联立方程式.ppt

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1、張保隆著現代管理數學1 1矩矩陣陣1-1 聯立方程式聯立方程式1-2 矩陣的定義矩陣的定義1-3 矩陣的運算矩陣的運算1-4 基本列運算基本列運算1-5 反矩陣反矩陣1-6 行列式行列式現代管理數學Chapter 1矩陣1-31-1 聯立方程式變變數數與與變變數數間間存存在在著著某某種種關關係係，而而這這種種關關係係往往往往可可用用方程式來表示。例如方程式來表示。例如 y=3x4 2x+5 -xy=4 -3x 2y=8 -等等。上述的第等等。上述的第式，稱為式，稱為線性方程式線性方程式(linear equation)。然而在大專院校，變數不止。然而在大專院校，變數不止2個，可以為個，可以為n

2、個，因此我個，因此我們以們以 x1,x2,xn 表示變數。變數。現代管理數學Chapter 1矩陣1-4何謂線性方程式何謂線性方程式？既既所所謂謂的的直直線線方方程程式式，在在方方程程式式中中未未知知變變數數不不能能有有二次方以上或者兩個未知變數以上相乘。如二次方以上或者兩個未知變數以上相乘。如 y=3x4 2x+5 -，x 為為4次方次方 xy=4 -，x 和和 y相乘相乘 都都不不是是線線性性方方程程式式。在在方方程程式式中中的的每每一一項項只只能能是是單單變變數且為一次方，其一般式為數且為一次方，其一般式為 f(x)=a1x1+a2x2+anxn 式中式中 ai 為已知數為已知數，xi

3、為未知變數為未知變數，i=1,2,n.現代管理數學Chapter 1矩陣1-5m個線性方個線性方程式程式、n個變數個變數 x1,x2,xn 所構成的系統所構成的系統 a11x1+a12x2+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+a2nxn=b2 am1x1+am2x2+amnxn=bm 式中式中 aij,bi 為已知數為已知數，xj 為未知變數為未知變數，j=1,2,n.稱為稱為線性系統線性系統(linear system)或聯立線性方程式。若或聯立線性方程式。若 x1=s1,x2=s2,xn=sn 能滿足聯立方程式能滿足聯立方程式(1-1)時，我時，我們稱們稱(s1,s2,sn)為聯立方

4、程式為聯立方程式(1-1)的解。的解。(1-1)現代管理數學Chapter 1矩陣1-6聯聯立立方方程程式式可可能能有有解解(唯唯一一解解或或多多重重解解)，也也有有可可能能無無解解。如如何何求求得得聯聯立立方方程程式式的的解解？最最常常用用的的方方法法就就是是所所謂謂的的”消消去去法法”(method of elimination)，它它是是利利用用某某一一方方程程式式乘乘上上適適當當的的實實數數後後再再加加到到另另一一個個方方程程式式上上，以以便便消消去去某些變數。某些變數。練習以下例題練習以下例題現代管理數學Chapter 1矩陣1-7例題1-1 解聯立方程式解聯立方程式 x1-x2+x

5、3=4 -3x1+2x2+x3=2-4x1+2x2+2x3=8-解：將第解：將第式式乘上乘上(-3)再加到第再加到第式式 (-3)：-3x1+3x2-3x3=-12 +)3x1+2x2+x3=2 5x2 -2x3=-10-現代管理數學Chapter 1矩陣1-8 將第將第式式乘上乘上(-4)再加到第再加到第式式 (-3)：-4x1+4x2-4x3=-16 +)4x1+2x2+2x3=8 6x2 -2x3=-8-再將再將 -：6x2 -2x3=-8 -)5x2 -2x3=-10 x2 =2 代入代入 6 2-2x3=-8 得得 x3=10 x2=2,x3=10 代入代入 式式 x1-x2+x3=

6、4 得得 x1=-4 則則 x1=-4,x2=2,x3=10 為此聯立方程式唯一解。為此聯立方程式唯一解。現代管理數學Chapter 1矩陣1-9例題1-2 解聯立方程式解聯立方程式 x1+2x2-3x3=-4 -2x1+x2-3x3=4 -解：將第解：將第式式乘上乘上(-2)再加到第再加到第式式 (-2)：-2x1-4x2+6x3=8 +)2x1+x2-3x3=4 -3x2+3x3=12 化簡得化簡得 x2=x3 4 代入代入式，可得式，可得 x1+2x2-3x3=-4 x1+2(x3 4)-3x3=-4現代管理數學Chapter 1矩陣1-10 x1+2(x3 4)-3x3=-4 x1+2

7、x3 8-3x3=-4 x1 x3 8=-4 x1=x3+4 故聯立方程式的解可寫成以下的型式故聯立方程式的解可寫成以下的型式 令令 x3=s x1=s+4 x2=s 4 當當 s=1 時，時，x1=5，x2=-3，x3=1；當當 s=2 時，時，x1=6，x2=-2，x3=2，換言之，此聯立方程式有無限多組解。換言之，此聯立方程式有無限多組解。現代管理數學Chapter 1矩陣1-11例題1-3 解聯立方程式解聯立方程式 x1+x2+3x3=12 -2x1+2x2+6x3=6 -解：將第解：將第式式乘上乘上(-2)再加到第再加到第式式 (-2)：-2x1-2x2-6x3=-24 +)2x1+2x2+6x3=6 0=-18 此為矛盾方程式，故知此聯立方程式無解。此為矛盾方程式，故知此聯立方程式無解。