2.6函数连续性.ppt

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1、2.6函数的连续性函数的连续性2.6.1函数连续性的概念函数连续性的概念2.6.2函数的间断点函数的间断点2.6.3连续函数的运算法则连续函数的运算法则2.6.4初等函数的连续性初等函数的连续性2.6.5闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 1可见,函数在点2.6.1 函数连续性的概念函数连续性的概念定义定义1:在的某邻域内有定义,则称函数(1)在点即(2)极限(3)设函数连续必须具备下列条件:存在;且有定义,存在;2例例1 1解解3例例2 2证证由定义由定义1知知4对自变量的增量有函数的增量左连续右连续函数在点连续有下列等价命题:定义定义2:5定义定义3 3：单侧连续：单侧连续定理定

2、理6例例3 3解解右连续但不左连续右连续但不左连续,7连续函数与连续区间连续函数与连续区间连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如例如,若在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上连续,或称它为该区间上的连续函数连续函数.定义定义4:在闭区间上的连续函数的集合记作基本初等函数在定义区间内连续基本初等函数在定义区间内连续8在在2.6.2 函数的间断点函数的间断点(1)函数(2)函数不存在;(3)函数存在,但 不连续:设在点的某去心邻域内有定义,则下列情形这样的点之一函数 f(x)在点虽有定义,但虽有定义,且称为间断点间断点.在无定义;定义定义5:10间断点

3、分类间断点分类:第一类间断点第一类间断点:及均存在,若称若称第二类间断点第二类间断点:及中至少一个不存在,称若其中有一个为振荡,称若其中有一个为为可去间断点可去间断点.为跳跃间断点跳跃间断点.为无穷间断点无穷间断点.为振荡间断点振荡间断点.11为其无穷间断点.为其振荡间断点.为可去间断点.例如例如:12显然为其可去间断点.(4)(5)为其跳跃间断点.13注意注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点不要以为函数的间断点只是个别的几个点.在在x=k各点处间断各点处间断.142.6.3连续函数的运算法则连续函数的运算法则定理定理1：在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积,(利用极限的四则运算法则

4、证明)商(分母不为 0)运算,结果仍是一个在该点连续的函数.定理定理2：连续函数的复合函数是连续的.定理定理3：连续单调递增 函数的反函数(递减).(证明略)递增(递减)也连续单调在上连续 单调 递增,其反函数在上也连续单调递增.又如又如,例如例如,在上连续单调递增，其反函数在 1,1 上也连续单调递增.152.6.4初等函数的连续性初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续例如例如,的连续区间为(端点为单侧连续)的连续区间为的定义域为因此它无连续点而16初等函数在定义区间内可以利用连续性求极限初等函数在定义区间内可以

5、利用连续性求极限即直接代入法即直接代入法172.6.5 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 定义定义6:6:例如例如,19注意注意:若函数在开区间上连续,结论不一定成立.在闭区间上连续的函数即:设则使值和最小值.或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大(证明略)点,定理定理5(最大值和最小值定理最大值和最小值定理)20例如例如,无最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如又如,推论：推论：由定理 1 可知有证证:设上有界.在闭区间上连续的函数在该区间上有界.21定理定理6（介值定理）介值定理）几何解释几何解释:推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大在闭区间上连续的函数必取得介于最

6、大值值 与最小值与最小值 之间的任何值之间的任何值.22几何解释几何解释:定义定义:23例例1 1证证由零点定理由零点定理,24例例2 2证证由零点定理由零点定理,辅助函数的作法辅助函数的作法（1）将结论中的）将结论中的(或或x0或或c)改写成改写成x（2）移项使右边为）移项使右边为0，令左边的式子为，令左边的式子为F(x)则则F(x)即即为所求为所求25例例3 证证由由零点定理知零点定理知总之总之26内容小结内容小结左连续右连续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在 第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型在点连续的等价形式27基本初等函数在定义区间内在定义区间内连续连续函数的四则运算四则运算的结果连续连续函数的反函数反函数连续连续函数的复合函数复合函数连续初等函数在定义区间内连续说明说明:分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性.3.3.初等函数连续性初等函数连续性4.四个定理四个定理有界性定理有界性定理;最值定理最值定理;介值定理介值定理;根的存在性定理根的存在性定理.注意注意1闭区间；闭区间；2连续函数连续函数这两点不满足上述定理不一定成立这两点不满足上述定理不一定成立28备用题备用题 确定函数间断点的类型.解解:间断点为无穷间断点;故为跳跃间断点.29