1.1行列式.ppt

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1、第二章 行列式行列式在历史上原为求解线性方程组而引入，但在线性代数和其它数学领域以及工程技术中，行列式都是一个很重要的工具。本章主要介绍行列式的定义、性质及其计算方法。1.11.1 二阶、三阶行列式，二阶、三阶行列式，全排列及其逆序数全排列及其逆序数1.21.2 n 阶行列式的定义阶行列式的定义1.31.3 行列式的性质（行列式的性质（1 1）1.41.4 行列式性质（行列式性质（2 2）1.51.5 克莱姆法则克莱姆法则第一节二、三阶行列式 全排列及其逆序数一、二阶行列式与三阶行列式注：该定义称之为对角线法则。1.全排列：全排列：把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素的全排列（简称

2、排列）。2.逆序：逆序：对于 n 个不同的元素，先规定各元素之间的一个标准次序（如 n 个不同的自然数，可规定由小到大）于是在这 n 个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就称这两个元素构成了一个逆序。二、全排列与逆序数3.逆序数：逆序数：一个排列中所有逆序的总和称之为这个排列的逆序数。4.奇排列与偶排列：奇排列与偶排列：逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。5.计算排列逆序数的方法：计算排列逆序数的方法：不妨设 n 个元素为1至 n 这 n 个自然数，并规定由小到大为标准次序。设 p1 p2 pn为这 n 个自然数的一个排列，考虑元素 pi(i=1

3、,2,n)，如果比 pi大的且排在 pi 前面的元素有i个，就说 pi 这个元素的逆序数是 i，即：(p1 p2 pn)=1+2+n 就是这个排列的逆序数。例例1 1 求排列13(2n 1)24(2n)的逆序数。解：解：在该排列中，1(2n1)中每个奇数的逆序数全为0，2的逆序数为(n 1)，4的逆序数为(n 2),，(2n 2)的逆境序数为1，2n的逆序数为0，于是该排列的逆序数为例例2 2 在19构成的排列中,求j、k，使排列1 2 7 4 j 5 6 k 9为偶排列解：解：由题可知，j、k 的取值范围为3，8 当 j=3、k=8时，经计算可知，排列127435689的逆序数为5，即为奇排

4、列 当 j=8、k=3时，经计算可知，排列127485639的逆序数为10，即为偶排列 j=8，k=3例例3 设排列 p1 p2 p3pn的逆序数为k，求pnp3 p2 p1的逆序数（p1 p2 p3pn是1 n的某一排列）解：解：因为因为 为方便计，也为方便计，也 可换种记数法，如比可换种记数法，如比 pi小的且排小的且排在在 pi 后面的元素有后面的元素有i个。个。第二节n阶行列式的定义设有 n2 个数，排成 n 行 n 列的数表作出表中位于不同行不同列的n个元素的乘积，并冠以符号(-1)，得形如 的项，其中p1p2pn为自然数1、2、n的一个一、定义排列，为这个排列的逆序数。由于这样的排

5、列共有 n!个，因而形如(1)式的项共有 n!项。所有这 n!项的代数和其中 p1 p2 pn是1 n 的任一排列，是排列p1 p2 pn的逆序数，即=(p1 p2 pn)。二、几个特殊的行列式1.在排列中，将任意两个元素对调位置，其余元素不动，这种作出新排列的过程叫做对换。将相邻两元素对换，称为相邻对换。定理定理1 1:对换一个排列中的任意两个元素，排列改变奇偶性。证明：该定理的证明可分为两步来证。第一步来证明相邻对换的情况,第二步证明一般情况。三、对换与排列奇偶性的关系由此可见，相邻对换将改变排列的奇偶性。再证一般情况，设：把(1)作n+1次相邻对换得(2)，把(2)再作 n 次相邻对换可

6、得(3)，即共作了 2n+1 次相邻对换由(1)而得到(3)。由前可知，作一次相邻对换，排列的奇偶性改变一次，故由(1)到(3)排列的奇偶性就改变了2n+1次，即由原来的奇排列就变成了偶排列或由原来的偶排列变成了奇排列。定理定理2 2：n 元排列共有 n!个，其中奇、偶排列的个数相等，各有 n!/2 个。证：设奇排列有p个，偶排列有q个。将每个奇排列的头两个数对换，则得一个偶排列，说明有多少奇排列，就至少有多少个偶排列。反之亦然，因此，p=q。定理定理3 3：任意一个 n 元排列都可以经过一些对换变成自然排列，并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性。证明：因为四、行列式的等价定义五、关于等

7、价定义的说明 这就表明，对换乘积项中两元素的位置，从而行标排列与列标排列同时做了相应的对换，但行标排列与列标排列的逆序数之和的但行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性并不改变。奇偶性并不改变。定理定理4例例5 写出四阶行列式中含有因子 的项。例例6 若为四阶行列式的项，试确定i与k，使前两项带正号，后一项带负号。第三节行列式的性质(1)在利用行列式性质进行行列式计算时，基本的思路是把行列式化成三角行列式，当然在化的过程中也要兼顾其它性质的应用。在 n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行第 j 列划去后，留下来的 n-1 阶行列式叫做元素 aij 余子式，记作 Mij；记 Aij=(-

8、1)i+j Mij，Aij叫做元素 aij 的代数余子式。一、余子式与代数余子式第四节行列式的性质(2)二、k阶子式及其余子式和代数余子式 在n阶行列式D中任选k行k列，位于这k行k列的交叉点处的k2个元素按原来的位置组成的k阶行列式M叫做D的一个k阶子式。在D中划去M所在的行与列，剩下的元素按原来的位置组成的n-k子式N叫做M的余子式。设M所在的行数与列数依次为i1i2ik，j1j2jk，M的余子式N乘以 叫做M的代数余子式。证明：证明：证明：证明：一、线性方程组第五节克莱姆法则二、克莱姆法则定理1：方程组(1)一定有解，且解是唯一的充要条件是线性方程组(1)的系数行列式D0。定理2：如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必等于零，即D=0。定理3：齐次方程组(2)只有零解，而没有非零解的充要条件是齐次线性方程组(2)的系数行列式D0。定理4：齐次方程组(2)有非零解的充要条件是齐次线性方程组(2)的系数行列式D=0。三、几个相关定理