数理方程1.ppt

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1、数理方程数理方程数 学 物 理 方 程主讲：王主讲：王 正正 斌斌 : 答疑：周三中午答疑：周三中午11：3013：00，教，教2426南京邮电大学南京邮电大学、理学院、应用物理系理学院、应用物理系Equations of Mathematical Physics数理方程Refrences：1.数学物理方法数学物理方法(第三版第三版)，梁昆淼，梁昆淼 编编2.矢量分析与场论矢量分析与场论(第三版第三版)，谢树艺，谢树艺3.数学物理方程的数学物理方程的MATLAB解法与可视化解法与可视化 彭芳麟彭芳麟4.微分方程微分方程5.高等数学高等数学数理方程Warnings and Announcemen

2、tsReading this book impairs your ability to drive a car or operate machinery.This book has been found to cause drowsiness in laboratory animals.Caution:FLAMMABLE-Do not read while smoking or near a fire.数理方程数理方程这门学科的由来数理方程这门学科的由来:20世纪，物理学的基本概念和技术已经被应用到自然科学所有领域。世纪，物理学的基本概念和技术已经被应用到自然科学所有领域。现在，物理学的原理、

3、方法不仅在天文、地理学科有着广泛的应用，而且在现在，物理学的原理、方法不仅在天文、地理学科有着广泛的应用，而且在生命科学、环境科学、化学化工、生命科学、环境科学、化学化工、信息科学信息科学等领域也出现了很大程度上的交等领域也出现了很大程度上的交叉互融。物理学已经成为自然科学发展的重要基石。叉互融。物理学已经成为自然科学发展的重要基石。随着科学的发展，对物理学提出了更高的要求。对于随着科学的发展，对物理学提出了更高的要求。对于物理场物理场及相关物理量及相关物理量的描述，引进了数学中的的描述，引进了数学中的偏微分方程偏微分方程。对于原子描述，引进了球函数的概念，。对于原子描述，引进了球函数的概念，

4、对于半导体器件的开发，引进了粒子对于半导体器件的开发，引进了粒子“扩散和输运扩散和输运”的概念，很多数学理论和方的概念，很多数学理论和方法在物理科学与技术领域都找到了归宿，数学与物理的亲缘关系越来越明显。法在物理科学与技术领域都找到了归宿，数学与物理的亲缘关系越来越明显。数学物理方法数学物理方法就这样应运而生了。就这样应运而生了。数理方程数学角度数学角度线性微分积分方程线性微分积分方程 线性偏微分方程线性偏微分方程线性积分方程线性积分方程波动方程波动方程 (双曲型偏微分方程双曲型偏微分方程)恒定场方程恒定场方程(椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程)输运方程输运方程 (抛物型偏微分方程抛物型偏微分

5、方程)非线性方程非线性方程 线性方程线性方程 数数理理方方程程数理方程分类数理方程分类 物理的实践验证观点经常被数学所运用。同理，物理的实践验证观点经常被数学所运用。同理，数学的严谨数学的严谨推理和周密分析方法也应为物理所借鉴推理和周密分析方法也应为物理所借鉴线性偏微分方程线性偏微分方程数理方程1.1、概述、概述共性共性：数理方程是把物理规律用数学语言描述出来，也就是研究：数理方程是把物理规律用数学语言描述出来，也就是研究某个物理量在空间的分布规律和随时间变化的规律。简单地说，某个物理量在空间的分布规律和随时间变化的规律。简单地说，就是用数学物理方程表达物理规律。就是用数学物理方程表达物理规律

6、。这种物理规律反映的是同一这种物理规律反映的是同一类物理现象的共同规律，也就是所谓的共性。类物理现象的共同规律，也就是所谓的共性。个性个性：但同一类物理现象中，各个具体问题又具有特殊性，也就：但同一类物理现象中，各个具体问题又具有特殊性，也就是所谓的个性。例：半导体扩散工艺有两种工艺，一种是是所谓的个性。例：半导体扩散工艺有两种工艺，一种是“恒定恒定表面浓度扩散表面浓度扩散”；另一种是；另一种是“限定源扩散限定源扩散”泛定方程泛定方程：在数学上同一类物理现象的共性称为泛定方程。：在数学上同一类物理现象的共性称为泛定方程。数理方程初始条件初始条件：为了求解物理量随时间的变化问题，还要考虑研究对象

7、的特定历：为了求解物理量随时间的变化问题，还要考虑研究对象的特定历史，也就是早先某个所谓的初始状态，也即初始条件。史，也就是早先某个所谓的初始状态，也即初始条件。定解问题定解问题：边界条件和初始条件反映了具体问题的特定环境和历史，也即个性。：边界条件和初始条件反映了具体问题的特定环境和历史，也即个性。在数学上，边界条件和初始条件合称为在数学上，边界条件和初始条件合称为定解条件定解条件。把在给定的定解条件下求解数。把在给定的定解条件下求解数学物理方程称为数学物理定解问题或简称为学物理方程称为数学物理定解问题或简称为定解问题定解问题。边界条件边界条件：为了求解具体的物理问题，还要研究物理量受周围环

8、境的影响，而：为了求解具体的物理问题，还要研究物理量受周围环境的影响，而周围环境影响总是通过边界才传给研究对象的，因此周围环境的影响体现于边周围环境影响总是通过边界才传给研究对象的，因此周围环境的影响体现于边界所处的物理状况，这就是边界条件界所处的物理状况，这就是边界条件。数理方程1.21.2、数学物理方程的导出、数学物理方程的导出数学物理方程是把物理规律用数学语言表达出来（数学物理方程是把物理规律用数学语言表达出来（物理问题的物理问题的数学建模数学建模）(1)(1)首先确定所研究的物理量首先确定所研究的物理量(2)(2)根据物理根据物理规规律分析微元和相律分析微元和相邻邻部分的相互作用部分的

9、相互作用(抓住主要抓住主要影响，忽略次要影响影响，忽略次要影响)，这这种相互作用在一个短种相互作用在一个短时间时间段里如何段里如何影响物理量影响物理量(3)(3)用数学用数学语语言表达出言表达出这这种相互影响，种相互影响，经简经简化整理就得到数化整理就得到数学物理方程。学物理方程。数学物理方程的导出步骤为：数学物理方程的导出步骤为：数理方程受迫振动方程受迫振动方程 自由振动方程自由振动方程 一、波动方程一、波动方程(弦振动方程弦振动方程)问题问题1 1：均匀弦的微小横振动：均匀弦的微小横振动 数理方程RdxCdxGdxLdxdxx+x理理 想想 传传 输输 线线 电报方程电报方程问题问题2 2

10、：传输线方程：传输线方程数理方程问题问题3 3：电磁波波动方程：电磁波波动方程Maxwell Equations结构方程结构方程数理方程数理方程二、输运方程二、输运方程问题问题1 1：扩散方程：扩散方程扩扩散散：就是由于：就是由于浓浓度的不均匀使得物度的不均匀使得物质质从从浓浓度高的地方流入度高的地方流入浓浓度低的地方；度低的地方；应应用：制作半用：制作半导导体器件就是常用体器件就是常用扩扩散法；散法；输运方程输运方程扩散定律扩散定律：那么那么浓浓度的不均匀程度可以用度的不均匀程度可以用浓浓度梯度度梯度表示；表示；扩散梯度扩散梯度：在扩散问题中研究的是浓度：在扩散问题中研究的是浓度 在空间中的

11、分布和随时间的变化在空间中的分布和随时间的变化扩扩散散强强度度：扩扩散运散运动动的的强强度可用度可用扩扩散散强强度度表示，也即定表示，也即定义为义为单单单单位位位位时间时间时间时间内通内通内通内通过过过过单位横截面积单位横截面积单位横截面积单位横截面积的原子或分子或质量。的原子或分子或质量。数理方程问题问题2 2：热传导方程：热传导方程 类类似于似于扩扩散，温度不均匀散，温度不均匀时时，热热量从温度高的地方向温度低的地方量从温度高的地方向温度低的地方转转移，移，这这就是就是热传导问题热传导问题。此。此时时要研究的是温度在空要研究的是温度在空间间的分布和随的分布和随时间时间的的变变化化热传导定律

12、热传导定律:物体内存在热源时得非齐次偏微分方程物体内存在热源时得非齐次偏微分方程数理方程三、恒定场方程三、恒定场方程所谓的恒定场就是场量所谓的恒定场就是场量不随时间变化不随时间变化，而只与空间变量有关系，而只与空间变量有关系(U(U(x,y,zx,y,z)。问题问题1 1：静电场：静电场静静电场电场表明表明电场电场强强度度 与与时间时间无关，那么麦克斯无关，那么麦克斯韦韦方程方程组组Possion Equation Lapalce EquationPossion EquationLapalce Equation数理方程波动方程、输运方程、恒定场方程之间有什么关系？波动方程、输运方程、恒定场方程

13、之间有什么关系？u亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程时谐场函数的波动方程退化为亥姆霍兹方程时谐场函数的波动方程退化为亥姆霍兹方程数理方程1.3、定解条件、定解条件定解条件定解条件初始条件初始条件边界条件边界条件衔接条件衔接条件1 1、初始条件、初始条件 对对输输运方程运方程(扩扩散、散、热传导热传导)，初始状，初始状态态是指所研究的物理量是指所研究的物理量 的初始分布的初始分布(比如初始浓度分布、初始温度分布比如初始浓度分布、初始温度分布)，因此初始条件为：，因此初始条件为：对对波动方程波动方程(弦、杆、传输线和电磁波弦、杆、传输线和电磁波)，不仅需要给出初始，不仅需要给出初始“位移位移”，还要，还要给

14、出初始给出初始“速度速度”对对稳定场方程稳定场方程呢？呢？数理方程例：例：一根长为一根长为 ，两端固定的弦，用手把中点拉开，然后任其振，两端固定的弦，用手把中点拉开，然后任其振动动，如，如图图所示。所示。此此时时初始条件就是放手的那个瞬初始条件就是放手的那个瞬间间弦的位移和速度。弦的位移和速度。初始速度和初始位移分别为初始速度和初始位移分别为:0=xlx=2lx=hxu数理方程2 2、边界条件、边界条件边界条件：边界条件：研究具体的物理系统，还要考虑研究对象所处的特定研究具体的物理系统，还要考虑研究对象所处的特定“环境环境”，而周围，而周围 环境的影响常体现为边界上的物理状况。（可分为环境的影

15、响常体现为边界上的物理状况。（可分为三类三类）第一类边界条件第一类边界条件(Dirichlet(Dirichlet 问题）问题）：直接规定了所研究的物理量在边界上的数值：直接规定了所研究的物理量在边界上的数值 (2)细杆导热问题边界条件：杆的一端点细杆导热问题边界条件：杆的一端点 的温度的温度 按已知的规律按已知的规律 变化，则该变化，则该 端点的边界条件为端点的边界条件为(1)(1)弦振弦振动问题动问题的的边边界条件：弦的两端界条件：弦的两端和和固定而振固定而振动动，则边则边界条件分界条件分别为别为(3)恒定表面浓度扩散问题：硅片边界就是其表面恒定表面浓度扩散问题：硅片边界就是其表面 和和，

16、边界上的物理状况为，边界上的物理状况为数理方程第二类边界条件（第二类边界条件（NeumannNeumann问题）问题）:规定了所研究的物理量在边界外法线方向上规定了所研究的物理量在边界外法线方向上 方向导数的数值方向导数的数值 (1)纵振动的杆问题：杆的某个端点纵振动的杆问题：杆的某个端点 受有沿端点外法线方向的外力受有沿端点外法线方向的外力 根据胡根据胡 克定律，该端点的张应力与外力的关系为克定律，该端点的张应力与外力的关系为:(2)(2)细杆导热问题：若杆的某个端点细杆导热问题：若杆的某个端点 有热流有热流 沿该端点外法线方向流出，根据沿该端点外法线方向流出，根据热传导定律，则边界条件为：

17、热传导定律，则边界条件为：若热流若热流f(t)f(t)是流入，则边界条件为是流入，则边界条件为:若端点绝热，则若端点绝热，则：数理方程第三类边界条件：第三类边界条件：规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上 的数值。的数值。H为常系数。为常系数。(1)(1)细杆导热问题：细杆导热问题：杆的某端点杆的某端点 自由冷却，即杆端和周围温度按照牛顿冷却定律交换热量，则自由冷自由冷却，即杆端和周围温度按照牛顿冷却定律交换热量，则自由冷 却规定了从杆端流出的热流强度却规定了从杆端流出的热流强度 与温度差与温度差 之间的关系为之间的关系为:h

18、h为杆端与周围介质的热交换系数为杆端与周围介质的热交换系数,对杆的两端都是自由冷却，那么在对杆的两端都是自由冷却，那么在 端，外法端，外法向向n n就是就是x方向，而在方向，而在 端，外法向端，外法向n就是就是-x方向，则自由冷却条件分别表示为：方向，则自由冷却条件分别表示为：数理方程3 3、定解问题泛定方程、定解问题泛定方程+定解条件定解条件定解问题定解问题长为长为 的细弦两端固定，开始时在的细弦两端固定，开始时在 处受到冲量处受到冲量 的作用的作用 定解问题的适定性定解问题的适定性：解的存在性、解的唯一性和解的稳定性；：解的存在性、解的唯一性和解的稳定性；若若 一个定解问题存在唯一且稳定的

19、解，则此问题称为适定的。一个定解问题存在唯一且稳定的解，则此问题称为适定的。数理方程例例1：试给出一个由下列定解问题描述的物理模型：试给出一个由下列定解问题描述的物理模型：例例2、设一圆膜边界固定，周围介质阻力可忽略不、设一圆膜边界固定，周围介质阻力可忽略不计，且该膜初始偏移与速度均为径向对称分布，试给计，且该膜初始偏移与速度均为径向对称分布，试给出描述由此初始状态引起的膜的微小振动的定解问题。出描述由此初始状态引起的膜的微小振动的定解问题。数理方程数理方程(a)(第一第一类边类边界条件界条件)(b)因为当沿杆长方向有热量流动时由因为当沿杆长方向有热量流动时由Fourier热传导定律（即热流强

20、度热传导定律（即热流强度 ）有）有（c）显然，此时有）显然，此时有可看可看为为第三第三类边类边界条件界条件 例例3 3、考虑长为、考虑长为 的均匀杆的导热问题，写出以下三种情况下的边界条件的均匀杆的导热问题，写出以下三种情况下的边界条件 （a）杆的两端温度保持零度；）杆的两端温度保持零度；（b）杆的两端均绝热；）杆的两端均绝热；(c)杆的一端为恒温零度，另一端绝热；杆的一端为恒温零度，另一端绝热；解：设杆的温度为解：设杆的温度为 数理方程例例4、试给出一个由下列定解问题描述的物理模型：、试给出一个由下列定解问题描述的物理模型：例例5、有一长为、有一长为 的均匀细杆，侧面与外界无热交换，杆内有强

21、度随时间变化的均匀细杆，侧面与外界无热交换，杆内有强度随时间变化 的热源，设在同一截面上具有同一热源强度及初始温度，且杆的一端保持的热源，设在同一截面上具有同一热源强度及初始温度，且杆的一端保持 零度，另一端绝热，写出定解问题。零度，另一端绝热，写出定解问题。数理方程1.41.4、数学物理方程的分类、数学物理方程的分类 1 1、线性二阶偏微分方程模型的一般形式、线性二阶偏微分方程模型的一般形式 多自变量的线性二阶偏微分方程表示为多自变量的线性二阶偏微分方程表示为:该方程为齐次的该方程为齐次的该方程为非齐次的该方程为非齐次的方程线性、非线性如何判断？方程线性、非线性如何判断？数理方程2 2、两个

22、自变量的二阶线性偏微分方程的分类、两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类作自变量的代换作自变量的代换 数理方程把变换的新自变量把变换的新自变量代入原偏微分方程中得：代入原偏微分方程中得：形式相同形式相同适当选取适当选取 和和，使其满足下列一阶偏微分方程，使其满足下列一阶偏微分方程 原方程的特征方程原方程的特征方程数理方程特征方程对应的解为特征方程对应的解为:根据特征方程解的根号下符号划分偏微分方程的类型根据特征方程解的根号下符号划分偏微分方程的类型:积分得特征线积分得特征线数理方程(1)(1)双曲型方程双曲型方程 由特征方程可以得由特征方程可以得 那么特征线为那么特征线为:作为新的自变量作为新的

23、自变量,则则原偏微分方程化为双曲线方程的标准形：原偏微分方程化为双曲线方程的标准形：数理方程若再作自变量代换若再作自变量代换：利用变换关系，原方程变成：利用变换关系，原方程变成：这也是双曲线方程的标准形这也是双曲线方程的标准形(2)(2)抛物型方程抛物型方程 那么特征线是：那么特征线是：数理方程代代入入变变换换系系数数抛物型方程的标准形式抛物型方程的标准形式 数理方程(3)(3)椭圆型方程椭圆型方程由特征方程的解可以得到特征线为由特征方程的解可以得到特征线为:数理方程作代换：作代换：数理方程3 3、举例、举例例例1 1、讨论方程讨论方程 的类型，并化成标准型、求其通解。的类型，并化成标准型、求其通解。例例2、将将 化为标准型。化为标准型。例例3、将、将 化为标准型。化为标准型。例例4、设设有二有二阶阶方程方程，其中其中 为一数值参为一数值参数，求此方程的双曲型，椭圆型和抛物线型区域，并说明数，求此方程的双曲型，椭圆型和抛物线型区域，并说明 对这些区域的影响。对这些区域的影响。数理方程4 4、三类方程从数学角度的分类：、三类方程从数学角度的分类：数理方程Thanks for your attention!