5.3置信区间.ppt

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1、 5.3 置信区间 一、置信区间的概念 二、寻求置信区间的方法 三、正态总体参数的置信区间 四、大样本情形的渐近置信区间 一、置信区间的概念定义55(置信区间)一、置信区间的概念定义55(置信区间)二、寻求置信区间的方法 例512 设总体XN(2)2已知 未知(X1 Xn)为来自X的样本 试求的1置信区间 二、寻求置信区间的方法 例512 设总体XN(2)2已知 未知(X1 Xn)为来自X的样本 试求的1置信区间 二、寻求置信区间的方法 例512 设总体XN(2)2已知 未知(X1 Xn)为来自X的样本 试求的1置信区间 二、寻求置信区间的方法 例512 设总体XN(2)2已知 未知(X1 X

2、n)为来自X的样本 试求的1置信区间 求未知参数的置信区间的一般步骤 解 又由2分布的可加性得 解 经不等式变形得 解 三、正态总体参数的置信区间1 均值的置信区间(1)方差 2已知的情形 根据例512 在 2已知的条件下 的1置信区间为 由题意知n36 450 005 解 于是查表得 u/2196 从而的95%置信区间为 这里要注意(5293 5587)是一个普通区间“属于该区间”这件事情的可信程度为95%或该区间属于那些套住的区间的概率为95%例515 设总体XN(2)其中未知 24 设(X1 Xn)为其一个样本 (1)当n16时 试求置信水平分别为09及095的的置信区间的长度 (2)n

3、多大方能使的90%置信区间的长度不超过1?(3)n多大方能使的95%置信区间的长度不超过1?(1)记的置信区间长度为 则 解 例515 设总体XN(2)其中未知 24 设(X1 Xn)为其一个样本 (1)当n16时 试求置信水平分别为09及095的的置信区间的长度 (2)n多大方能使的90%置信区间的长度不超过1?(3)n多大方能使的95%置信区间的长度不超过1?解 也就是说 样本容量n至少为44时 的90%置信区间的长度才不超过1 n(22165)2 即n44 (3)当195%时 类似可得n61 (1)当190%时 1.65 当195%时 1.96 (2)方差 2未知的情形 在 2未知的情况

4、下 的1置信区间为 2 方差 2的置信区间 在未知时 2的1置信区间为 标准差的1置信区间为 在已知时 2的1置信区间为 2 方差 2的置信区间 在未知时 2的1置信区间为 例516 为考察某大学成年男性的胆固醇水平 现抽取了样本容量为25的一个样本 并测得样本均值为x186 样本标准差为s12 假定胆固醇水平XN(2)与 2均未知 分别求以及的90%置信区间 查表得t/2(251)t0.05(24)从而的90%置信区间为(1864106)即(18189 19011)解 1.7109 于是 例516 为考察某大学成年男性的胆固醇水平 现抽取了样本容量为25的一个样本 并测得样本均值为x186

5、样本标准差为s12 假定胆固醇水平XN(2)与 2均未知 分别求以及的90%置信区间 解 查表得 从而的90%置信区间为(974 1580)四、大样本情形的渐近置信区间 如果枢轴量的分布不易确定 有时可用极限分布来构造近似的置信区间 当然此时要求样本容量足够大 近似置信区间的求法与精确的置信区间求法类似 不同的只是将枢轴量的精确分布改为极限分布 例517 设总体X服从参数为p的两点分布 p未知 0p1(X1 Xn)为其样本 试求p的置信区间 解 我们知道p的最大似然估计量为X 基于X考虑 根据定理310知当n足够大时u近似服从N(0 1)分布 例517 设总体X服从参数为p的两点分布 p未知

6、0p1(X1 Xn)为其样本 试求p的置信区间 解 对给定的置信水平1 由经不等式变形得 Pap2bpc01 其中 又由a0知ap2bpc0等价于p1pp2 其中总之 对给定的1 存在p1与p2使 P(p1pp2)1 于是(p1 p2)是p的一个置信水平近似为1的置信区间 说明 在实际问题中 两点分布的未知参数p的置信区间 往往采用下面简化的区间 例518 为了研究在一指定时间段内某地区的国际互联网用户所占的比例 随机地调查了该地区的400名居民 发现其中有108名居民为上网者 试求该地区居民的上网率p的95%置信区间 由题意知总体服从01分布 参数p即上网率 p的置信水平近似为1的置信区间是

7、 解 置信区间为 即(023 031)如果一个总体X 其均值与方差 2是两个独立的参数 或者我们根本就不知道X的分布类型 那么在大样本情形 对参数或 2的区间估计完全类似于正态总体情形 只不过那里枢轴量的精确分布在这里均变为渐近分布 相应的置信区间变为近似的置信区间 例如 2未知 求的区间估计 由定理44 当样本容量n充分大时 枢轴量 渐近服从N(0 1)于是的近似置信区间为 大样本情形下均值与方差的区间估计 例519 某类设备所需的关键部件的连续使用寿命X(单位 kh)所服从的分布类型尚不清楚 通过加速失效试验法 测试100个此类部件的连续使用寿命 测得样本平均值为x17.84 样本标准差为s125 试由试验结果求EX的置信水平为99%的近似置信区间 由 题 设 x17.84 s125 n100 解 计算可得查附表u/2 2.56 给定001 故的置信水平为99%的近似置信区间为(1752 1816)