分布列与分布.ppt

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1、分布分布列列与分布与分布函数的关系函数的关系?二项分布二项分布的逼近式的逼近式 常见的离散型分布常见的离散型分布 两点分布两点分布 二项分布二项分布 全部可能的取值；全部可能的取值；取值的概率取值的概率.随机变量随机变量 X 分布列分布列分布函数分布函数复习复习离散型离散型连续型连续型分布函数的特征分布函数的特征概率函数概率函数或或分布律分布律或或概率分布概率分布 0 pk 1 F(-(-)=0，F(+(+)=1;F(x)是是 x 的非减函数的非减函数;P(a a)=1-F(a);X 0 1pk 1-p p只有两个互逆结果只有两个互逆结果 (n+1)p 其图形是其图形是右连续的阶梯曲线右连续的

2、阶梯曲线在点在点 xk 处有跳跃，跃度为处有跳跃，跃度为 pk 只有两个互逆结果的只有两个互逆结果的 n 次独立重复试验次独立重复试验 F(x)=P(X x)取取 =np 特征条件特征条件 泊松逼近公式泊松逼近公式的右端的右端 是是 与与 k 的函数，的函数，=1，所以它构成一个概率分布所以它构成一个概率分布 又一重要的离散型分布：又一重要的离散型分布：3.泊松分布泊松分布 无穷级数无穷级数 设随机变量设随机变量 X 所有可能取的值为所有可能取的值为 0,1,2,定义定义6(P48.(P48.定义定义7)7)其中其中 0 是常数，是常数，3.泊松分布泊松分布泊松分布的图形特点：泊松分布的图形特

3、点：记作记作 X P().且取各个值的概率为：且取各个值的概率为：历史上历史上,泊松分布是作为二项分布泊松分布是作为二项分布的近似于的近似于1837年由泊松引入的年由泊松引入的.在实在实际中际中,许多随机现象服从或近似服从许多随机现象服从或近似服从泊松分布泊松分布.近数十年来近数十年来,泊松分布在泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的管理科学、运筹学以及自然科学的许许多多问问题题中中都都有有重重要要的的应应用用,日日益益显显示示其其重重要要性性,成成为为概概率率论论中中最最重重要的几个分布之一要的几个分布之一.典型应用典型应用 二项分布的近似计算；二项分布的近似计算；描绘在一定时间内出现在空

4、间给定区域的随机质点的个数；描绘在一定时间内出现在空间给定区域的随机质点的个数；描绘随机质点的空间分布描绘随机质点的空间分布.则称则称 X 服从服从参数为参数为 的泊松分布的泊松分布，我们把在每次试验中出现概率很我们把在每次试验中出现概率很小的事件称作小的事件称作稀有事件稀有事件.泊松定理的条件意味着什么？泊松定理的条件意味着什么？泊松定理泊松定理表明表明 n 重贝努里试验中重贝努里试验中稀有事件稀有事件出现的出现的次数次数近似地服近似地服 从泊松分布从泊松分布.这就意味着，在每这就意味着，在每次试验中事件次试验中事件 A 出现概率很小，出现概率很小，如地震、火山爆发、特大洪水、等如地震、火山

5、爆发、特大洪水、等.当当 n 很大时，事件很大时，事件 A 的概率的概率 pn 必定很小，必定很小，在自然界和人们现实生活中，经常要遇到在随机时刻出现的某在自然界和人们现实生活中，经常要遇到在随机时刻出现的某种事件种事件.我们把在随机时刻相继出现的事件所形成的序列我们把在随机时刻相继出现的事件所形成的序列,叫做叫做随机随机事件流事件流.很多随机事件流服从泊松分布很多随机事件流服从泊松分布,称为称为泊松事件流泊松事件流(泊松流泊松流).).泊松事件流具有平稳性、无后效性、普通性的特征泊松事件流具有平稳性、无后效性、普通性的特征.事件事件(如交通事故如交通事故)出出现的次数服从参数为现的次数服从参

6、数为 t 的泊松分布的泊松分布.到某机场到某机场降落的飞机数降落的飞机数;如果时间区间充分小，事件出现两次或两次以上的概如果时间区间充分小，事件出现两次或两次以上的概 率可忽略不计率可忽略不计.在任意时间区间内，事件发生在任意时间区间内，事件发生 k次次(k0)的概率只的概率只 依赖于区间长度而与区间端点无关依赖于区间长度而与区间端点无关.无后效性无后效性:普通性普通性:在不相重叠的时间段内，事件的发生是相互独立的在不相重叠的时间段内，事件的发生是相互独立的.例如：例如：都可以看作泊松流都可以看作泊松流.某电话交换台收到的电话呼叫数；某电话交换台收到的电话呼叫数；一个售货员接待的顾客数一个售货

7、员接待的顾客数;一台纺纱机的断头数一台纺纱机的断头数;一放射性源放射出的一放射性源放射出的 粒子数；粒子数；对于泊松流，对于泊松流，在任意时间间隔在任意时间间隔(0,t)内，内，平稳性平稳性:称为泊松流的称为泊松流的强度强度.则已知则已知 X P(5).某商店由其过去的销售记录知道，某种商品每某商店由其过去的销售记录知道，某种商品每月的销售量可以用参数月的销售量可以用参数 =5 的泊松分布来描述，的泊松分布来描述，解解 设该商品每月的设该商品每月的销售数为销售数为 X 单位，单位，再设商店在月底应再设商店在月底应进进此种商品此种商品 N 单位单位，由题意即求满足由题意即求满足 P(X N)0.

8、90 的最小的的最小的 N.例例9(P50.(P50.例例10)10)为了以为了以 90%以上以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进这种商品多少件？这种商品多少件？显然当显然当 X N 时脱销，时脱销，考察考察 或或 查泊松分布表得查泊松分布表得于是于是 N+1=9,N=8，即月底至少应进即月底至少应进这种商品这种商品 8 单位才能单位才能以以 90%以上的把握保证以上的把握保证下月不脱销下月不脱销.试求这段时间内试求这段时间内商场商场售出售出 k 台台电视机的概率电视机的概率.则则 设某段时间内来商场的顾客数服从参数设某段时间内来商场的顾客数服从参数

9、 的泊的泊松分布，松分布，解解 设设 X 表示表示售出电视机的台数售出电视机的台数，Y 表示进入商场的顾客数表示进入商场的顾客数，由全概率公式知由全概率公式知 例例10(P50.(P50.例例11)11)而在而在商场商场里的每个顾客购买电视机的概率为里的每个顾客购买电视机的概率为 p，且顾客，且顾客之间是否购买电视机是相互独立的，之间是否购买电视机是相互独立的，即即商场商场售出的电视机的台数售出的电视机的台数服从参数为服从参数为 p 的泊松分布的泊松分布.则称则称 X 服从服从参数参数为为 M,N,n 的超几何分布的超几何分布，现从这现从这 N 件中任件中任取取 n 件件(不放回不放回),设有

10、设有 N 件产品件产品,其中有其中有 M 件次品件次品,解解例例3(P(P.1515例例11)11)设设 A=恰抽到恰抽到 k 件次品件次品 求其中恰有求其中恰有 k 件次品的概率件次品的概率.次品次品正品正品 含的样本点数为含的样本点数为 ,A 的次品有的次品有 种取法，种取法，A 的正品有的正品有 种取法，种取法，故故 A 含的样本点数为含的样本点数为 ,超几何分布的概率公式超几何分布的概率公式定义定义6(P51.(P51.定义定义8)8)4.超几何分布超几何分布 设随机变量设随机变量 X 所有可能取的值为所有可能取的值为 0,1,L,且且 X 的分布列为的分布列为 其中整数其中整数 M,

11、N 0，n N-M，记作记作 X H(M,N,n).对含有两类元素的有限总体进行不放回对含有两类元素的有限总体进行不放回抽样时，确定其中某类元素个数的概率分布抽样时，确定其中某类元素个数的概率分布 P P 52.例例12 请自读请自读 0 1 无穷次伯努利实验序列无穷次伯努利实验序列 =1 已知他每发命已知他每发命中的概率是中的概率是 p，.某射手连续向一目标射击，直到命中为止，某射手连续向一目标射击，直到命中为止，解解 显然显然 X 可能取的值是可能取的值是 1,2,，于是于是 P(X=1)=P(A1)=p,为计算为计算 P(X=k)，k=1,2,，设设 Ak=第第 k 发命中发命中，k=1

12、,2,，例例10可见可见求所需射击发数求所需射击发数 X 的概率函数的概率函数.所需射击发数所需射击发数 X 的概率函数的概率函数则称则称 X 服从服从几何分布几何分布.定义定义7(P52.(P52.定义定义9)9)4.几何分布几何分布 设随机变量设随机变量 X 所有可能取的值为所有可能取的值为 1,2,且且 X 的分布列为的分布列为 中事件中事件 A首次发生时试验的次数首次发生时试验的次数 P53.例例13 请自读请自读 在这个意义在这个意义上，我们说上，我们说 对于离散型随机变量，如果知道了它的分布列，对于离散型随机变量，如果知道了它的分布列，也就知道了该随机变量取值的概率规律也就知道了该

13、随机变量取值的概率规律.离散型随机变量由它的分布列唯一确定离散型随机变量由它的分布列唯一确定.下面，我们将向大家介绍另一种类型的随机变量下面，我们将向大家介绍另一种类型的随机变量我们介绍了离散型随机变量及其概率分布我们介绍了离散型随机变量及其概率分布.只要知道了随机变量的分布函数，就可以计算与只要知道了随机变量的分布函数，就可以计算与该随机变量有关的事件的概率该随机变量有关的事件的概率.连续型随机变量的描述方法连续型随机变量的描述方法.！注意到注意到 F(-(-)=0 令令 X 为落为落入后这个质点到原点入后这个质点到原点 O 的距离，的距离，解解 显然显然 X 为随机变量，为随机变量，3 连

14、续型随机变量连续型随机变量全部可能取值有无穷多，而且充满一个全部可能取值有无穷多，而且充满一个(或若干或若干)区间而不能一一列举区间而不能一一列举 类似于前面对离散型随机变量的讨论，对于类似于前面对离散型随机变量的讨论，对于连续型随机变连续型随机变量量我们首先关心的是：我们首先关心的是：分布函数分布函数 其取值的概率规律其取值的概率规律 例例1(P(P 53 例例14)14)如何描述它取值的概率规律？如何描述它取值的概率规律？设有一质点等可能地落入区间设有一质点等可能地落入区间 0,2 内，内，求求 X 的分布函数的分布函数.且可能取值充满了区间且可能取值充满了区间 0,2，当当 x 0 时，

15、时，F(x)=P(X x)故故 X 的的分布函数为分布函数为=P()=0;当当 0 x 2 时，时，F(x)=P(X x)=x/2；当当 x 2 时，时，F(x)=P(X x)=P(X 0)+)+P(0 X 2)+)+P(2 X x)=0 +2/2+0=1.非负函数非负函数不能象离散型那样不能象离散型那样,以指定它取每个以指定它取每个值的概率的方式去给出其概率分布值的概率的方式去给出其概率分布1 .0 1 2x F .可积可积 连续函数连续函数？！P(A)=0 A=；简称为简称为概率密度概率密度或或密度密度.对于随机变量对于随机变量 X 的分布函数的分布函数 F(x),若存在非负若存在非负可积

16、函数可积函数 f(x)，使得对任意使得对任意实数实数 x，有，有 则称则称 X 为为连续型随机变量连续型随机变量，由由定义定义一、连续型随机变量及其概率密度一、连续型随机变量及其概率密度称称 f(x)为为 X 的的概率密度函数概率密度函数，定义定义1(P(P52.定义定义9)密度函数的基本特性：密度函数的基本特性：(1)f(x)0；=1-0 1；(2)P(x1 X x2)=F(x2)-F(x1)(3)(4)(5)=0 判定一个函数判定一个函数 f(x)为为某连续型随机变量的某连续型随机变量的概率密度的充要条件概率密度的充要条件独点独点概率概率非负性非负性 规范性规范性 可微性可微性 概率概率公

17、式公式 y O xy=f(x)面积为面积为1x1 x2 若若 f(x)在点在点 x 处连续，处连续，则则 P(X=x0)=0.P(aX b)=P(a X b)=P(a X b)=P(aXb)几乎不可能事件几乎不可能事件几乎必然事件几乎必然事件 P(B)=1 B=.X 取值于取值于(x,x+x 的概率的概率=其密度在此区间上的积分其密度在此区间上的积分可积可积 连续型的分布函数必连续连续型的分布函数必连续 ！所以，若已知密所以，若已知密度函数，该连续型随机变量的概率规律就得到了全面描述度函数，该连续型随机变量的概率规律就得到了全面描述.即在某点即在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度

18、密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度.注意，密度函数注意，密度函数 f(x)在某点在某点 a 处的值，并不等于处的值，并不等于 X 取值的概取值的概率率.这表明这表明 f(x)x 在在连续型随机变量理论中所起的作用与连续型随机变量理论中所起的作用与 P X=xk=pk 在离散型随机在离散型随机变量理论中所起的作用相似变量理论中所起的作用相似.它表明随机变量它表明随机变量 X 取值于区间取值于区间(x,x+x 的概率的概率近似等于近似等于 f(x)x；但这个值越大，则但这个值越大，则 X 取取 a 附近的值的概率就越大附近的值的概率就越大.如果我们把概率如果我们把概率理解为质量，理解为质

19、量，恰好是恰好是 X 落在区间落在区间(x,x+x 上的概率与区间长度上的概率与区间长度 x 之比的极限之比的极限.这表明这表明 X 的密度的密度 f(x)在在 x 这一点的值，这一点的值，若若 x 是是 f(x)的连续点，则的连续点，则 =f(x)对对 f(x)的进一步理解的进一步理解:则则 f(x)相当于相当于线密度线密度.由极限概念知由极限概念知 质量质量 连续型随机变量由它的连续型随机变量由它的密度函数密度函数所唯一确定所唯一确定.！例例2(P(P56.例例15)设随机变量设随机变量 X 的概率密度为的概率密度为(1)确定常数确定常数 A；(2)求求 X 的分布函数的分布函数 F(x)

20、;解解(1)(3)求求 P(0 X1).).由概率密度定义知由概率密度定义知 当当 x 0 时，时，当当 0 x 1)=1-P(X 1)F(1)(1)P(0 X1)=F(1)-(1)-F(0)(0)用概率密度求用概率密度求 例例3(P(P57.例例16)设随机变量设随机变量 X 的分布函数为的分布函数为(1)确定系数确定系数 A;(2)求求 P(|(|X|0为常数，为常数，记为记为 XE().2.指数分布指数分布指数分布的分布函数：指数分布的分布函数：F(x)O x1 如如电子电子产品或动物寿命的分布产品或动物寿命的分布,一般地一般地,当随机质点流在长当随机质点流在长 t 的时间内出现的质点数

21、服从参数为的时间内出现的质点数服从参数为 t 的泊松的泊松分布时分布时,其相继出现两个质点的事件间就服从参数为其相继出现两个质点的事件间就服从参数为 的指数分布的指数分布.=1 定义定义2(P(P61.1.定义定义12)若连续型随机变量若连续型随机变量 X 的概率密度为的概率密度为 f(x)O x 。寿命寿命 X 服从参数为服从参数为0.05 的指数的指数分布，分布，解解 X E(0.05),(1)P(0 X 20)例例6(P(P61.例例19)从从某项寿命试验的数据中知，某项寿命试验的数据中知，(1)求求 P(0 80|X 50);事件事件 X 80 X 50，P(X 80|X 50)即有即

22、有 -0.05 x x)x)0.1,则则 x 取值应在什么范围内？取值应在什么范围内？回忆一个重要的二重积分：回忆一个重要的二重积分：若连续型随机变量若连续型随机变量 X 的概率密度的概率密度函数为函数为 则称则称 X 服从参数为服从参数为 和和 的的正态分布正态分布，正态分布是应用最广泛的一种连续型分布正态分布是应用最广泛的一种连续型分布.十九世纪前叶十九世纪前叶,高斯加以推广得到正态高斯加以推广得到正态分布，分布，德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，这德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，这一公式被认为是一公式被认为是正态分布的首次露面正态分布的首次露面.定义定义3(P(P62.定义

23、定义13)记为记为 XN(,2).f(x)所确定的曲线叫作所确定的曲线叫作正态曲线正态曲线.其中其中-0 为常数，为常数，3.正态分布正态分布所以通常称为高斯分布所以通常称为高斯分布.由于连续型随机变量唯一地由它的密度函数所描述，我们来看由于连续型随机变量唯一地由它的密度函数所描述，我们来看看正态分布的密度函数有什么特点看正态分布的密度函数有什么特点.在各种分布中在各种分布中具首要地位具首要地位正态分布密度的性质正态分布密度的性质 (1)在在 x=处取到最大值处取到最大值故故 f(x)以以为对称轴，为对称轴，令令 x=+c,x=-c(c0),分别代入分别代入f(x),可得可得且且 f(+c)=

24、f(-c)f(+c)f(),f(-c)f()x=为为 f(x)的两个拐点的横坐标的两个拐点的横坐标.(2)正态分布的密度曲线位于正态分布的密度曲线位于 x 轴的上方轴的上方,且关于且关于 x=对称，对称，对密度函数求导：对密度函数求导：=0，(3)密度曲线密度曲线 y=f(x)有拐点有拐点即曲线即曲线 y=f(x)向左右伸展时向左右伸展时,越来越贴近越来越贴近 x 轴轴.当当 x 时，时，f(x)0+,决定了图形中峰的陡峭程度决定了图形中峰的陡峭程度若固定若固定 ，改变，改变 的值，的值，反之亦然，反之亦然，则密度曲线左右整体平移则密度曲线左右整体平移.(4)f(x)以以 x 轴为水平渐近线轴

25、为水平渐近线;正态分布正态分布 N(,2)的密度函数图形的特点的密度函数图形的特点:两头低两头低,中间高中间高,左右对称的左右对称的 “峰峰”状状 若固定若固定 ，改变，改变 的值，的值，决定了图形的中心位置决定了图形的中心位置 决定图形的中心位置决定图形的中心位置;但每个因素但每个因素所起的作用不大所起的作用不大.经济学中的股票价格、产品的销量经济学中的股票价格、产品的销量等等，都服从等等，都服从或近似服从正态分布或近似服从正态分布.正常条件下各种产品的正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度；质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度；射击目标的水平或垂直偏差，测量误差，射击目标的水

26、平或垂直偏差，测量误差，从直方图，我们可以初步从直方图，我们可以初步看出看出,年降雨量近似服从正态分布年降雨量近似服从正态分布.用上海用上海99年降雨量的数据画出了频年降雨量的数据画出了频率直方图率直方图.下面是我们用某大学男大学生的身下面是我们用某大学男大学生的身高的数据画出的频率直方图高的数据画出的频率直方图.可见可见,男大学生的身高应服从正态分布男大学生的身高应服从正态分布.除了上面提到的年降雨量和除了上面提到的年降雨量和某地区成年男某地区成年男子的身高、体重子的身高、体重外外,农作物的产量，小麦的穗长、株高；农作物的产量，小麦的穗长、株高；在自然现象和社会现象中大量的随机变量在自然现象

27、和社会现象中大量的随机变量都服从或者近似服从正态分布都服从或者近似服从正态分布.生物学中同一群体的形态指标，生物学中同一群体的形态指标，电子元器件的信号噪声、电压、电流；电子元器件的信号噪声、电压、电流；拟合的正态拟合的正态密度曲线密度曲线有很多分布还可以用正态分布近似有很多分布还可以用正态分布近似.而正态分布自身还有很多良好的性质而正态分布自身还有很多良好的性质.若影响某一数量指标的随机因素很多，若影响某一数量指标的随机因素很多，每一因素独立，每一因素独立，服从正态分布服从正态分布若随机变量若随机变量 X N(,2)，则则 正态分布的分布函数正态分布的分布函数X 的分布函数的分布函数 下面我

28、们介绍一种最重要的正态分布下面我们介绍一种最重要的正态分布 标准正态分布标准正态分布 =0,=1 的正态分布称为的正态分布称为标准正态分布标准正态分布.其密度函数和分布函数常用其密度函数和分布函数常用 (x)和和 (x)表示：表示：可查表可查表得其值得其值 标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布可以通过线性变换转化为标准正态分布.求求 P(X 2.5)及及Y N(0,1)设设 XN(,2)，P(-(-1.64 X 2.5)=1-(2.5)P(X 0.5)=F(0.5)查表得查表得=0.6915;=1

29、-0.9938=0.0062;P(-(-1.64 X 0.82)=(0.82)-(-(-1.64)=(0.82)-1)-1-(1.64)=0.7434;=即若即若 X N(,2)=只需将只需将标准正态分布标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决的分布函数制成表，就可以解决正态分正态分布布的概率计算问题的概率计算问题.例例7(P(P64.例例20)设设 XN(0(0 ,1)，离散型离散型连续型连续型 分布列分布列密度函数密度函数 至此，我们已介绍了两类重要的随机变量至此，我们已介绍了两类重要的随机变量:分布函数分布函数F(X)=P(X x)其图形是右连续的阶梯曲线其图形是右连续的阶梯曲线 其图形是连续曲线其图形是连续曲线 f(x)常见的分布常见的分布均匀分布均匀分布指数分布指数分布正态分布正态分布离散型离散型连续型连续型两点分布两点分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布超几何分布超几何分布几何分布几何分布 细想身旁很多烦恼的事正是过细想身旁很多烦恼的事正是过去缺乏远虑的结果去缺乏远虑的结果.人无远虑人无远虑 必有近忧必有近忧 论语论语 卫灵公卫灵公凡事预则立凡事预则立，不预则废不预则废。礼记礼记 中庸中庸生于忧患生于忧患，死于安乐死于安乐。孟子孟子 告子下告子下人有不为也人有不为也，而后可以有为而后可以有为。孟子孟子 离娄下离娄下令人回味无穷令人回味无穷.