概率论与数理统计复习题.doc

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1、概率论与数理统计复习题一：全概率公式和贝叶斯公式例1：某厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，它们的产量之比为3：2：1，各车间产品的不合格率依次为8，9%, 12% 。现从该厂产品中任意抽取一件，求：（1）取到不合格产品的概率；（2）若取到的是不合格品，求它是由甲车间生产的概率。（类似题目：同步42页四、1，同步44页三、1，同步45页三、1）解：设A1，A2，A3分别表示产品由甲、乙、丙车间生产，B表示产品不合格，则A1，A2，A3为一个完备事件组。P(A1)=1/2, P(A2)=1/3, P(A3)=1/6,P(B| A1)0.08，P(B| A2)0.09，P(B| A3)0.12。

2、由全概率公式P(B)= P(BA1+ BA2+ BA3)= P(BA1)+ P( BA2)+ P( BA3)= P(A1)P(B| A1)+ P(A2)P(B| A2)+ P(A3)P(B| A3)=0.09由贝叶斯公式：P(A1| B)P(A1B)/P(B)=4/9练习：设两箱内装有同种零件，第一箱装50件，有10件一等品，第二箱装30件，有18件一等品，先从两箱中任挑一箱，再从此箱中前后不放回地任取2个零件，求：（同步28页三、5）（1）先取出的零件是一等品的概率；（2）在先取的是一等品的条件下，后取的仍是一等品的条件概率。解：设事件=从第i箱取的零件，=第i次取的零件是一等品（1）P()

3、=P()P(|)+P()P(|)=（2）P()=,则P(|)=0.485 练习：市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货，其供应量第一厂家为第二厂家的2倍，第二、三两厂家相等，而且第一、二、三厂家的次品率依次为2，2，4 。若在市场上随机购买一件商品为次品，问该件商品是第一厂家生产的概率是多少？ 【 0.4 】二、连续型随机变量的综合题例：设随机变量X的概率密度函数为求：（1）常数k；（2）EX；(3)P1X3；（4）X的分布函数F(x) 解（类似题目：同步44页三、2，同步42页三、3）练习：已知随机变量X的密度函数为且E(X)=7/12。求：（1）a , b ；（2）X的分布函数F(x) 练

4、习：已知随机变量X的密度函数为求：（1）X的分布函数F(x) ；（2）P0.3X2三、离散型随机变量的密度函数和分布函数例：设X的分布函数F(x)为： , 则X的概率分布为（ ）。分析：其分布函数的图形是阶梯形，故x是离散型的随机变量答案： P(X=-1)=0.4,P(X=1)=0.4,P(X=3)=0.2.练习：设随机变量X的概率分布为P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.3,P(X=3)=0.5,写出其分布函数F(x)。四、二维连续型随机向量例：（同步34页三、2）设随机向量(X,Y)的概率密度函数(1)求X，Y的边缘分布；（2）判断X，Y是否相互独立；（3）求概率(3)要求画出密度函数

5、不为0的积分区域的图形练习：将f(x,y)改为练习：设二元随机变量（X，Y）的联合密度是求：（ 1）关于X的边缘密度函数f X(x)；（2）PX50，Y50（同步44页三、4）例：设与相互独立，且服从的指数分布，服从的指数分布，试求：（1）联合概率密度与联合分布函数；（2）；（3）在取值的概率。 ；五、二维离散型随机向量设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机向量(X,Y)的联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值,试将其他数值填入表中的空白处。 答案： 六、协差矩阵记住以下公式：D(aX+bY )=a2DX+b2DY+2abcov(X,Y)D(XY)=DX+DY2cov(X,Y

6、)cov(Z,aX+bY)=acov(Z,X)+bcov(Z,Y)例：已知随机向量（X,Y）的协差矩阵V为计算随机向量（XY, XY）的协差矩阵。解：DX=4, DY=9, COV(X,Y)=6D(XY)= DX + DY +2 COV(X,Y)=25D(X-Y)= DX + DY -2 COV(X,Y)=1COV（XY, XY）=DX-DY=-5故（XY, XY）的协差矩阵练习：随机向量（X,Y）服从二维正态分布，均值向量及协差矩阵分别为,计算随机向量（9XY, XY）的协差矩阵解：D(9XY)=81DX + DY +18 COV(X,Y)=8112181222D(XY)= DX + DY

7、2 COV(X,Y)=1221222COV（9XY, XY）=9DX-DY8 COV(X,Y)= 91281222然后写出它们的矩阵形式（略）七、随机变量函数的密度函数例：设随机变量的概率密度函数为（ ）。A、B、C、D、(B) 例：设XU(0,2),则Y=在(0,4)内的概率密度（ ）。 答案 填：分析：当0y4时， =注：由于Y=在(0,4)内是单调函数，可直接用公式做！练习：设随机变量X在区间1，2上服从均匀分布，求Y=的概率密度f(y)。答案：当时，f(y)=，当y在其他范围内取值时，f(y)=0.七、最大似然估计例：设总体X的概率密度为 其中未知参数，是取自总体的简单随机样本，用极大

8、似然估计法求的估计量。解：设似然函数对此式取对数，即：且令可得，此即的极大似然估计量。*例：设总体的概率密度为 据来自总体的简单随机样本，求未知参数最大似然估计量。解：由得总体的样本的似然函数 再取对数得： 再求对的导数：令，得所以未知参数的最大似然估计量为。*例：设某种元件的使用寿命X的概率密度为 其中为未知参数。由设是X的一组样本观测值，求参数的最大似然估计值。解：似然函数为： 取对数得 由于，则单调增加，因必须满足因此当取中的最小值时，取最大值，所以的最大似然估计值为：=min练习：设总体X的密度函数为x1,x2,xn是取自总体的一组样本，求参数的最大似然估计。八、中心极限定理例：设对目

9、标独立地发射400发炮弹，已知每一发炮弹地命中率等于0.2。请用中心极限定理计算命中60发到100发的概率。解：设X表示400发炮弹的命中颗数，则X服从B(400,0.2),EX=80，DX=64,由中心极限定理：P60X100=P-2.5(X-80)/896)=1-P(X 96)=1-()=0.023,即 ()=0.977,查表得=2，则 =12，即且XN(72,144)，故P(60X84)=P(-11)=2(1)-1=0.682十一、区间估计总体X服从正态分布N(,2), X1,X2,Xn为X的一个样本 1：2已知,求的置信度为1-置信区间2：2未知,求的置信度为1-置信区间3：求2置信度

10、为1-的置信区间例：设某校学生的身高服从正态分布，今从该校某班中随机抽查10名女生，测得数据经计算如下： 。求该校女生平均身高的95的置信区间。解： ,由样本数据得查表得：t0.05(?)=2.2622,故平均身高的95的置信区间为练习：从总体X服从正态分布N(，2)中抽取容量为10的一个样本，样本方差S20.07,试求总体方差2的置信度为0.95的置信区间。（同步49页四、1）解：因为,所以的95%的置信区间为:, 其中S20.07, ,所以=（0.033,0.233）十二、假设检验1 已知方差2,关于期望的假设检验2 未知方差2,关于期望的假设检验3 未知期望,关于方差2的假设检验例：已知

11、某铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N(4.55,0.112),现在测定了9炉铁水，含碳量平均数，样本方差S 20.0169。若总体方差没有变化，即20.121，问总体均值有无显著变化？（0.05）解：原假设H0：4.55统计量，当H0成立时，U服从N（0，1）对于0.05，U0.05=1.96故拒绝原假设，即认为总体均值有显著变化练习：某厂生产某种零件，在正常生产的情况下，这种零件的轴长服从正态分布，均值为0.13厘米。若从某日生产的这种零件中任取10件，测量后得厘米，S=0.016厘米。问该日生产得零件得平均轴长是否与往日一样？（0.05）【答案： 不一样 】练习：设某厂生产的一种钢索, 其断裂强度kg/cm2服从正态分布. 从中选取一个容量为9的样本, 得 kg/cm2. 能否据此认为这批钢索的断裂强度为800 kg/cm2 ().解： H0：u=800.采用统计量U=其中=40, u0=800, n=9, |U |=,查标准正态分布表得=1.96| U |, 应接受原假设,即可以认为这批钢索的断裂强度为800kg/cm2.练习：某厂生产铜丝，生产一向稳定。现从该厂产品中随机抽出10段检查其折断力，测后经计算： 。假定铜丝折断力服从正态分布，问是否可相信该厂生产的铜丝的折断力方差为16？（0.1）【答案：是】14