2.7函数的连续性.ppt

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1、2.82.8函数的连续性函数的连续性一、连续函数的概念一、连续函数的概念二、函数的间断点二、函数的间断点三、连续函数的运算法则三、连续函数的运算法则四、在闭区间上连续函数的性质四、在闭区间上连续函数的性质五、利用函数连续性求函数极限五、利用函数连续性求函数极限一、连续函数的概念一、连续函数的概念 函数的连续性描述函数的渐变性态函数的连续性描述函数的渐变性态,在通常意义下，对函数连续性有三种在通常意义下，对函数连续性有三种描述：描述：当自变量有微小变化时，因变量的当自变量有微小变化时，因变量的 变化也是微小的；变化也是微小的；自变量的微小变化不会引起因变量的自变量的微小变化不会引起因变量的 跳变

2、；跳变；连续函数的图形可以一笔画成连续函数的图形可以一笔画成,不断开不断开.例如：例如：一、连续函数的定义一、连续函数的定义注意注意1注意注意2连续函数的定义等价刻画连续函数的定义等价刻画例例1 1证证由定义知由定义知定义定义2：（函数在一点的单侧连续性）函数在一点的单侧连续性）定理定理右连续：左连续：连 续：定义定义3：（函数在区间上的连续性）函数在区间上的连续性）二、函数的间断点二、函数的间断点情形1：左右极限同时存在的间断点情形2：左右极限不同时存在的间断点二、间断点的分类二、间断点的分类狄利克雷函数狄利克雷函数在定义域在定义域R内每一点处都间断内每一点处都间断,且都是第二类间且都是第二

3、类间断点断点.仅在仅在x=0处连续处连续,其余各点处处间断其余各点处处间断.一些奇怪的非连续函数可去型可去型第第一一类类间间断断点点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第第二二类类间间断断点点oyxoyxoyx间断点类型总结思考题思考题思考题解答思考题解答且且但反之不成立但反之不成立.例例但但定理定理1 1三、连续函数的四则运算三、连续函数的四则运算1.1.有界性定理：有界性定理：2.最大最小值定理：最大最小值定理：四、闭区间上连续函数的性质四、闭区间上连续函数的性质3.3.零点定理：零点定理：4.4.介值定理：介值定理：推论：推论：f(x)g(x)证证构造辅助函数构造辅助函数 介值定理

4、的证明介值定理的证明例例1 1证证由零点定理由零点定理,则有则有且且 证证 证证 五、利用函数连续性求函数极限五、利用函数连续性求函数极限例1 求 解例例2 求求 解解（这里用到了连续函数取极限与函数运算可这里用到了连续函数取极限与函数运算可以交换的性质以交换的性质）例例3 求证求证：当当 时时 证证：当当 时，时，连续函数小结连续函数小结一、连续函数的概念一、连续函数的概念 1.在一点的连续性（左连续，右连续）在一点的连续性（左连续，右连续）2.在区间上的连续性（开区间，闭区间）在区间上的连续性（开区间，闭区间）二、函数的间断点二、函数的间断点 1.第一类间断点（可去，跳跃）第一类间断点（可去，跳跃）2.第二类间断点第二类间断点三、连续函数的四则运算三、连续函数的四则运算四、在闭区间上连续函数的性质四、在闭区间上连续函数的性质 1.最大值最小值的存在性最大值最小值的存在性 2.有界性有界性 3.介值定理（零点定理）介值定理（零点定理）五、利用函数连续性求函数极限五、利用函数连续性求函数极限