函数单调性判定与极值问题.ppt

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1、上次作业中的问题解.分析：解.解.函数的单调性与极值函数的单调性与极值极限的基本性质复习简证：类似地可以证明 的情形证：（反证法）与已知条件矛盾。当 时，当 时，一、利用导数的符号判断单调性一、利用导数的符号判断单调性v 定理1(函数单调性的判定法)设函数f(x)在a b上连续 在(a,b)内可导 (1)如果在(a b)内f (x)0 则f(x)在a b上单调增加 (2)如果在(a b)内f (x)0 则f(x)在a b上单调减少 此定理不论对于开、闭、有限或无穷区间都正确.注由拉格朗日中值公式 有 f(x2)f(x1)=f ()(x2 x1)(x10 x2 x10 所以所以 f(x2)f(x

2、1)f ()(x2 x1)0 即 f(x1)f(x2)这就证明了函数f(x)在a b上单调增加 证明 只证(1)在a b上任取两点x1 x2(x1x2)LagrangeLagrange定理定理xf (x)f(x)例1 确定函数 f(x)2x3 9x2 12x 3 的单调区间 解 这个函数的定义域为()f (x)6x2 18x 12 6(x 1)(x 2)导数为零的点为x1 1,x2 2 列表分析 函数 f(x)在区间(1和2)上单调增加 在区间1 2上单调减少(1)(1 2)(2)y 2x3 9x2 12x 3解.导数为零的点为x1 0 导数不存在的点为x2 1,x3-1.证.类似地证明：(1

3、)确定函数的定义域 (2)求出导数 f(x)(3)求出 f(x)全部零点和不可导点 (4)判断或列表判断 (5)综合结论 确定函数单调区间的步骤二、极值点与极值二、极值点与极值“峰”和“谷”极值定义 设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义.(1)若对该邻域内任意一点xx0,恒有f(x)f(x0),则称f(x0)为f(x)的极小值极小值,点x0为f(x)的极小值点极小值点；函数的极大值和极小值统称为函数的极值极值.极大值点和极小值点统称为极值点极值点.极值是函数的极值是函数的局部性概念局部性概念，与最值不同；，与最值不同；极大值可能小于极小值极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值.注注定理定理（极值点的必要条件）设函数 f(x)在点x0的某邻域U内有定义，点x0 0是f(x)极值点的必要条件是：或证.证完问题问题（定理）设函数 f(x)在点x0的某邻域U内有定义，点x0 0是f(x)极值点的必要条件是：或这是不一定的！这是不一定的！例如，在 点定理定理（极值点的充分条件）充分条件充分条件 I 求求极值的步骤极值的步骤:例例4 4解解列表讨论列表讨论极极大大值值极极小小值值例例5 5解解充分条件充分条件 II证.由二阶导数以及驻点的定义，可知以下步骤 略例例6 6解解作业习题四A组1415（2）16（4）17（3）