数字图像处理数学形态学原理PPT.ppt

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1、数字图像处理学数字图像处理学第第9 9章章 数学形态学原理数学形态学原理（第一讲）第一讲）9.1 数学形态学的发展数学形态学的发展 “数学形态学（数学形态学（Mathematical MorphologyMathematical Morphology）是一种应用于图像处理和模式识别领域的新的方是一种应用于图像处理和模式识别领域的新的方法。形态学是生物学的一个分支法。形态学是生物学的一个分支,常用它来处理动常用它来处理动物和植物的形状和结构。物和植物的形状和结构。数学形态学发展历史数学形态学发展历史 “数学形态学数学形态学”诞生于诞生于19641964年。年。19641964年，法国学者年，法国

2、学者J.SerraJ.Serra对铁矿石的岩相进行了定量分析，以预测铁矿石的可轧性。对铁矿石的岩相进行了定量分析，以预测铁矿石的可轧性。几乎在同时，几乎在同时，G.MatheronG.Matheron研究了多孔介质的几何结构、渗透研究了多孔介质的几何结构、渗透性及两者的关系，他们的研究成果直接导致性及两者的关系，他们的研究成果直接导致“数学形态学数学形态学”雏形的形成。雏形的形成。随后，随后，J.SerraJ.Serra和和 G.MatheronG.Matheron在法国共同建立了枫在法国共同建立了枫丹白露（丹白露（FontainebleauFontainebleau）数学形态学研究中心。在）

3、数学形态学研究中心。在以后的几年的研究中，他们逐步建立并进一步完善以后的几年的研究中，他们逐步建立并进一步完善了了“数学形态学数学形态学”的理论体系，此后，又研究了基的理论体系，此后，又研究了基于数学形态学的图像处理系统。于数学形态学的图像处理系统。“数学形态学数学形态学”是一门建立在严格的数学理论是一门建立在严格的数学理论基础上的科学。基础上的科学。G.MatheronG.Matheron 于于19731973年出版的年出版的Ensembles Ensembles aleatoiresetaleatoireset geometriegeometrie integrateintegrate一书

4、严谨而详尽地论证了随机集论和一书严谨而详尽地论证了随机集论和积分几何，为数学形态学奠定了理论基础。积分几何，为数学形态学奠定了理论基础。19821982年，年，J.SerraJ.Serra出版的专著出版的专著Image Analysis and Image Analysis and Mathematical MorphologyMathematical Morphology是数学形态学发展的是数学形态学发展的里程碑，它表明数学形态学在理论上已趋于完备，里程碑，它表明数学形态学在理论上已趋于完备，在实际应用中不断深入。在实际应用中不断深入。随着数学形态学逻辑基础的发展，其应用开始向边缘随着数学形

5、态学逻辑基础的发展，其应用开始向边缘学科和工业技术方面发展。数学形态学的应用领域已不限学科和工业技术方面发展。数学形态学的应用领域已不限于传统的微生物学和材料学领域，于传统的微生物学和材料学领域，8080年代初又出现了几种年代初又出现了几种新的应用领域如：工业控制、放射医学、运动场景分析等。新的应用领域如：工业控制、放射医学、运动场景分析等。数学形态学在我国的应用研究也很快，目前，已研制出一数学形态学在我国的应用研究也很快，目前，已研制出一些以数学形态学为基础的实用图像处理系统，如：中国科些以数学形态学为基础的实用图像处理系统，如：中国科学院软件研究所、电子研究所和自动化所参加研究的癌细学院软

6、件研究所、电子研究所和自动化所参加研究的癌细胞自动识别系统等。胞自动识别系统等。数学形态学是一门综合了多学科知识的交叉科数学形态学是一门综合了多学科知识的交叉科学，其理论基础颇为艰深，但其基本观念却比较简学，其理论基础颇为艰深，但其基本观念却比较简单。它体现了逻辑推理与数学演绎的严谨性，又要单。它体现了逻辑推理与数学演绎的严谨性，又要求具备与实践密切相关的实验技术与计算技术。它求具备与实践密切相关的实验技术与计算技术。它涉及微分几何、积分几何、测度论、泛函分析和随涉及微分几何、积分几何、测度论、泛函分析和随机过程等许多数学理论，其中积分几何和随机集论机过程等许多数学理论，其中积分几何和随机集论

7、是其赖以生存的基石。总之，数学形态学是建立在是其赖以生存的基石。总之，数学形态学是建立在严格的数学理论基础上而又密切联系实际的科学。严格的数学理论基础上而又密切联系实际的科学。利用数学形态学进行图像分析的基本步骤有利用数学形态学进行图像分析的基本步骤有如下几步：如下几步：1 1）提出所要描述的物体几何结构模式，即）提出所要描述的物体几何结构模式，即提取物体的几何结构特征；提取物体的几何结构特征；2 2）根据该模式选择相应的结构元素，结构）根据该模式选择相应的结构元素，结构元素应该简单而对模式具有最强的表现力；元素应该简单而对模式具有最强的表现力；3 3）用选定的结构元对图像进行击中与否（）用选

8、定的结构元对图像进行击中与否（HMTHMT）变换，）变换，便可得到比原始图像显著突出物体特征信息的图像。便可得到比原始图像显著突出物体特征信息的图像。如果赋予相应的变量，则可得到该结构模式的定量如果赋予相应的变量，则可得到该结构模式的定量描述；描述；4 4）经过形态变换后的图像突出了我们需要的信息，此）经过形态变换后的图像突出了我们需要的信息，此时，就可以方便地提取信息；时，就可以方便地提取信息；数学形态学方法的优势：数学形态学方法的优势：1 1 在图像恢复处理中，基于数学形态学的形态滤波器可借助于在图像恢复处理中，基于数学形态学的形态滤波器可借助于先验的几何特征信息利用形态学算子有效地滤除噪

9、声，又先验的几何特征信息利用形态学算子有效地滤除噪声，又可以保留图像中的原有信息；可以保留图像中的原有信息；2 2数学形态学算法易于用并行处理方法有效的实现，而且硬数学形态学算法易于用并行处理方法有效的实现，而且硬件实现容易；件实现容易；3 3基于数学形态学的边缘信息提取处理优于基于微分运算的基于数学形态学的边缘信息提取处理优于基于微分运算的边缘提取算法，它不象微分算法对噪声那样敏感，同时，边缘提取算法，它不象微分算法对噪声那样敏感，同时，提取的边缘也比较光滑；提取的边缘也比较光滑；4 4利用数学形态学方法提取的图像骨架也比较连续，断点少。利用数学形态学方法提取的图像骨架也比较连续，断点少。数

10、学形态学的核心运算是击中与否变换数学形态学的核心运算是击中与否变换（HMTHMT），在定义了），在定义了HMTHMT及其基本运算膨胀及其基本运算膨胀（DilationDilation）和腐蚀）和腐蚀(Erosion)(Erosion)后，再从积分几何后，再从积分几何和体视学移植一些概念和理论，根据图像分析的各和体视学移植一些概念和理论，根据图像分析的各种要求，构造出统一的、相同的或变化很小的结构种要求，构造出统一的、相同的或变化很小的结构元素进行各种形态变换。在形态算法设计中，结构元素进行各种形态变换。在形态算法设计中，结构元的选择十分重要，其形状、尺寸的选择是能否有元的选择十分重要，其形状、

11、尺寸的选择是能否有效地提取信息的关键。效地提取信息的关键。一般情况，结构元的选择本着如下几个原则进一般情况，结构元的选择本着如下几个原则进行：行：1 1）结构元必须在几何上比原图像简单，且有）结构元必须在几何上比原图像简单，且有界。当选择性质相同或相似的结构元时，以选择极界。当选择性质相同或相似的结构元时，以选择极限情况为益；限情况为益；2 2）结构元的凸性非常重要，对非凸子集，由）结构元的凸性非常重要，对非凸子集，由于连接两点的线段大部分位于集合的外面，故而用于连接两点的线段大部分位于集合的外面，故而用非凸子集作为结构元将得不到什么信息。非凸子集作为结构元将得不到什么信息。总之，数学形态学的

12、基本思想和基本研究方法具有总之，数学形态学的基本思想和基本研究方法具有一些特殊性，掌握和运用好这些特性是取得良好结一些特殊性，掌握和运用好这些特性是取得良好结果的关键。果的关键。9.29.2 数学形态学的基本概念和运算数学形态学的基本概念和运算 用于描述数学形态学的语言是集合论。集合代表图用于描述数学形态学的语言是集合论。集合代表图像中物体的形状。像中物体的形状。一些基本的定义一些基本的定义 （1 1）集合：具有某种性质的确定的有区别）集合：具有某种性质的确定的有区别的事物的全体。如果某种事物不存在，称为的事物的全体。如果某种事物不存在，称为空集。集合常用大写字母空集。集合常用大写字母 A,B

13、,C,表示，空集用表示，空集用 表示。表示。设设 为一自由空间，为一自由空间，是由集合是由集合空间空间 所构成的幂集，集合所构成的幂集，集合 ，则集合则集合 和和 之间的关系只能有以下三种之间的关系只能有以下三种形式：形式：集合集合B包含于包含于X（表示为（表示为 ）集合集合B击中击中X（表示为（表示为 ），即：），即：集合集合B相离于相离于X（表示为（表示为 ），即：），即：图图 9 91 1 击中击中X X，相离于相离于X X，包含于包含于X X （2 2）元素：构成集合的每一个事物称之为元）元素：构成集合的每一个事物称之为元素，元素常用小写字母素，元素常用小写字母 表示，应注意的表示，应

14、注意的是任何事物都不是空集的元素。是任何事物都不是空集的元素。（3 3）平移转换：）平移转换：设设A A和和B B是两个二维集合，是两个二维集合，A A和和B B中的元素分别是中的元素分别是 定义定义 ，对集合的平移转换为，对集合的平移转换为:(9(98)8)（4 4）子集：当且仅当）子集：当且仅当A A集合的所有元素都属于集合的所有元素都属于B B时，称时，称A A为为B B的子集。的子集。（5 5）补集：定义集合）补集：定义集合A A的补集为的补集为:(9(99)9)（6 6）差集：定义集合）差集：定义集合A A和和B B的差集为的差集为 (9(910)10)(9(911)11)（8 8）

15、并集：由）并集：由A A和和B B的所有元素组成的集合称为的所有元素组成的集合称为A A和和B B的的并集。并集。（9 9）交集：由）交集：由A A和和B B的公共元素组成的集合称为的公共元素组成的集合称为A A和和B B的的交集。交集。（7 7）映像：定义集合）映像：定义集合B B的映像为的映像为 (9(912)12)图图9 92 2(a)(a)集合集合A A；(b)(b)用用x x平移集合平移集合A A后的结后的结果；果；(c)(c)集合集合B B；(d)d)B B的反转；的反转；(e)(e)集合集合A A和它的补集；和它的补集；(f)(f)两个集合的差集两个集合的差集(如阴如阴影所示影所

16、示)。前四幅图的黑点表示前四幅图的黑点表示了每个集合的起点。了每个集合的起点。二值形态学二值形态学 膨胀膨胀 为为 中的集合，中的集合，为空集，为空集，被被 的的膨胀，记为膨胀，记为 ，为膨胀算子，膨胀的定义为：为膨胀算子，膨胀的定义为：=|()=|()(9(912)12)该式表明的膨胀过程是该式表明的膨胀过程是B首先做关于原点的映射，然后首先做关于原点的映射，然后平移平移x。A被被B的膨胀是的膨胀是 被所有被所有x平移后与平移后与A至少有一至少有一个非零公共元素。个非零公共元素。根据这个解释，公式根据这个解释，公式(9(912)12)可以重写如下：可以重写如下：同在其他的形态处理中一样，集合

17、同在其他的形态处理中一样，集合B在膨胀操作中通常在膨胀操作中通常被称为结构元素。被称为结构元素。=|()=|()(9(913)13)图图9 93(a)3(a)表示一个简单的集合，图表示一个简单的集合，图9 93(b)3(b)表表示一个结构元素及其示一个结构元素及其“映射映射”。在此图情况下，因。在此图情况下，因为结构元素为结构元素B关于原点对称，所以，结构元素关于原点对称，所以，结构元素B及其及其映射映射 相同。图相同。图9 93(c)3(c)中的虚线表示作为参考的中的虚线表示作为参考的原始集合，实线示出若原始集合，实线示出若 的原点平移至的原点平移至x点超过此点超过此界限，则界限，则 与与A

18、 A的交集为空。的交集为空。这样实线内的所有点构成了这样实线内的所有点构成了A A被被B B的膨胀。图的膨胀。图9 93(d)3(d)表示预先设计的一个结构元素，其目的是为了得到表示预先设计的一个结构元素，其目的是为了得到一个垂直膨胀比水平膨胀大的结果。图一个垂直膨胀比水平膨胀大的结果。图9 93(e)3(e)显示显示为用此构成元素膨胀后得到的结果。为用此构成元素膨胀后得到的结果。图图 9 93 3 膨胀操作的例子膨胀操作的例子 腐蚀腐蚀 为为 中的集合，中的集合，被被 腐蚀，记为腐蚀，记为 ，其定义为：，其定义为：(9(914)14)也就是说也就是说 被被 的腐蚀的结果为所有使的腐蚀的结果为

19、所有使 被被x平平移后包含于移后包含于 的点的点x的集合。与膨胀一样，公式的集合。与膨胀一样，公式(9(914)14)也可以用相关的概念加以理解。也可以用相关的概念加以理解。腐蚀腐蚀 腐蚀的另一种解释。对一个给定的目标图像X和一个结构元素S，想象一下将S在图像上移动。在每一个当前位置x，S+x只有三种可能的状态(1)S+xX；(2)S+xXC；(3)S+xX与S+xXC均不为空。图图9 94 4表示了类似于图表示了类似于图9 93 3的一个过程。象以的一个过程。象以前一样，集合前一样，集合A在图在图9 94(c)4(c)用虚线表示作为参考。用虚线表示作为参考。实线表示若实线表示若B的原点平移至

20、的原点平移至x点超过此界限，则点超过此界限，则A不不能完全包含能完全包含B。这样，在这个实线边界内的点构成。这样，在这个实线边界内的点构成了了A被被B的腐蚀。的腐蚀。图图9 94(d)4(d)画出了伸长的结构元素，图画出了伸长的结构元素，图9 94(e)4(e)显示显示了了A A被此元素腐蚀的结果。注意原来的集合被腐蚀成被此元素腐蚀的结果。注意原来的集合被腐蚀成一条线了。一条线了。图图 9 94 4 腐蚀操作的例子腐蚀操作的例子 膨胀和腐蚀是关于集合补和反转的对偶。也就是膨胀和腐蚀是关于集合补和反转的对偶。也就是,(9(915)15)关于上式的正确性可证明于下：关于上式的正确性可证明于下：从腐

21、蚀的定义可知：从腐蚀的定义可知：如果集合如果集合()()包含于集合包含于集合 ，那么，那么()()=，在这种情况下，上式变为，在这种情况下，上式变为 ()=|()=()=|()=但是满足但是满足()=()=的集合的集合 的补集是使的补集是使()()的的 集合。这样集合。这样 ()=|()()=|()=命题得证。命题得证。膨胀和腐蚀运算的一些性质对设计形态学算法进膨胀和腐蚀运算的一些性质对设计形态学算法进行图像处理和分析是非常有用的，下面列出几个较重行图像处理和分析是非常有用的，下面列出几个较重要的性质：要的性质：、交换性：、交换性：(9(916)16)、结合性：、结合性：(9(917)17)、

22、递增性：、递增性：(9(918)18)、分配性：、分配性：(9(919)19)(9 (920)20)(9 (921)21)(9 (922)22)开运算（开运算（OpeningOpening）和闭运算）和闭运算(Closing)(Closing)如前边所见，膨胀扩大图像，腐蚀收缩图像。如前边所见，膨胀扩大图像，腐蚀收缩图像。另外两个重要的形态运算是开运算和闭运算。开另外两个重要的形态运算是开运算和闭运算。开运算一般能平滑图像的轮廓，削弱狭窄的部分，运算一般能平滑图像的轮廓，削弱狭窄的部分，去掉细的突出。闭运算也是平滑图像的轮廓，与去掉细的突出。闭运算也是平滑图像的轮廓，与开运算相反，它一般熔合窄

23、的缺口和细长的弯口，开运算相反，它一般熔合窄的缺口和细长的弯口，去掉小洞，填补轮廓上的缝隙。去掉小洞，填补轮廓上的缝隙。设设 A 是原始图像，是原始图像，B 是结构元素图像，则集是结构元素图像，则集合合A 被结构元素被结构元素 B 作开运算，记为作开运算，记为 AB ，其定义为：其定义为：(9(923)23)换句话说，换句话说，A 被被 B 开运算就是开运算就是A 被被 B 腐蚀后腐蚀后的结果再被的结果再被B 膨胀。膨胀。设设 A是原始图像，是原始图像，B 是结构元素图像，则集是结构元素图像，则集合合 A 被结构元素被结构元素 B 作闭运算，记为作闭运算，记为 ，其，其定义为：定义为：换句话说

24、，换句话说，A 被被 B 开运算就是开运算就是 A 被被 B 膨膨胀后的结果再被胀后的结果再被 B 腐蚀。腐蚀。(9(924)24)图图9 95 5图释了集合图释了集合A 被一个圆盘形结构元素作被一个圆盘形结构元素作开运算和闭运算的情况。图开运算和闭运算的情况。图9 95(a)5(a)是集合是集合 A ，9 95(b)5(b)示出了在腐蚀过程中圆盘结构元素的各个示出了在腐蚀过程中圆盘结构元素的各个位置，当完成这一过程时，形成分开的两个图形示位置，当完成这一过程时，形成分开的两个图形示于图于图9 95(c)5(c)。注意，注意，A A 的两个主要部分之间的桥梁被去掉了。的两个主要部分之间的桥梁被

25、去掉了。“桥桥”的宽度小于结构元素的直径；也就是结构元素的宽度小于结构元素的直径；也就是结构元素不能完全包含于集合不能完全包含于集合 A A 的这一部分，这样就违反了的这一部分，这样就违反了公式公式(9(914)14)的条件。由于同样的原因的条件。由于同样的原因 A A 的最右边的最右边的部分也被切除掉了。的部分也被切除掉了。图图9 95(d)5(d)画出了对腐蚀的结果进行膨胀的画出了对腐蚀的结果进行膨胀的过程，而图过程，而图9 95(e)5(e)示出了开运算的最后结果。示出了开运算的最后结果。同样地，图同样地，图9 95(f)-95(f)-95(i)5(i)示出了用同样的结示出了用同样的结构

26、元素对构元素对 A 作闭运算的结果。结果是去掉了作闭运算的结果。结果是去掉了A 的左边对于的左边对于 B 来说较小的弯。注意，用一个圆来说较小的弯。注意，用一个圆形的结构元素对集合形的结构元素对集合 A 作开运算和闭运算均使作开运算和闭运算均使A 的一些部分平滑了。的一些部分平滑了。图图 9 95 5 开运算和闭运算的图示开运算和闭运算的图示 开运算和闭运算有一个简单的几何解释。假设开运算和闭运算有一个简单的几何解释。假设我们把圆盘形结构元素我们把圆盘形结构元素 看作一个（平面的）看作一个（平面的）“滚动球滚动球”。的边界为的边界为 在在 内滚动所能达内滚动所能达到的最远处的到的最远处的 的边

27、界所构成。这个解释能从的边界所构成。这个解释能从图图9 95(a)5(a)得到图得到图9 95(e)5(e)。注意所有的朝外的突出角均被圆滑了，而朝内的则注意所有的朝外的突出角均被圆滑了，而朝内的则没有影响。突出的不能容下这球的部分被去掉。这没有影响。突出的不能容下这球的部分被去掉。这种开运算的几何拟合性得出了集合论的一个定理：种开运算的几何拟合性得出了集合论的一个定理：被被 的开运算就是的开运算就是 在在 内内 的的 平平 移移 (保保 证证()()所得到的集合的并集。这样开所得到的集合的并集。这样开运算可以被描述为拟合过程，即：运算可以被描述为拟合过程，即：(9(925)25)图图9 96

28、 6图释了这个概念，为了多样性这里我图释了这个概念，为了多样性这里我们用了一个非圆形的结构元素。们用了一个非圆形的结构元素。图图 9 96 6 开运算的拟合特性开运算的拟合特性 闭运算也有类似的几何解释。再次用滚动球的闭运算也有类似的几何解释。再次用滚动球的例子，只不过我们在边界外边滚动该球（开运算和例子，只不过我们在边界外边滚动该球（开运算和闭运算是对偶的，所以让小球在外面滚动是合理的）闭运算是对偶的，所以让小球在外面滚动是合理的）。有了这种解释，图。有了这种解释，图9 95(5(i)i)就很容易从图就很容易从图9 95(5(a)a)得到。得到。注意所有的朝内的突出角均被圆滑了，而朝外的则注

29、意所有的朝内的突出角均被圆滑了，而朝外的则保持不变。集合保持不变。集合 的最左边的凹入被大幅度减弱的最左边的凹入被大幅度减弱了。几何上，点了。几何上，点 为为 的一个元素的一个元素 ，当当 且且 仅仅 当当 包包 含含 的的 与与 的交集非的交集非空，即空，即 。图。图9 97 7解释了这一性质。解释了这一性质。图图 9 97 7 闭运算的几何解释闭运算的几何解释 像膨胀和腐蚀一样，开运算和闭运算是关像膨胀和腐蚀一样，开运算和闭运算是关于集合补和反转的对偶。也就是于集合补和反转的对偶。也就是 (926)开运算有下列性质开运算有下列性质 、是集合是集合 的子集的子集(子图子图)；、如果、如果 C

30、 是是 D 的子集，则的子集，则 是是 的子集；的子集；、同样，闭运算有下列性质同样，闭运算有下列性质:、是集合是集合 的子集的子集(子图子图)；、如如果果 C C 是是 D D 的的子子集集，则则 是是 的的子集；子集；、这这些些性性质质有有助助于于对对用用开开运运算算和和闭闭运运算算构构成成的的形形态态滤滤波波器器时时所所得得到到的的结结果果的的理理解解。例例如如，用用开开运运算算构构造一个滤波器。我们参考上面的性质：造一个滤波器。我们参考上面的性质：（i i）结果是输入的子集；结果是输入的子集；(ii)ii)单调性会被保持；单调性会被保持；(iii)iii)多次同样的开运算对结果没有影响

31、。最后一条多次同样的开运算对结果没有影响。最后一条性质有时称为幂等性。同样的解释适合于闭运算。性质有时称为幂等性。同样的解释适合于闭运算。图图 98 形态学滤波形态学滤波 考虑图考虑图9 98(8(a)a)的简单的二值图像，它包含一个的简单的二值图像，它包含一个被噪声影响的矩形目标。这里噪声用暗元素被噪声影响的矩形目标。这里噪声用暗元素(阴影阴影)在亮的背景表示，而光使暗目标为空的。注意集合在亮的背景表示，而光使暗目标为空的。注意集合 包含目标和背景噪声，而目标中的噪声构成了背景包含目标和背景噪声，而目标中的噪声构成了背景显示的内部边界。目的是去除噪声及其对目标的影显示的内部边界。目的是去除噪

32、声及其对目标的影响，并对目标的响，并对目标的 影影 响响 越越 小小 越越 好好 。形形 态态“滤滤 波波 器器 ”可以可以用来达到此目的。图用来达到此目的。图9 98(8(c)c)显示了用一个比所有显示了用一个比所有噪声成分都大的圆盘形结构元素对噪声成分都大的圆盘形结构元素对 进行开放进行开放运算的结果。注意这步运算考虑了背景噪声但对运算的结果。注意这步运算考虑了背景噪声但对内部边界没有影响。内部边界没有影响。因为在这个理想的例子中，所有的背景噪声因为在这个理想的例子中，所有的背景噪声成分的物理大小均小于结构元素，背景噪声在开成分的物理大小均小于结构元素，背景噪声在开运算的腐蚀过程中被消除。

33、（腐蚀要求结构元素运算的腐蚀过程中被消除。（腐蚀要求结构元素完全包含于被腐蚀的集合内。）而目标内的噪声完全包含于被腐蚀的集合内。）而目标内的噪声成分的大小却变大了成分的大小却变大了(图图9 98(8(b)b)，这在意料之中，原因是目标中的空白事实上是内部这在意料之中，原因是目标中的空白事实上是内部边界，在腐蚀中会变大。最后，图边界，在腐蚀中会变大。最后，图9 98(8(e)e)图图9 98(8(c)c)示出了形态闭运算的结果。内部的边界在闭运示出了形态闭运算的结果。内部的边界在闭运算后的膨胀运算中被消除了，如图算后的膨胀运算中被消除了，如图9 98(8(d)d)所示。所示。击中（击中（Hit）

34、击不中击不中(Miss)变换（变换（HMT）形态学中击中（形态学中击中（HitHit）击不中击不中(Miss)Miss)变换是形状变换是形状检测的基本工具。我们通过图检测的基本工具。我们通过图9 99 9引入这个概念。引入这个概念。图中集合图中集合A A包含三个部分（子集），记为包含三个部分（子集），记为 。图图9 99(9(a)-(c)a)-(c)中的图形为原始集合，而图中的图形为原始集合，而图9 99(9(d)d)和和(e)e)中的阴影为形态运算的结果。目标是找到一个中的阴影为形态运算的结果。目标是找到一个图形图形X X的位置。的位置。图图 99 击中（击中（Hit）击不中击不中(Miss

35、)变换图例变换图例 让每个图形的原点位于它的重心。如果用一个让每个图形的原点位于它的重心。如果用一个小窗口小窗口W包含包含X，X关于关于W的本地背景是图的本地背景是图99(b)中中的集合差的集合差(W-X)。图图99(c)为集合为集合A的补。图的补。图99(d)示出示出A被被X腐蚀的结果。腐蚀的结果。A被被X的腐蚀在的腐蚀在X中只有中只有X的的原点，这样原点，这样X才能完全包含于才能完全包含于A。图图99(e)表示集合表示集合A的补被本地背景集合的补被本地背景集合(W-X)的腐蚀；外围阴影区域的腐蚀；外围阴影区域也是腐蚀结果的一部分。也是腐蚀结果的一部分。从图从图9 99(9(d)d)和和(e

36、),e),可以看出集合可以看出集合X X在集合在集合A A中的位置中的位置是是A A被被X X的腐蚀和的腐蚀和 被被(W-X)的腐蚀的交集，如的腐蚀的交集，如图图9 99(9(f)f)所示。这个交集正是我们所要找的。换所示。这个交集正是我们所要找的。换句话说，如果句话说，如果B B记为由记为由X X和其背景构成的集合，和其背景构成的集合，B B在在A A中的匹配，记为中的匹配，记为 ，则，则 (9-9-27)27)可可以以这这样样来来概概括括这这种种表表示示法法,让让 ,其其中中 是是由由和和目目标标相相关关的的 B B 的的元元素素形形成成的的集集合合，而而 是是由由和和相相应应的的背背景景

37、相相关关的的 B B 的的元元 素素 集集 合合。根根 据据 前前 面面 的的 讨讨 论论 ，。用用这种表示法，公式这种表示法，公式(9(927)27)变为变为 (9(928)28)用集合差的定义及膨胀和腐蚀的对偶关系，也可以用集合差的定义及膨胀和腐蚀的对偶关系，也可以把公式把公式(9(928)28)写为写为 (9 (929)29)这样集合这样集合 包括所有的点，同时，包括所有的点，同时，在在A A中中找到了一个匹配找到了一个匹配“击中击中”，在在 中找到了匹配中找到了匹配“击中击中”。9.3 一些基本形态学算法一些基本形态学算法 在在前前面面讨讨论论的的背背景景知知识识基基础础之之上上，我我

38、们们可可以以探探讨讨形形态态学学的的一一些些实实际际应应用用。当当处处理理二二值值图图像像时时，形形态态学学的的主主要要应应用用是是提提取取表表示示和和描描述述图图像像形形状状的的有有用用成成分分。特特别别是是用用形形态态学学方方法法提提取取某某一一区区域域的的边边界界线线、连接成分、骨骼、凸壳的算法是十分有效的。连接成分、骨骼、凸壳的算法是十分有效的。此此外外，区区域域填填充充、细细化化、加加粗粗、裁裁剪剪等等处处理理方方法法也也经经常常与与上上述述算算法法相相结结合合在在预预处处理理和和后后处处理理中中使使用用。这这些些算算法法的的讨讨论论大大部部分分采采用用的的是是二二值值的的图图像像，

39、即即只只有黑和白两级灰度，有黑和白两级灰度，1 1表示黑，表示黑，0 0表示白。表示白。集集合合A A的的边边界界记记为为 (A)A)，可可以以通通过过下下述述算算法法提提取取边边缘缘：设设B B是是一一个个合合适适的的结结构构元元素素，首首先先令令A A被被B B腐蚀，然后求集合腐蚀，然后求集合A A和它的腐蚀的差。如下式所示：和它的腐蚀的差。如下式所示：(9 (930)30)9.3.19.3.1边缘提取算法边缘提取算法 图图9 91010解释了边缘提取的过程。它表示了一个简单解释了边缘提取的过程。它表示了一个简单的二值图像，一个结构元素和用公式的二值图像，一个结构元素和用公式(9(930)

40、30)得出的得出的结果。图结果。图9 910(10(b)b)中的结构元素是最常用的一种，中的结构元素是最常用的一种，但它决不是唯一的。如果采用一个但它决不是唯一的。如果采用一个5 55 5全全“1 1”的结的结构元素，可得到一个二到三个像素宽的边缘。应注构元素，可得到一个二到三个像素宽的边缘。应注意的是，当集合意的是，当集合B B的原点处在集合的边界时，结构元的原点处在集合的边界时，结构元素的一部分位于集合之外。这种条件下的通常的处素的一部分位于集合之外。这种条件下的通常的处理是约定集合边界外的值为理是约定集合边界外的值为0 0。边缘提取算法示意图边缘提取算法示意图 9.3.2 区域填充算法区

41、域填充算法 下面讨论的是一种基于集合膨胀，取补和下面讨论的是一种基于集合膨胀，取补和取交的区域填充的简单的算法。在图取交的区域填充的简单的算法。在图9 91111中，中，A A表示一个包含一个子集的集合，子集的元素为表示一个包含一个子集的集合，子集的元素为8 8字形的连接边界的区域。从边界内的一点字形的连接边界的区域。从边界内的一点P P开开始，目标是用始，目标是用1 1去填充整个区域。去填充整个区域。假假定定所所有有的的非非边边界界元元素素均均标标为为0 0，我我们们把把一一个个值值1 1赋赋给给P P开开始始这这个个过过程程。下下述述过过程程将将把把这这个个区区域域用用1 1来填充：来填充

42、：(9 (931)31)其中，其中，B B为对称结构元素，如图为对称结构元素，如图9 911(11(c)c)所示。当所示。当 k 迭代到迭代到 时，算法终时，算法终止。集合止。集合 和和 A 的并集包括填充的集合和边的并集包括填充的集合和边界。界。如果公式如果公式(9(931)31)的膨胀过程一直进行，它将的膨胀过程一直进行，它将填满整个区域。然而，每一步与填满整个区域。然而，每一步与A AC C的交把结果限制的交把结果限制在我们感兴趣的区域内（这种限制过程有时称为在我们感兴趣的区域内（这种限制过程有时称为条件膨胀）。图条件膨胀）。图9 91111剩下的部分解释了公式剩下的部分解释了公式(9(

43、931)31)的进一步技巧。尽管这个例子只有一个子集，的进一步技巧。尽管这个例子只有一个子集，只要每个边界内给一个点，这个概念可清楚地用只要每个边界内给一个点，这个概念可清楚地用在任何有限个这样的子集中。在任何有限个这样的子集中。图图 911 区域填充算法区域填充算法 9.3.3 连接部分提取算法连接部分提取算法 在在实实际际应应用用中中，在在二二值值图图像像中中提提取取相相连连接接部部分分是是许许多多自自动动图图像像分分析析应应用用所所关关注注的的问问题题。Y Y表表示示一一个个包包含含于于集集合合A A相相连连接接部部分分，假假设设Y Y内内的的一一个个点点P P已已知。那么下述迭代表达式

44、可得到知。那么下述迭代表达式可得到Y Y中的所有元素：中的所有元素：(9 (932)32)其中其中 ，B为一合适的结构元素，如图为一合适的结构元素，如图9 91212所示。如果所示。如果 则算法收敛，并使则算法收敛，并使 。公式公式(9(932)32)在形式上与在形式上与(9(931)31)相似。唯一相似。唯一的不同是用的不同是用A A代替了代替了A AC C ，这是因为所提取的全部，这是因为所提取的全部元素（也就是，相连组成部分的元素）均标记为元素（也就是，相连组成部分的元素）均标记为1 1。每一迭代步和每一迭代步和A A求交集可除去以标记为求交集可除去以标记为0 0的元素为的元素为中心的膨

45、胀。图中心的膨胀。图9 91212图释了公式图释了公式(9(932)32)的操作的操作技巧。这里，结构元素的形状是技巧。这里，结构元素的形状是8 8连接的，与区域连接的，与区域填充算法一样，以上讨论的结果可以应用于任何填充算法一样，以上讨论的结果可以应用于任何有限的包含在集合有限的包含在集合A A中的连接部分。中的连接部分。图图 912 连接部分提取算法连接部分提取算法 图中（图中（a）集集A包含包含一个连接部分一个连接部分Y和和初始点初始点P；(b)是结是结构元；构元；(c)第一次迭第一次迭代结果；代结果；(d)第二次第二次迭代结果；迭代结果；(e)最终最终结果。结果。9.3.4 凸壳算法凸

46、壳算法 集集合合的的凸凸壳壳是是一一个个有有用用的的图图像像描描述述工工具具。在在此此，我我们们提提出出一一种种获获得得集集合合A A凸凸壳壳C(A)C(A)的的简简单单形形态态学学算算法法。设设 Bi ，i=i=1,2,3,4,1,2,3,4,代代表表四四个个结结构构元素。这个处理过程由下述公式实现：元素。这个处理过程由下述公式实现：(9 (933)33)其中其中 。现令。现令 ,下标下标“convconv”表示当时收敛。表示当时收敛。那么，那么，A A的凸壳为的凸壳为(9(934)34)换句话说，这个过程包括对换句话说，这个过程包括对A A和和B B1 1重复使用重复使用击中（击中（hit

47、hit）或击不中（或击不中（miss)miss)变换；当没有进变换；当没有进一步的变化发生时，求一步的变化发生时，求A A和所谓的结果和所谓的结果D D1 1并集。并集。对对B B2 2重复此过程直到没有进一步的变化为止。重复此过程直到没有进一步的变化为止。四个结果四个结果D D的并构成了的并构成了A A的凸壳。的凸壳。图图9 913(13(a)a)示出了为提取凸壳的结构元素（每个示出了为提取凸壳的结构元素（每个结构元素的原点位于它的中心）。图结构元素的原点位于它的中心）。图9 913(13(b)b)给给出了要提取凸壳的集合出了要提取凸壳的集合 A，从从 开始，开始，重复公式重复公式(9(93

48、3)33)四步后得到的结果如图四步后得到的结果如图9 913(13(c)c)所示。所示。然后令然后令 再次利用公式再次利用公式(9(933)33)得到得到的结果示于图的结果示于图9 913(13(d)(d)(注意只用两步就收敛了注意只用两步就收敛了)。下两个结果用同样的方法得到。最后，把图下两个结果用同样的方法得到。最后，把图9 913(13(c),(d),(ec),(d),(e)和和(f)f)中的集合求并的结果就为所求中的集合求并的结果就为所求凸壳。每个结构元素对结果的贡献在图凸壳。每个结构元素对结果的贡献在图9 913(13(h)h)的的合成集合中用不同加亮表示。合成集合中用不同加亮表示。

49、图图913 凸壳算法示例凸壳算法示例 图图913 凸壳算法示例凸壳算法示例 9.3.5 9.3.5 细化细化 集集合合A A被被结结构构元元素素的的细细化化用用 表表示示，根根据据击中（击中（hithit）(或击不中或击不中miss)miss)变换定义：变换定义：(9 (935)35)对对称称细细化化A A的的一一个个更更有有用用的的表表达达是是基基于于结结构构元元素素序列：序列：(9 (936)36)其中其中 是是 的旋转。的旋转。根根据据这这个个概概念念，我我们们现现定定义义被被一一个个结结构构元元素素序列的细化为序列的细化为 )(9(937)37)换句话说，这个过程是用换句话说，这个过程

50、是用 细化细化A A，然后用然后用 细化前一步细化的结果等等，直到细化前一步细化的结果等等，直到A A被被 细化。细化。整个过程重复进行到没有进一步的变化发生为止。整个过程重复进行到没有进一步的变化发生为止。图图9 914(14(a)a)是一组用于细化的结构元素，是一组用于细化的结构元素，图图9 914(14(b)b)为用上述方法细化的集合为用上述方法细化的集合A A。图图9 914(14(c)c)示出用示出用 细化细化A A得到的结果，图得到的结果，图9 914(14(d)-(kd)-(k)为用其它结构元素细化的结果。为用其它结构元素细化的结果。当第二次通过当第二次通过 时收敛。图时收敛。图