7_1平面点集与多元函数.ppt

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1、第一节、多元函数的基本概念第一节、多元函数的基本概念二、多元函数的极限二、多元函数的极限一、多元函数概念一、多元函数概念三、多元函数的连续性三、多元函数的连续性四、小结、思考题四、小结、思考题五、作业五、作业 如，在平面直角坐标系下，第一象限内部如，在平面直角坐标系下，第一象限内部具有性质具有性质 坐标平面上具有坐标平面上具有某种性质某种性质称为称为平面点集平面点集，一、平面点集一、平面点集1.1.平面点集平面点集平面点集平面点集的点的集合，的点的集合，记作记作的所有点的集合为的所有点的集合为一正数，一正数，设设),(000yxP是是xoy平面上的一个点，平面上的一个点，是某是某d d的的全体

2、，全体，记作记作在在几何上几何上，就是就是平面上平面上的全体。的全体。为为中心、中心、为为半径的圆内部的点半径的圆内部的点以点以点2.邻域邻域称为称为即即),(000yxP距离小于距离小于d d的点的点),(yxP与点与点在在几何上，几何上，就是就是平面上以点平面上以点为为中心、中心、为为半径的圆内部除点半径的圆内部除点外的外的 的全体。的全体。邻域，记作邻域，记作的去心的去心点点),(d dd d00PUPo定义为定义为若若不需要强调邻域的半径不需要强调邻域的半径则则用用表示点表示点的的某个邻域，某个邻域，。是平面是平面P是平面是平面 上的一个点集，上的一个点集，设设 E上的一个点上的一个点

3、,下三种关系中的一种下三种关系中的一种:3.点与点集的关系点与点集的关系的的去心邻域，去心邻域，记作记作点点P 与点集与点集之间必有以之间必有以则点则点E的的内点内点。若存在点若存在点 P 的某一邻域的某一邻域使得使得则称则称 P 为为注：注：E的内点属于的内点属于E。P为为E的的外点外点。使得使得则则称称若存在点若存在点P的某一邻域的某一邻域注注：外点一定不属于外点一定不属于E。内点：内点：外点：外点：E，则称则称P为为E的的边界点边界点也也可以不属于可以不属于E),),（点（点P本身可以属于本身可以属于也有不属于也有不属于E的点的点E的点，的点，于于的的任一个邻域任一个邻域内既有属内既有属

4、如果点如果点 P记为记为 。边界点边界点:E的边界点的全体称为的边界点的全体称为E的的边界边界，若点若点 的的任何去心邻域任何去心邻域 内内 总有总有 中的点，中的点，则称则称 是是 的的聚点聚点。聚点也可定义为：聚点也可定义为：若点若点 的任何邻域的任何邻域 内内都含有点集都含有点集 的无穷多个点，的无穷多个点，的聚点。的聚点。注：注：聚点：聚点：为为则称则称也可以不属于也可以不属于E。聚点可以属于聚点可以属于E,如：设平面点集如：设平面点集满足满足的的一切点一切点都是都是 的的它们不属于它们不属于 ；满足满足内点内点；满足满足的的一切点一切点都是都是 的的的的一切点一切点也都是也都是点集点

5、集 的内点以及它的的内点以及它的于于 ；的的边界点边界点，边界点边界点，它们都属它们都属聚点聚点。上的一切点都是上的一切点都是 的的边界边界 若点集若点集 的的所有点所有点都是都是 的的内点内点，称称 为为开集开集。若点集若点集 的余集的余集 为为开集开集，若点集若点集E 的的每个聚点都属于每个聚点都属于E,如：集合如：集合是开集；是开集；4.平面区域平面区域开集：开集：闭集闭集：则称则称 为为闭集闭集。则则则称则称E 闭集闭集。闭集闭集也可定义为：也可定义为：既非既非开集，也非闭集。开集，也非闭集。的两个的两个注注：和空集和空集 是平面上唯一是平面上唯一闭集；闭集；集合集合是是而集合而集合既

6、是开集又是闭集的点集。既是开集又是闭集的点集。若点集若点集 E 内任何两点，内任何两点，线线连结起来，连结起来，则则称称E为为连通集连通集。开集称为开集称为区域或开区域区域或开区域。开区域连同它的边界开区域连同它的边界一起所构成的点集称为一起所构成的点集称为闭区域闭区域。连通集连通集：连通的连通的区域（或开区域）区域（或开区域）：闭区域闭区域：都可以用折都可以用折且该且该折线上的所有点都属于折线上的所有点都属于E，如：集合如：集合是是集合集合集合集合不是区域不是区域。开区域开区域；闭区域闭区域；是是对于平面点集对于平面点集 E，使得使得 ，称称 E 为为有界集有界集。若一个集合不是有界集，若一

7、个集合不是有界集，集合为集合为无界集无界集。是是有界区域有界区域；有界集有界集：则则无界集无界集：如：集合如：集合若存在某正数若存在某正数 r，其中其中O 是坐标原点，是坐标原点，则称这个则称这个无界开区域无界开区域；无界闭区域无界闭区域。集合集合是是集合集合是是二二 维空间维空间 数轴数轴 点集，邻域，区间，距离点集，邻域，区间，距离 平面平面 点集，邻域，区域，距离点集，邻域，区域，距离 空间空间 点集，邻域，距离点集，邻域，距离设设n为取定的一个自然数，为取定的一个自然数，的全体所构成的集合，的全体所构成的集合，元有序数组元有序数组即即维向量维向量，n通常也可用通常也可用 表示，表示，中

8、的元素中的元素),(21nxxx称为称为的的一个点一个点 或或一个一个ix称为该点的第称为该点的第i个个坐标坐标或或 维向量的第维向量的第 个个数数分量分量。维空间维空间即即n 表示表示我们用我们用中点中点和点和点间的间的距离距离，规定规定中元素中元素与零元与零元之间的距离之间的距离记作记作（在（在中，通常记中，通常记作作），），记作记作即即设设为某一为某一正数，正数，则则维维空间内的点集空间内的点集邻域。邻域。称为称为中中点点的的设设若若则称变则称变元元 在在 中中趋于固定元趋于固定元 ，显然，显然，记作记作三、多元函数的概念三、多元函数的概念1.1.引例引例:圆柱体的体积圆柱体的体积 定量

9、理想气体的压强定量理想气体的压强2.二元函数的定义二元函数的定义为为定义在定义在D D上的上的二元函数二元函数，或或相对应的因变量相对应的因变量的的值，值，的的函数值函数值，通常记为通常记为定义域定义域因变因变量量自变量自变量的一个非空子集，的一个非空子集，设设D D是是与自变量与自变量 x,y的一对值的一对值在点在点处处也称为也称为记作记作的的 值域值域值域值域称为函数称为函数若若存在一个对应法存在一个对应法则则 f,使得使得有有唯一确定唯一确定的的与之对应与之对应,则称则称例例1 1解解所求所求定义域定义域为为的定义域的定义域求求设函数设函数),(yxfz=的定义域为的定义域为D，时，时，

10、这个点集称为这个点集称为二元函数的图形二元函数的图形。当当x取遍取遍D D上一切点上一切点3 3 二元函数二元函数 的图形的图形对于任意对于任意得一个空间点集得一个空间点集 取定的取定的，对应的函数值为，对应的函数值为在空间就确定一点在空间就确定一点这样，以这样，以x为横坐标、为横坐标、y为纵坐为纵坐 标、标、z z为竖坐标为竖坐标二元函数二元函数 z=f(x,y),(x,y)D的图形一般为空间曲面的图形一般为空间曲面 .二元函数的图形通常是二元函数的图形通常是一张曲面一张曲面.例如例如,二元二元函数函数定义域定义域为为圆域圆域图形图形为中心在原点的上半球面为中心在原点的上半球面.例如例如注意：注意：在第一卦限的部分在第一卦限的部分定义定义.设非空点集设非空点集点集点集 D 称为函数的称为函数的定义域定义域;数集数集称为函数的称为函数的值域值域.当当 n=3 时时,有三元函数有三元函数映射映射称为定义称为定义在在 D 上的上的 n 元函数元函数,记作记作4.多元函数的定义多元函数的定义1.区域区域 邻域邻域:区域区域连通的开集连通的开集2.二元函数概念二元函数概念五、小结五、小结