内可导，则至少存在一点，使证明 已知上式等价于，作辅助函数，显然，在上满足罗尔定理的条件，因此至少存在一点，使，即2（柯西中值定理的行列式形式） 设，在上连续，在内可导，对任意，则至少存在一点，使证明 作辅助函数，由1知，在上连续，在内可导，则至少存在一点，使现将上述定理推广到一般个函数3（一般个函数的中值定理） 设为个不相等的实数，函数组满足（）在上都连续；（）在内都可导；则在内至少存在个，使 证明 首先证明在内至少存在一个，使成立为此，作辅助函数，根据行列式定义知：的展开式是的一个线性组合，因此由定理条件（）、（）知，在上连续，在内可导，又显然由行列式的性质得：

24、，这样由罗尔中值定理得：在内至少存在一个，使成立类似可以证明在其它各分点组成的每个小区间：内都至少存在一个，使成立这样在内至少存在个，使【例1】 如果函数，求证：，使得。分析：对于该题目我们通常会采用这样一种证法，令，有，即可得证。此证明方式，主要使用极限方式来表示，当前我们也可以思考是否能使用其余方式来检验。假如要使用中值定理来检验是否可行呢？接下来检验此方式。证 由题得在连续，在可导，且可得那么，由推广定理的定理1，得到：，使得例 2 设在上可得，且，证明：，使得。证 问题相当于要找，使因函数在内可导，故即又因为即 所以由定理2知，使得，即题目得证。5 结论本文全面叙述了重要的微分中值定理

25、，在确定经典证明的前提下，汇总其构造辅助函数的理论，把其使用到其余定理证明中，尤其是函数的性态证明。本文也确定了微分中值定理的推广延伸形式，且进行证明，之后全面使用起来，全面叙述了微分中值定理彼此间的关系和差异。此外本文重点叙述了微分中值定理的使用，主要包含函数多的极值点，零点问题、函数凸凹点拐点问题和微分中值定理在个函数环境中的扩展应用。微分中值定理是微分学的重点，是联系函数和其导数彼此间的桥梁，我们需要深化对微分中值定理的了解，如此才可以充分使用微分中值定理。参考文献1 李国成， 利用微分中值定理解题中辅助函数的构造J，江西教育学院学报， 2009. 12， 22-25. 2张国林，张丽颖

26、， 利用微分中值定理证明的方法分析 J，贵州大学学报（自然科学版）， 2010.03， 51-52.3党艳霞，浅谈微中值定理及其应用 J，廊坊师范学院学报， 2010.02， 28-30.4 项明寅，方辉平，微分中值定理的不定是形式及其应用J，新乡学院学报， 2009.02， 15-17.5 王秀玲，微分中值定理的另类证明与应用J， 安庆师范学院学报， 2010.11， 35-37.6 李阳，郝佳，微分中值定理的延伸及其证明 J，辽宁师专学报， 2011.3, 44-45.7 盛晓兰， 微分中值定理的证题技巧J，职业教育，2009.12， 27-28.8曹先涛， 微分中值定理对向量函数不成立的

27、证明M,高校理科研究， 2009， 99-131.9 尹国龙, 微分中值定理及其应用M,大众商务, 2009.02， 88-119.10 朱华，赵建彬，微分中值定理的几点注记J，宁波教育学院学报， 2011.01,23-27. 11 朱智和，微分中值定理在解题中的若干应用J，绍兴文理学院学报（自然科学版）， 2009.12. 致 谢时光匆匆，白驹过隙，我的学习就要结束了，虽然心里纵有千万的不舍和遗憾，但是结束的钟声已敲响，重新起航的号角又响起了。回忆这四年的本科生美好生活，其中酸甜苦辣只有自己可以体会，但是所有的经历都是我人生的财富，假如让我用一个词来叙述我的学习生涯，那就是“感谢”。感谢我的学院，在稳定和谐的环境中度过两年是我的幸运。学校的所有老师都具备精益求精的工作理念，因人施教的崇高师德，所有授课老师的授课都为我此后工作奠定了良好的基础，老师严谨的教育理念和宽广的胸怀，也是值得我们学习的。感恩无条件为我付出的家人，多次在百忙中帮我修改论文，感谢一直以来你们的默默付出，感恩你们的鼓励和容忍，正是因为你们的爱和无私奉献，我才可以无忧无虑的学习和生活，才能顺利完成学业！