2014世纪金榜第七章 第七节.ppt

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1、第七节 空间几何体及其表面积和体积1.1.空间几何体空间几何体(1)(1)多面体多面体定定 义义 性性 质质 棱柱棱柱 由一个由一个_沿沿某一方向某一方向_形成的形成的空间几何体空间几何体 两个底面是两个底面是_，且对应边互相，且对应边互相_侧面都是侧面都是_ _ 棱锥棱锥 棱柱的一个底面棱柱的一个底面_时，得到的时，得到的几何体几何体 底面是底面是_侧面是侧面是_平面多边形平面多边形平移平移全等的多全等的多边形边形平行平行平行四边形平行四边形收缩收缩为一个点为一个点多边形多边形有一个公共顶点有一个公共顶点的三角形的三角形定定 义义 性性 质质 棱台棱台 棱锥被棱锥被_的的一个平面所截后，一个

2、平面所截后，_和和_之间的部分之间的部分 上下底面上下底面_侧棱延长后侧棱延长后_平行于底面平行于底面截截面面底面底面相似相似交于一点交于一点(2)(2)旋转体旋转体旋转面：一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所旋转面：一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面形成的曲面.旋转体：封闭的旋转面围成的几何体旋转体：封闭的旋转面围成的几何体.圆柱、圆锥、圆台和球圆柱、圆锥、圆台和球图图 形形 平平 面面 图图 形形 轴轴 圆柱圆柱 矩形矩形 矩形的一边所在的矩形的一边所在的直线直线 图图 形形 平平 面面 图图 形形 轴轴 圆锥圆锥 _ _所在的所在的直线直线 圆台圆台 _所在的

3、直线所在的直线 球球 _ _所在的直线所在的直线 直角三角形直角三角形一直角边一直角边直角梯形直角梯形垂直于底边的腰垂直于底边的腰半圆半圆直径直径2.2.空间几何体的表面积、体积空间几何体的表面积、体积(1)(1)表面积公式表面积公式S S直棱柱侧直棱柱侧ch,Sch,S正棱锥侧正棱锥侧 ch,Sch,S正棱台侧正棱台侧_；S S圆柱侧圆柱侧2r2rl,S,S圆锥侧圆锥侧_,S_,S圆台侧圆台侧(r+r)(r+r)l；S S球球4R4R2 2.(2)(2)体积公式体积公式V V柱体柱体Sh,VSh,V锥体锥体 Sh,VSh,V台体台体_；V V球球 RR3 3.rrl判断下面结论是否正确判断下

4、面结论是否正确(请在括号中打请在括号中打“”或或“”).).(1)(1)有两个面平行有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.(.()(2)(2)有一个面是多边形有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥其余各面都是三角形的几何体是棱锥.(.()(3)(3)一个棱柱至少有一个棱柱至少有5 5个面个面,面数最少的一个棱锥有面数最少的一个棱锥有4 4个顶点个顶点,顶顶点最少的一个棱台有点最少的一个棱台有3 3条侧棱条侧棱.().()(4)(4)球的体积之比等于半径比的平方球的体积之比等于半径比的平方.().()(5)(5)台体的体积可以转化为两

5、个锥体的体积之差台体的体积可以转化为两个锥体的体积之差.().()(6)(6)若圆锥的轴截面是正三角形，则它的侧面积是底面积的若圆锥的轴截面是正三角形，则它的侧面积是底面积的2 2倍倍.().()【解析解析】(1)(1)错误错误.尽管几何体满足了两个面平行且其他各面尽管几何体满足了两个面平行且其他各面都是平行四边形都是平行四边形,但不能保证每相邻两个侧面的公共边互相平但不能保证每相邻两个侧面的公共边互相平行行.如图如图 ,该几何体并不是棱柱该几何体并不是棱柱.(2)(2)错误错误.尽管几何体满足了一个面是多边形尽管几何体满足了一个面是多边形,其余各面都是三其余各面都是三角形角形,但不能保证三角

6、形具有公共顶点但不能保证三角形具有公共顶点.(3)(3)正确正确.面数最少的棱柱为三棱柱面数最少的棱柱为三棱柱,有有5 5个面个面;面数最少的棱锥面数最少的棱锥为三棱锥为三棱锥,有有4 4个顶点个顶点;顶点最少的棱台为三棱台顶点最少的棱台为三棱台,有有3 3条侧棱条侧棱.(4)(4)错误错误.因为球的体积因为球的体积V=V=，故球的体积之比等于半径比，故球的体积之比等于半径比的立方的立方.(5)(5)正确正确.由于台体是由平行于锥体的底面的平面截锥体所得的由于台体是由平行于锥体的底面的平面截锥体所得的在截面与底面之间的几何体，故其体积可转化为两个锥体的体在截面与底面之间的几何体，故其体积可转化

7、为两个锥体的体积之差积之差.(6)(6)正确正确.不妨设圆锥的底面圆半径为不妨设圆锥的底面圆半径为r,r,则母线长为则母线长为2r,2r,SS侧侧=S=S底底=r=r2 2，即，即S S侧侧=2S=2S底底.答案：答案：(1)(1)(2)(2)(3)(4)(3)(4)(5)(6)(5)(6)1.1.下列结论中正确的是下列结论中正确的是_.(_.(填序号填序号)各个面都是三角形的几何体是三棱锥；各个面都是三角形的几何体是三棱锥；以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥；曲面所围成的几何体叫圆锥；棱锥的侧棱长与

8、底面正多边形的边长相等，则该棱锥可能是棱锥的侧棱长与底面正多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥；六棱锥；圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线.【解析解析】当一个几何体由具有相同的底面且顶点在底面两侧的当一个几何体由具有相同的底面且顶点在底面两侧的两个三棱锥构成时，尽管各面都是三角形，但它不是三棱锥，两个三棱锥构成时，尽管各面都是三角形，但它不是三棱锥，故故错误；若三角形不是直角三角形或是直角三角形但旋转轴错误；若三角形不是直角三角形或是直角三角形但旋转轴不是直角边所在直线，所得几何体就不是圆锥，故不是直角边所在直线，所得几何体就不是圆锥，故

9、错误；以错误；以正六边形为底面，则棱长必然要大于底面边长，故正六边形为底面，则棱长必然要大于底面边长，故错误，错误，正确正确.答案：答案：2.2.用任意一个平面截一个几何体用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆面各个截面都是圆面,则这个几则这个几何体一定是何体一定是_._.【解析解析】由几何体的结构特征可知由几何体的结构特征可知,该几何体一定是球体该几何体一定是球体.答案：答案：球体球体3.3.正六棱柱的高为正六棱柱的高为6 6，底面边长为，底面边长为4 4，则它的表面积为，则它的表面积为_._.【解析解析】正六棱柱的表面积为正六棱柱的表面积为6 64 46+6+4 44sin 604si

10、n 6012=144+48 =48(3+).12=144+48 =48(3+).答案：答案：48(3+)48(3+)4.4.圆柱的底面积为圆柱的底面积为S S，侧面展开图是一个正方形，那么圆柱的，侧面展开图是一个正方形，那么圆柱的侧面积是侧面积是_._.【解析解析】设圆柱的底面圆的半径为设圆柱的底面圆的半径为r,r,则则S=rS=r2 2，即即r=.r=.又又侧面展开图是一个正方形，侧面展开图是一个正方形，圆柱的母线长为圆柱的母线长为2 2 ，圆柱的侧面积为圆柱的侧面积为2 2 2 =4S.2 =4S.答案：答案：4S4S5.5.直角三角形两直角边直角三角形两直角边AB=3AB=3，AC=4A

11、C=4，以，以ABAB为轴旋转一周所得的为轴旋转一周所得的几何体的体积为几何体的体积为_._.【解析解析】由题意知，该几何体是底面半径为由题意知，该几何体是底面半径为4 4，高为，高为3 3的圆锥，的圆锥，故其体积故其体积V=V=4 42 23=16.3=16.答案：答案：1616考向考向 1 1 几何体的折叠与展开几何体的折叠与展开【典例典例1 1】(1)(1)如图，在三棱柱如图，在三棱柱ABC-ABCABC-ABC中，中，ABCABC为等边三角形，为等边三角形，AAAA平面平面ABCABC，AB=3,AA=4AB=3,AA=4，M M为为AAAA的中点，的中点，P P是是BCBC上一点，上

12、一点，且由且由P P沿棱柱侧面经过棱沿棱柱侧面经过棱CCCC到到M M的最短路线长的最短路线长为为 ，设这条路线与，设这条路线与CCCC的交点为的交点为N N，则，则PC=_PC=_，NC=_.NC=_.(2)(2)如图为一几何体的展开图，其中四边形如图为一几何体的展开图，其中四边形ABCDABCD是边长为是边长为6 6的正的正方形，方形，SD=PD=6SD=PD=6，CR=SCCR=SC，AQ=APAQ=AP，点，点S S，D D，A A，Q Q及点及点P P，D D，C C，R R分别共线，沿图中虚线将它们折叠起来，使分别共线，沿图中虚线将它们折叠起来，使P P，Q Q，R R，S S四点

13、四点重合，则需要重合，则需要_个这样的几何体，可以拼成一个棱长为个这样的几何体，可以拼成一个棱长为6 6的的正方体正方体.【思路点拨思路点拨】(1)(1)可将该三棱柱的侧面沿棱可将该三棱柱的侧面沿棱BBBB展开，然后利展开，然后利用平面几何的知识解决用平面几何的知识解决.(2).(2)将平面图形折叠后得到一个四棱锥，将平面图形折叠后得到一个四棱锥，然后利用体积相等求解然后利用体积相等求解.【规范解答规范解答】(1)(1)将该三棱柱的侧面沿棱将该三棱柱的侧面沿棱BBBB展开，如图所示：展开，如图所示：设设PC=x,PC=x,则则MPMP2 2=MA=MA2 2+(AC+x)+(AC+x)2 2.

14、MP=MP=，MA=2MA=2，AC=3AC=3，x=2,x=2,即即PC=2.PC=2.又又NCAMNCAM，即即答案：答案：2 2(2)(2)由题意知，将该展开图沿虚线折叠起来由题意知，将该展开图沿虚线折叠起来以后，得到一个四棱锥以后，得到一个四棱锥P-ABCDP-ABCD，其中，其中PDPD平面平面ABCDABCD，因此该四棱锥的体积，因此该四棱锥的体积V=V=6 66 66=726=72，而棱长为，而棱长为6 6的正方体的体积的正方体的体积V=6V=66 66=2166=216，故需，故需要要 =3=3个这样的几何体，才能拼成一个棱长为个这样的几何体，才能拼成一个棱长为6 6的正方体的

15、正方体.答案：答案：3 3【互动探究互动探究】保持本例保持本例(1)(1)条件不变，则一只蚂蚁从条件不变，则一只蚂蚁从B B点出发点出发沿三棱柱的三个侧面绕一周，到达沿三棱柱的三个侧面绕一周，到达BB点的最短路线的长为点的最短路线的长为_._.【解析解析】由题意可知，其最短路线为侧面展开图的对角线，由题意可知，其最短路线为侧面展开图的对角线，故其最短路线的长为故其最短路线的长为答案：答案：【拓展提升拓展提升】1.1.求几何体表面上两点间的最短距离的常用方法求几何体表面上两点间的最短距离的常用方法选择恰当的母线或棱将几何体展开，转化为求平面上两点间的选择恰当的母线或棱将几何体展开，转化为求平面上

16、两点间的最短距离最短距离.2.2.解决折叠问题的技巧解决折叠问题的技巧(1)(1)解决折叠问题时，要分清折叠前后两图形中解决折叠问题时，要分清折叠前后两图形中(折叠前的平面折叠前的平面图形和折叠后的空间图形图形和折叠后的空间图形)元素间的位置关系和数量关系哪些元素间的位置关系和数量关系哪些发生了变化，哪些没有发生变化发生了变化，哪些没有发生变化.(2)(2)折叠问题中的前后两个图形，在折线同侧的元素的位置关折叠问题中的前后两个图形，在折线同侧的元素的位置关系和数量关系不发生变化；在折线异侧的元素的位置关系和数系和数量关系不发生变化；在折线异侧的元素的位置关系和数量关系发生变化量关系发生变化.【

17、变式备选变式备选】(1)(1)在三棱锥在三棱锥P-ABCP-ABC中，中，PA=PB=PC=2PA=PB=PC=2，APB=BPC=CPAAPB=BPC=CPA=30=30，一只蚂蚁从，一只蚂蚁从A A点出发沿三棱锥的侧面绕一周，再回到点出发沿三棱锥的侧面绕一周，再回到A A点，则蚂蚁经过的最短路程是点，则蚂蚁经过的最短路程是_._.【解析解析】把三棱锥把三棱锥P-ABCP-ABC展开，如图：展开，如图：由题意知由题意知PA=PA=PAPA=2=2，APA=90APA=90.AA=AA=即蚂蚁经过的最短路程为即蚂蚁经过的最短路程为答案：答案：(2)(2)如图，已知一个多面体的平面展开图由一个边

18、长为如图，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1 1的正方的正方形和形和4 4个边长为个边长为1 1的正三角形组成，则该多面体的体积是的正三角形组成，则该多面体的体积是_._.【解析解析】由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1 1，侧棱，侧棱长为长为1 1，斜高为，斜高为 ，连结顶点和底面中心即为高，可得高，连结顶点和底面中心即为高，可得高为为 ，所以体积为，所以体积为答案：答案：考向考向 2 2 空间几何体的表面积空间几何体的表面积【典例典例2 2】(1)(1)如图如图,三棱锥三棱锥P-ABCP-ABC中，平面中，平面PACPAC平面平面ABCABC，P

19、C=5PC=5，BC=4BC=4，AB=AB=，过顶点，过顶点P P向底面作向底面作PHAC,PHAC,垂足为垂足为H H，AH=2AH=2，HC=3HC=3，PH=4PH=4，则三棱锥，则三棱锥P-ABCP-ABC的表面积为的表面积为_._.(2)(2013(2)(2013无锡模拟无锡模拟)如图所示的几何体如图所示的几何体是由一个长、宽、高分别为是由一个长、宽、高分别为4 4，3 3，1 1的长的长方体挖去一个圆柱得到的，其中圆柱的底面圆直径为方体挖去一个圆柱得到的，其中圆柱的底面圆直径为2 2，高为，高为1 1，则该几何体的表面积为，则该几何体的表面积为_._.【思路点拨思路点拨】(1)(

20、1)判断三个侧面三角形和一个底面三角形的形判断三个侧面三角形和一个底面三角形的形状，分别求面积相加状，分别求面积相加.(2)(2)分别求长方体的表面积和圆柱的侧面积，相加后注意减去分别求长方体的表面积和圆柱的侧面积，相加后注意减去圆柱的两个底面积圆柱的两个底面积.【规范解答规范解答】(1)(1)因为因为AC=AH+HC=5AC=AH+HC=5，BC=4BC=4，AB=AB=，所以，所以ACBCACBC，所以，所以S SABCABC=4 45=105=10，S SPACPAC=5 54=10.4=10.因为因为PHACPHAC，平面，平面PACPAC平面平面ABCABC，所以，所以PHPH平面平

21、面ABCABC，所以，所以PHBC.PHBC.又因为又因为BCACBCAC，PHAC=HPHAC=H，所以，所以BCBC平面平面PACPAC，所以，所以BCPCBCPC，所以所以S SPBCPBC=4 45=10.5=10.易求易求PA=PA=，PB=AB=PB=AB=，取，取PAPA的的中点中点E E，连结，连结BEBE，则可得，则可得BE=6BE=6，所以，所以S SPABPAB=6=6=因此三棱锥因此三棱锥P-ABCP-ABC的表面积为的表面积为答案：答案：(2)(2)长方体的长、宽、高分别为长方体的长、宽、高分别为4 4，3 3，1 1，表面积为，表面积为4 43 32+32+31 1

22、2+42+41 12=38.2=38.圆柱的底面圆直径为圆柱的底面圆直径为2 2，高为，高为1 1，侧面积为，侧面积为221 11=21=2，圆，圆柱的两个底面积和为柱的两个底面积和为2 21 12 2=2=2，故该几何体的表面积为故该几何体的表面积为38+2-2=38.38+2-2=38.答案：答案：3838【拓展提升拓展提升】1.1.多面体的表面积的求解关键多面体的表面积的求解关键求解有关多面体表面积的问题，关键是找到其特征几何图形，求解有关多面体表面积的问题，关键是找到其特征几何图形，如棱柱中的矩形，棱台中的直角梯形，棱锥中的直角三角形，如棱柱中的矩形，棱台中的直角梯形，棱锥中的直角三角

23、形，它们是联系高与斜高、边长等几何元素的桥梁，从而架起侧面它们是联系高与斜高、边长等几何元素的桥梁，从而架起侧面积公式中的未知量与条件中已知几何元素的联系积公式中的未知量与条件中已知几何元素的联系.2.2.旋转体的表面积的求法旋转体的表面积的求法圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将曲面展圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.【提醒提醒】解题中要注意表面积与侧面积的区别，对于组合体的解题中要注意表面积与侧面积的区别，对于组合体的表面积还应注意重合部分的处理表面积还应注

24、意重合部分的处理.【变式训练变式训练】如图所示，直四棱柱如图所示，直四棱柱ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的高为的高为4 4，底面底面ABCDABCD是等腰梯形，且是等腰梯形，且BCADBCAD，AB=AB=，BC=2BC=2，AD=4.AD=4.则则此直四棱锥的表面积为此直四棱锥的表面积为_._.【解析解析】由题意知由题意知AB=AB=，AD=4AD=4，BC=2BC=2，从而得梯形高为，从而得梯形高为4 4，四棱柱的侧面积为，四棱柱的侧面积为(2+4+2 )(2+4+2 )4=24+8 4=24+8 ，两底面面积，两底面面积为为 故此直四棱柱的表面积为故此

25、直四棱柱的表面积为48+8 .48+8 .答案：答案：48+8 48+8 考向考向 3 3 空间几何体的体积空间几何体的体积【典例典例3 3】(1)(2012(1)(2012上海高考上海高考)若一个圆锥的侧面展开图是面若一个圆锥的侧面展开图是面积为积为22的半圆面，则该圆锥的体积为的半圆面，则该圆锥的体积为_._.(2)(2012(2)(2012江苏高考江苏高考)如图，在长方体如图，在长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，AB=AD=3 cmAB=AD=3 cm，AAAA1 1=2 cm,=2 cm,则四棱锥则四棱锥A-BBA-BB1 1D D1 1D

26、 D的体积为的体积为_cm_cm3 3.【思路点拨思路点拨】(1)(1)列出关于圆锥母线和底面半径的方程，解方列出关于圆锥母线和底面半径的方程，解方程，再计算圆锥的高和体积程，再计算圆锥的高和体积.(2)(2)先根据四边形先根据四边形ABCDABCD为正方形，得到为正方形，得到ACBDACBD，再由面面垂直，再由面面垂直的性质证明的性质证明ACAC平面平面BBBB1 1D D1 1D D，得到锥体的高，最后求体积，得到锥体的高，最后求体积.【规范解答规范解答】(1)(1)如图，由题意可设圆锥的母线长为如图，由题意可设圆锥的母线长为l，圆锥，圆锥的底面半径长为的底面半径长为r r，则，则 =2=

27、2，得，得l=2=2，2r=2r=得得r=1r=1，从而圆锥的高，从而圆锥的高由圆锥的体积公式得由圆锥的体积公式得答案：答案：(2)(2)连结连结ACAC交交BDBD于于O O，在长方体中，在长方体中，AB=AD=3 cmAB=AD=3 cm，BD=3 cm,BD=3 cm,且且ACBD.ACBD.又又BBBB1 1平面平面ABCDABCD，BBBB1 1AC.AC.又又DBBBDBBB1 1=B,=B,ACAC平面平面BBBB1 1D D1 1D,D,AOAO为四棱锥为四棱锥A-BBA-BB1 1D D1 1D D的高，且的高，且AO=BD=cm.AO=BD=cm.答案：答案：6 6【拓展提

28、升拓展提升】1.1.求几何体体积的思路求几何体体积的思路(1)(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解体，则可直接利用公式进行求解.(2)(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解转换法、分割法、补形法等方法进行求解.(3)(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解何体的直观图，然后根据条件求解.2.2.柱体、

29、锥体、台体的体积公式之间的关系柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系【变式训练变式训练】(2013(2013南京模拟南京模拟)如图，在正三棱柱如图，在正三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中，中，D D为棱为棱AAAA1 1的中点，若截面的中点，若截面BCBC1 1D D是面积为是面积为6 6的直角三角形，的直角三角形，则此三棱柱的体积为则此三棱柱的体积为_._.【解析解析】设正三棱柱的底面边长为设正三棱柱的底面边长为a a，高为，高为2h2h，则，则BDBDC C1 1D D ，BCBC1 1 ，由，由BCBC1 1D D是面积为是面积为6 6 的直角三角的直角三角形，形，

30、得得 解得解得 故此三棱柱的体积为故此三棱柱的体积为V V 8 8sin 60sin 604 4答案：答案：【易错误区易错误区】求球的组合体体积时的易错点求球的组合体体积时的易错点【典例典例】(2012(2012新课标全国卷改编新课标全国卷改编)已知三棱锥已知三棱锥S-ABCS-ABC的所有的所有顶点都在球顶点都在球O O的球面上，的球面上，ABCABC是边长为是边长为1 1的正三角形，的正三角形，SCSC为球为球O O的直径，且的直径，且SC=2SC=2，则此棱锥的体积为，则此棱锥的体积为_._.【误区警示误区警示】本题易出现的错误主要是不能根据本题易出现的错误主要是不能根据SCSC为球为球

31、O O的直的直径将三棱锥的体积进行合理转化，从而无法求解或求解错误径将三棱锥的体积进行合理转化，从而无法求解或求解错误.【规范解答规范解答】由于三棱锥由于三棱锥S-ABCS-ABC与三棱锥与三棱锥O-ABCO-ABC的底面都是的底面都是ABCABC，O O是是SCSC的中点，因此三棱锥的中点，因此三棱锥S-ABCS-ABC的高是三棱锥的高是三棱锥O-ABCO-ABC高的高的2 2倍，倍，所以三棱锥所以三棱锥S-ABCS-ABC的体积也是三棱锥的体积也是三棱锥O-ABCO-ABC体积的体积的2 2倍倍.在三棱锥在三棱锥O-ABCO-ABC中，其棱长都是中，其棱长都是1 1，如图所示：，如图所示：

32、高高答案：答案：【思考点评思考点评】1.1.与球有关的组合体问题的求解与球有关的组合体问题的求解解决与球有关的组合体问题，可通过解决与球有关的组合体问题，可通过画过球心的截面来分析画过球心的截面来分析.例如，底面例如，底面半径为半径为r r，高为，高为h h的圆锥内部有一球的圆锥内部有一球O O，且球与圆锥的底面和侧面均相切，过且球与圆锥的底面和侧面均相切，过球心球心O O作球的截面，如图所示，则球作球的截面，如图所示，则球心是等腰心是等腰ABCABC的内切圆的圆心，的内切圆的圆心，ABAB和和ACAC均是圆锥的母线，均是圆锥的母线，BCBC是圆锥底面的直径，是圆锥底面的直径，D D是圆锥底面

33、的是圆锥底面的圆心圆心.用同样的方法可得以下结论：用同样的方法可得以下结论：(1)(1)长方体的长方体的8 8个顶点在同一个球面上，则长方体的体对角线是个顶点在同一个球面上，则长方体的体对角线是球的直径；球的直径；球与正方体的六个面均相切，则球的直径等于正方体的棱长；球与正方体的六个面均相切，则球的直径等于正方体的棱长；球与正方体的球与正方体的1212条棱均相切，则球的直径是正方体的面对角线条棱均相切，则球的直径是正方体的面对角线.(2)(2)球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径也等于圆柱底面圆的直径.(

34、3)(3)球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高.2.2.空间几何体的切割问题空间几何体的切割问题在求解一些不规则的几何体的体积以及两个几何体的体积之比在求解一些不规则的几何体的体积以及两个几何体的体积之比时，常常需要用到分割法时，常常需要用到分割法.在求一个几何体被分成两部分的体在求一个几何体被分成两部分的体积之比时，若有一部分为不规则几何体，则可用整个几何体的积之比时，若有一部分为不规则几何体，则可用整个几何体的体积减去规则几何体的体积求出其体积体积减去规则几何体的体积求出其体积.1.(20121.(2012山东高考山东高考)如

35、图，正方体如图，正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为1 1，E E为线段为线段B B1 1C C上的一点，则三棱锥上的一点，则三棱锥A-DEDA-DED1 1的体积为的体积为_._.【解析解析】答案：答案：2.(20132.(2013泰州模拟泰州模拟)若直三棱柱若直三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1的六个顶点在半径的六个顶点在半径为为R R的同一球面上，且的同一球面上，且AC=CB=1AC=CB=1，AAAA1 1=，AB=AB=，则该球的，则该球的表面积为表面积为_._.【解析解析】直三棱柱直三棱柱ABC-AABC-A

36、1 1B B1 1C C1 1的各顶点都在同一球面上，的各顶点都在同一球面上，AC=CB=1AC=CB=1，AB=AB=，ACB=90ACB=90，将直三棱柱补成长方体，长方体的体对角线长即为球的直径将直三棱柱补成长方体，长方体的体对角线长即为球的直径.长方体的体对角线长的平方为：长方体的体对角线长的平方为：所以球的表面积为：所以球的表面积为：答案：答案：3.(20123.(2012广东高考改编广东高考改编)某几何体是由圆锥和半球组合而成的，某几何体是由圆锥和半球组合而成的，如图所示，圆锥的底面半径为如图所示，圆锥的底面半径为3 3，高为，高为4 4，半球的半径为，半球的半径为3,3,则该则该

37、几何体的体积为几何体的体积为_._.【解析解析】答案：答案：30304.(20134.(2013淮安模拟淮安模拟)已知长方体的长、宽、高分别为已知长方体的长、宽、高分别为5 5，4 4，3 3，若用一个平面将此长方体截成两个三棱柱，则这两个三棱柱，若用一个平面将此长方体截成两个三棱柱，则这两个三棱柱表面积之和的最大值为表面积之和的最大值为_._.【解析解析】有以下三种截法：有以下三种截法：可知方案可知方案(3)(3)两个三棱柱表面积之和最大，其值为两个三棱柱表面积之和最大，其值为5 54 42+52+53 32+32+34 42+22+25 55=144.5=144.答案：答案：1441445

38、.(20135.(2013南京模拟南京模拟)如图，在棱长为如图，在棱长为1 1的正方体的正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，P P为线段为线段ADAD1 1上的点，且满足上的点，且满足 (0).(0).(1)(1)当当=1=1时，求证：平面时，求证：平面ABCABC1 1D D1 1平面平面PDB.PDB.(2)(2)试证无论试证无论为何值，三棱锥为何值，三棱锥D-PBCD-PBC1 1的体积恒为定值的体积恒为定值.【证明证明】(1)(1)在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，ABAB平面平面AAA

39、A1 1D D1 1D D，又又ABAB ABCABC1 1D D1 1，平面平面ABCABC1 1D D1 1平面平面AAAA1 1D D1 1D.D.=1=1时，时，P P为为ADAD1 1的中点，的中点，DPADDPAD1 1，又又平面平面ABCABC1 1D D1 1平面平面AAAA1 1D D1 1D=ADD=AD1 1，DPDP平面平面ABCABC1 1D D1 1.又又DPDP 平面平面PDBPDB，平面平面ABCABC1 1D D1 1平面平面PDB.PDB.(2)AD(2)AD1 1BCBC1 1,P,P为线段为线段ADAD1 1上的点，上的点，三角形三角形PBCPBC1 1

40、的面积为定值，的面积为定值，即即又又CDCD平面平面ABCABC1 1D D1 1，点点D D到平面到平面PBCPBC1 1的距离为定值，即的距离为定值，即三棱锥三棱锥D-PBCD-PBC1 1的体积与的体积与的值无关，为定值，即的值无关，为定值，即1.1.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱全面积与一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱全面积与侧面积的比为侧面积的比为_._.【解析解析】设圆柱的底面半径为设圆柱的底面半径为r r，则由题意知其高，则由题意知其高h=2rh=2r，于，于是是S S侧侧=2r=2rh=2rh=2r2r=42r=42 2r r2 2，答案：答案：2.2.如图，直三棱柱如图，直三棱柱ABC-ABCABC-ABC的体积为的体积为V V，点，点P P，Q Q分别在侧分别在侧棱棱AAAA和和CCCC上，上，AP=CQAP=CQ，则四棱锥，则四棱锥B-APQCB-APQC的体积为的体积为_._.【解析解析】连结连结AB,BC.AP=CQ,AB,BC.AP=CQ,四边形四边形AACCAACC是矩形是矩形,SS四边形四边形ACQPACQP=S=S四边形四边形APQCAPQC,VVB-APQCB-APQC=V=VB-APQCB-APQC.又又V VB-APQCB-APQC=答案：答案：