第六章 连续系统振动.ppt

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1、连续系统的振动连续系统的振动第六章第六章 实际的振动系统都是连续体，它们具有连续分布的质量与实际的振动系统都是连续体，它们具有连续分布的质量与弹性，因而又称弹性，因而又称连续系统连续系统或或分布参数系统。分布参数系统。由于确定连续体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因由于确定连续体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因此此连续体是具有无限多自由度的系统。连续体是具有无限多自由度的系统。连续体的振动要用时间和空间坐标的函数来描述，其运动连续体的振动要用时间和空间坐标的函数来描述，其运动方程不再像有限多自由度系统那样是方程不再像有限多自由度系统那样是二阶常微分方程组二阶常微分方程组，它是它是偏微分方

2、程。偏微分方程。在物理本质上，连续体系统和多自由度系统没有什么差别，在物理本质上，连续体系统和多自由度系统没有什么差别，连续体振动的基本概念与分析方法与有限多自由度系统是连续体振动的基本概念与分析方法与有限多自由度系统是完全类似的。完全类似的。2022/12/212振动力学教学内容教学内容一维波动方程一维波动方程一维波动方程一维波动方程梁的弯曲振动梁的弯曲振动梁的弯曲振动梁的弯曲振动集中质量法集中质量法集中质量法集中质量法假设模态法假设模态法假设模态法假设模态法模态综合法模态综合法模态综合法模态综合法有限元法有限元法有限元法有限元法2022/12/213振动力学（1）本章讨论的连续体都假定为线

3、性弹性）本章讨论的连续体都假定为线性弹性体，即在弹性范围内服从虎克定律。体，即在弹性范围内服从虎克定律。说说说说 明明明明（2）材料均匀连续；各向同性。）材料均匀连续；各向同性。（3）振动满足微振动的前提）振动满足微振动的前提。2022/12/214振动力学一维波动方程一维波动方程一维波动方程一维波动方程 动力学方程动力学方程动力学方程动力学方程 固有频率和模态函数固有频率和模态函数固有频率和模态函数固有频率和模态函数 主振型的正交性主振型的正交性主振型的正交性主振型的正交性 杆的纵向强迫振动杆的纵向强迫振动杆的纵向强迫振动杆的纵向强迫振动连续系统的振动连续系统的振动/一维波动方程一维波动方程

4、2022/12/215振动力学 动力学方程动力学方程（1）杆的纵向振动）杆的纵向振动 讨论等截面细直杆的纵向振动讨论等截面细直杆的纵向振动 杆杆长长 l假定振假定振动过动过程中各横截面仍保持程中各横截面仍保持为为平面平面截面截面积积 S材料密度材料密度弹弹性模量性模量 E忽略由忽略由纵纵向振向振动动引起的横向引起的横向变变形形单单位位长长度杆上分布的度杆上分布的纵纵向作用力向作用力 杆参数：杆参数：连续系统的振动连续系统的振动/一维波动方程一维波动方程2022/12/216振动力学杆上距原点杆上距原点 x 处处截面在截面在时时刻刻 t 的的纵纵向位移向位移微段分析微段分析 微段应变：微段应变：

5、横截面上的内力：横截面上的内力：由达朗贝尔原理：由达朗贝尔原理：连续系统的振动连续系统的振动/一维波动方程一维波动方程2022/12/217振动力学杆上距原点杆上距原点 x 处处截面在截面在时时刻刻 t 的的纵纵向位移向位移横截面上的内力：横截面上的内力：由达朗贝尔原理：由达朗贝尔原理：代入，得：代入，得：杆的纵向强迫振动方程杆的纵向强迫振动方程 对于等直杆，对于等直杆，ES 为常数为常数 弹性纵波沿杆的纵向传播速度弹性纵波沿杆的纵向传播速度 有：有：连续系统的振动连续系统的振动/一维波动方程一维波动方程2022/12/218振动力学（2）弦的横向振动）弦的横向振动弦两端固定，以张力弦两端固定

6、，以张力 F 拉紧拉紧在分布力作用下作横向振动在分布力作用下作横向振动 建立坐建立坐标标系系弦上距原点弦上距原点 x 处处的横截面在的横截面在 t 时时刻的横向位移刻的横向位移 单单位位长长度弦上分布的作用力度弦上分布的作用力 单单位位长长度弦的度弦的质质量量 微段受力情况微段受力情况 达朗贝尔原理：达朗贝尔原理：弦的横向强迫振动方程弦的横向强迫振动方程令：令：并考虑到：并考虑到：得：得：弹性横波的纵向传播速度弹性横波的纵向传播速度连续系统的振动连续系统的振动/一维波动方程一维波动方程2022/12/219振动力学（3）轴的扭转振动）轴的扭转振动细长圆截面等直杆在分布细长圆截面等直杆在分布扭矩

7、作用下作扭转振动扭矩作用下作扭转振动 假定振假定振动过动过程中各横截面仍保持程中各横截面仍保持为为平面平面截面的极截面的极惯惯性矩性矩 Ip材料密度材料密度切切变变模量模量 G：单单位位长长度杆上分布的外力偶矩度杆上分布的外力偶矩 杆参数：杆参数：为为杆上距离原点杆上距离原点 x 处处的截面在的截面在时时刻刻 t 的角位移的角位移截面截面处处的扭矩的扭矩为为 T微段微段 dx 受力受力：微段：微段绕轴线绕轴线的的转动惯转动惯量量连续系统的振动连续系统的振动/一维波动方程一维波动方程2022/12/2110振动力学代入，得：代入，得：微段微段 dx 受力受力达朗达朗贝贝尔尔原理：原理：材料力学：

8、材料力学：即：即：圆圆截面杆的扭截面杆的扭转转振振动动强强迫振迫振动动方程方程对对于等直杆，抗扭于等直杆，抗扭转刚转刚度度 GIp 为为常数常数有：有：剪切剪切弹弹性波的性波的纵纵向向传传播速度播速度连续系统的振动连续系统的振动/一维波动方程一维波动方程2022/12/2111振动力学小结：小结：（1）杆的纵向振动）杆的纵向振动（2）弦的横向振动）弦的横向振动虽然它们在运动表现形式上并不相同，但它们的运动微虽然它们在运动表现形式上并不相同，但它们的运动微分方程是类同的，都属于分方程是类同的，都属于一维波动方程一维波动方程。（3）轴的扭转振动）轴的扭转振动连续系统的振动连续系统的振动/一维波动方

9、程一维波动方程2022/12/2112振动力学 固有频率和模态函数固有频率和模态函数以等直杆的纵向振动为对象以等直杆的纵向振动为对象 方程：方程：纵向自由振动方程：纵向自由振动方程：假设杆的各点作同步运动，即设假设杆的各点作同步运动，即设：q(t)表示运动规律的时间函数表示运动规律的时间函数 杆上距原点杆上距原点 x 处处的截面的的截面的纵纵向振向振动动振幅振幅 代入，得：代入，得：连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动2022/12/2113振动力学记记：通解：通解：（确定杆纵向振动的形态，称为（确定杆纵向振动的形态，称为模态模态）由杆的由杆的边边界条件确定界条件确定 与有限

10、自由度系统不同，连续系统的模态为坐标的连续函数与有限自由度系统不同，连续系统的模态为坐标的连续函数，表示各坐标振幅的相对比值表示各坐标振幅的相对比值 由频率方程确定的固有频率由频率方程确定的固有频率 有无穷多个有无穷多个（下面讲述）（下面讲述）连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动2022/12/2114振动力学第第 i 阶主振动：阶主振动：一一对应一一对应系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动2022/12/2115振动力学几种常见边界条件下的固有频率和模态函数几种常见边界条件下的固有

11、频率和模态函数（1）两端固定）两端固定边界条件：边界条件：不能恒为零不能恒为零 故：故：代入模态函数代入模态函数 得：得：（杆的纵向振动频率方程（杆的纵向振动频率方程）无穷多个固有频率：无穷多个固有频率：由于零固有频率对应的模态函数为零，因此零固有频率除去由于零固有频率对应的模态函数为零，因此零固有频率除去 特征：两端位移为零特征：两端位移为零模态函数模态函数：连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动2022/12/2116振动力学（2）两端自由）两端自由特征：自由端的轴向力为零特征：自由端的轴向力为零 边界条件边界条件：得：得：零固有频率对应的常值模态为杆的纵向刚性位移零固有频

12、率对应的常值模态为杆的纵向刚性位移频率方程和固有频率两端固定杆的情况相同频率方程和固有频率两端固定杆的情况相同固有频率：固有频率：模态函数：模态函数：得出：得出：连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动2022/12/2117振动力学（3）一端固定，一端自由）一端固定，一端自由特征：固定端位移为零特征：固定端位移为零 自由端轴向力为零自由端轴向力为零 边界条件边界条件：得：得：固有频率：固有频率：模态函数：模态函数：连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动或：或：2022/12/2118振动力学左端自由，右端固定左端自由，右端固定特征：固定端位移为零特征：固定端位移

13、为零 自由端轴向力为零自由端轴向力为零 边界条件边界条件：得：得：固有频率：固有频率：模态函数：模态函数：连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动2022/12/2119振动力学边界条件边界条件模态函数模态函数连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动频率方程频率方程固有频率固有频率2022/12/2120振动力学例：例：一均质杆，左端固一均质杆，左端固定，右端与一弹簧定，右端与一弹簧连接。连接。推导系统的频率方程。推导系统的频率方程。连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动2022/12/2121振动力学连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵

14、向振动解：解：边界条件：边界条件：得出：得出：频率方程频率方程振型函数：振型函数：2022/12/2122振动力学连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动例：例：一均质杆，左端固一均质杆，左端固定，右端与一集中定，右端与一集中质量质量M固结。固结。推导系统的频率方程。推导系统的频率方程。边界条件：边界条件：自己推导！自己推导！2022/12/2123振动力学主振型的正交性主振型的正交性只对具有简单边界条件的杆讨论主振型的正交性只对具有简单边界条件的杆讨论主振型的正交性 杆可以是变截面或匀截面的杆可以是变截面或匀截面的 即即质质量密度量密度及截面及截面积积 S 等都可以是等都可以是

15、 x 的函数的函数 杆的动力方程杆的动力方程：自由振动：自由振动：主振动主振动：代入，得代入，得：连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动2022/12/2124振动力学杆的简单边界杆的简单边界：固定端固定端x=0 或或 l 自由端自由端x=0 或或 l 设设：代入：代入：乘乘 并沿杆长对并沿杆长对 x 积分：积分：利用分部积分：利用分部积分：杆的任一端上杆的任一端上总总有有或者或者成立成立 得：得：连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动2022/12/2125振动力学乘乘 并沿杆长对并沿杆长对 x 积分：积分：同理同理乘乘 并沿杆长对并沿杆长对 x 积分：积分：

16、相减：相减：时时则必有：则必有：杆的主振型关于质量的正交性杆的主振型关于质量的正交性 进而：进而：杆的主振型关于刚度的正交性杆的主振型关于刚度的正交性 连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动2022/12/2126振动力学关于质量的正交性关于质量的正交性 关于刚度的正交性关于刚度的正交性 当当时时 恒成立恒成立令：令：第第 i 阶模态主质量阶模态主质量 第第 i 阶模态主刚度阶模态主刚度 第第 i 阶固有频率：阶固有频率：主振型归一化：主振型归一化：正则振型正则振型 则则第第 i 阶阶主主刚刚度：度：合写为：合写为：连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动2022

17、/12/2127振动力学杆的纵向强迫振动杆的纵向强迫振动 采用振型叠加法进行求解采用振型叠加法进行求解 强迫振动方程：强迫振动方程：初始条件：初始条件：假定假定 ，已已经经得出得出令：令：正则坐标正则坐标 代入方程：代入方程：两两边边乘乘并沿杆并沿杆长对长对 x 积积分分：利用正交性条件：利用正交性条件：第第 j 个正则坐标的广义力个正则坐标的广义力 连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动2022/12/2128振动力学模态初始条件的求解模态初始条件的求解乘乘并沿杆并沿杆长对长对 x 积积分，由正交性条件，知有：分，由正交性条件，知有：得：得：求得求得 后后可得可得连续系统的振

18、动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动2022/12/2129振动力学如果沿杆身作用的不是分布力，而是集中力如果沿杆身作用的不是分布力，而是集中力 可表达成分布力形式：可表达成分布力形式：正则坐标的广义力：正则坐标的广义力：前述外部激励为分布力前述外部激励为分布力连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动2022/12/2130振动力学例：等直杆例：等直杆自由端作用有：自由端作用有：为常数为常数求：杆的纵向稳态响应求：杆的纵向稳态响应 连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动2022/12/2131振动力学解：解：一端固定，一端自由一端固定，一端自由 边界条件：边

19、界条件：固有频率：固有频率：模态函数：模态函数：代入归一化条件：代入归一化条件：模态广义力：模态广义力：第第 i 个正则方程个正则方程：正则坐标的稳态响应正则坐标的稳态响应：杆的稳态强迫振动杆的稳态强迫振动：当外部力频率等于杆的任一阶固有频率时都会发生共振现象当外部力频率等于杆的任一阶固有频率时都会发生共振现象 连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动2022/12/2132振动力学连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动例：例：一均质杆两端固定。假一均质杆两端固定。假定在杆上作用有两个集定在杆上作用有两个集中力，如图所示。中力，如图所示。试问：当这些力突然移去时，

20、杆将产生甚么样的试问：当这些力突然移去时，杆将产生甚么样的振动？振动？2022/12/2133振动力学连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动边界条件：两端固定边界条件：两端固定初始条件：初始条件：模态函数模态函数：解：解：杆的自由振动方程：杆的自由振动方程：固有频率：固有频率：2022/12/2134振动力学连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：2022/12/2135振动力学连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动初始条件：初始条件：应用位移初始条件：应用位移初始条件：两

21、边乘两边乘并沿杆长积分，然后利用正交性条件：并沿杆长积分，然后利用正交性条件：应用速度初始条件：应用速度初始条件：2022/12/2136振动力学连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动2022/12/2137振动力学连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动系统响应：系统响应：2022/12/2138振动力学连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动思考题：思考题：有一根以常速度有一根以常速度 v 沿沿 x 轴运动的杆。如果杆的中点轴运动的杆。如果杆的中点处突然被卡住停止，试求出所产生的自由振动表达处突然被卡住停止，试求出所产生的自由振动表达式。式。在此

22、种情况下，可从杆的中点分开，分开的左右两在此种情况下，可从杆的中点分开，分开的左右两部分的振动形式相同，因此只分析右半部分即可。部分的振动形式相同，因此只分析右半部分即可。提示：提示：2022/12/2139振动力学连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动右半部分为一端固定、另一端自由的杆。右半部分为一端固定、另一端自由的杆。边界条件：边界条件：杆的自由振动方程：杆的自由振动方程：初始条件：初始条件：自己推导！自己推导！2022/12/2140振动力学连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动例：例：有一根有一根 x=0 端为自由、端为自由、x=l 端处为固定得杆，固

23、定端端处为固定得杆，固定端承受支撑运动承受支撑运动为振动的幅值为振动的幅值试求杆的稳态响应。试求杆的稳态响应。2022/12/2141振动力学连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动解：解：方程建立方程建立微段分析微段分析应变：应变：内力：内力：达朗贝尔原理：达朗贝尔原理：杆上距原点杆上距原点 x 处处截面截面在在时时刻刻 t 的的纵纵向位移向位移2022/12/2142振动力学连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动令：令：代入方程：代入方程：即：即：设解为：设解为：为归一化的正则模态为归一化的正则模态代入方程，得：代入方程，得：2022/12/2143振动力学连

24、续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动用用乘上式，并沿杆长积分：乘上式，并沿杆长积分：利用正交性：利用正交性：2022/12/2144振动力学连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动模态稳态解：模态稳态解：2022/12/2145振动力学连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动2022/12/2146振动力学连续系统的振动连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向振动杆振动分析小结杆振动分析小结1.建立动力学方程建立动力学方程2.根据边界条件求解固有频率和模态根据边界条件求解固有频率和模态3.变量分离变量分离4.代入动力学方程，并利用正交性条件代入动力学方程

25、，并利用正交性条件得到模态空间方程得到模态空间方程5.物理空间初始条件转到模态空间物理空间初始条件转到模态空间6.模态空间方程求解模态空间方程求解7.返回物理空间，得解返回物理空间，得解物理空间问题物理空间问题模态空间问题模态空间问题模态叠加法模态叠加法模态叠加法模态叠加法2022/12/2147振动力学教学内容教学内容一维波动方程一维波动方程一维波动方程一维波动方程梁的弯曲振动梁的弯曲振动梁的弯曲振动梁的弯曲振动集中质量法集中质量法集中质量法集中质量法假设模态法假设模态法假设模态法假设模态法模态综合法模态综合法模态综合法模态综合法有限元法有限元法有限元法有限元法2022/12/2148振动力

26、学梁的弯曲振动梁的弯曲振动动力学方程动力学方程考虑细长梁的横向弯曲振动考虑细长梁的横向弯曲振动 梁各截面的中心惯性轴在同一平面梁各截面的中心惯性轴在同一平面 xoy 内内在低频振动时可以忽略剪切变形以及截面绕中性轴转动惯量的影响在低频振动时可以忽略剪切变形以及截面绕中性轴转动惯量的影响外载荷作用在该平面内外载荷作用在该平面内梁在该平面作横向振动（微振）梁在该平面作横向振动（微振）这时梁的主要变形是弯曲变形这时梁的主要变形是弯曲变形伯努利欧拉梁（伯努利欧拉梁（Bernoulli-Euler Beam）f(x,t):单位长度梁上分布的外力单位长度梁上分布的外力 m(x,t):单位长度梁上分布的外力

27、矩单位长度梁上分布的外力矩 梁参数：梁参数：I 截面对中性轴的惯性积截面对中性轴的惯性积 单位体积梁的质量单位体积梁的质量S 梁横截面积梁横截面积E 弹性模量弹性模量外部力：外部力：假设：假设：连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022/12/2149振动力学动力学方程动力学方程f(x,t):单位长度梁上分布的外力单位长度梁上分布的外力 m(x,t):单位长度梁上分布的外力矩单位长度梁上分布的外力矩 微段受力分析微段受力分析令：令：y(x,t):距原点距原点x处的截面在处的截面在t时刻时刻 的横向位移的横向位移 截面上的剪力和弯矩截面上的剪力和弯矩 微段的惯性力微段的惯性力

28、 微段所受的外力微段所受的外力 微段所受的外力矩微段所受的外力矩 连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022/12/2150振动力学力平衡方程力平衡方程：即即：以右截面上任一点为矩心，力矩平衡：以右截面上任一点为矩心，力矩平衡：略去高阶小量：略去高阶小量：材料力学的等截面假设，弯矩与挠度的关系：材料力学的等截面假设，弯矩与挠度的关系：变截面梁的动力学方程：变截面梁的动力学方程：连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022/12/2151振动力学变截面梁的动力学方程：变截面梁的动力学方程：等截面梁的动力学方程：等截面梁的动力学方程：连续系统的振动连续系统的振

29、动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022/12/2152振动力学固有频率和模态函数固有频率和模态函数变截面梁的动力学方程：变截面梁的动力学方程：讨论梁的自由振动讨论梁的自由振动 自由振动方程：自由振动方程：根据对杆纵向振动的分析，梁的主振动可假设为：根据对杆纵向振动的分析，梁的主振动可假设为：代入自由振动方程：代入自由振动方程：对于等截面梁：对于等截面梁：通解：通解：和和应满应满足的足的频频率方程由梁的率方程由梁的边边界条件确定界条件确定 连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022/12/2153振动力学等截面梁的自由振动方程：等截面梁的自由振动方程：梁的主振动：梁的主振动：通

30、解：通解：代入，得：代入，得：第第 i 阶阶主振主振动动：无穷多个无穷多个和和 由系由系统统的初始条件确定的初始条件确定 系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022/12/2154振动力学常见的约束状况与边界条件常见的约束状况与边界条件（1）固定端）固定端挠度和截面转角为零挠度和截面转角为零（2）简支端）简支端挠度和弯矩为零挠度和弯矩为零（3）自由端）自由端弯矩和剪力为零弯矩和剪力为零连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022/12/2155振动力学例：例：求悬臂梁的固有频率和模

31、态函数求悬臂梁的固有频率和模态函数解：解：一端固定，一端自由一端固定，一端自由边界条件边界条件固定端：挠度和截面转角为零固定端：挠度和截面转角为零自由端：弯矩和截面剪力为零自由端：弯矩和截面剪力为零得：得：以及：以及：非零解条件：非零解条件：连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022/12/2156振动力学简化后，得：简化后，得：频率方程频率方程当当 i=1,2,3时时解得：解得：当当 时时各阶固有频率：各阶固有频率：对应的各阶对应的各阶模态函数模态函数：其中：其中：连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022/12/2157振动力学铅垂梁的前三阶模态形状

32、铅垂梁的前三阶模态形状第一阶模态第一阶模态第二阶模态第二阶模态第三阶模态第三阶模态一个节点一个节点两个节点两个节点无节点无节点节点位置节点位置连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022/12/2158振动力学例：例：简支梁的固有频率和模态函数简支梁的固有频率和模态函数解：解：一端圆柱固定铰一端圆柱固定铰另一端圆柱滑动铰另一端圆柱滑动铰固定铰：挠度和截面弯矩为零固定铰：挠度和截面弯矩为零滑动铰：挠度和截面弯矩为零滑动铰：挠度和截面弯矩为零得：得：以及：以及：频率方程：频率方程：固有频率：固有频率：连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022/12/2159振

33、动力学频率方程：频率方程：固有频率：固有频率：模态函数：模态函数：第一阶模态第一阶模态第二阶模态第二阶模态第三阶模态第三阶模态第四阶模态第四阶模态模态形状模态形状节点位置节点位置无节点无节点一个节点一个节点两个节点两个节点三个节点三个节点连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022/12/2160振动力学例：例：两端自由梁的固有频率和模态函数两端自由梁的固有频率和模态函数背景：导弹飞行背景：导弹飞行系统类别：半正定系统系统类别：半正定系统存在刚体模态存在刚体模态导弹飞行导弹飞行1导弹飞行导弹飞行2连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022/12/2161振

34、动力学频率方程：频率方程：模态函数：模态函数：其中：其中：当当 i=1,2,3时时解得：解得：当当 时时自由端：弯矩和截面剪力为零自由端：弯矩和截面剪力为零当当 时时对应刚体模态对应刚体模态连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022/12/2162振动力学第二阶模态第二阶模态第三阶模态第三阶模态第四阶模态第四阶模态第五阶模态第五阶模态自由梁的模态形状自由梁的模态形状连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022/12/2163振动力学例：试用数值确定一根一端固定另一端简支的梁的频例：试用数值确定一根一端固定另一端简支的梁的频率方程，并且绘出第一阶模态和第二阶

35、模态的挠率方程，并且绘出第一阶模态和第二阶模态的挠度曲线。度曲线。连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022/12/2164振动力学连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动解：解：梁的自由振动方程：梁的自由振动方程：边界条件边界条件固定端：固定端：自由端：自由端：模态函数：模态函数：2022/12/2165振动力学连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022/12/2166振动力学连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动非零解条件：非零解条件：频率方程：频率方程：求得：求得：对应的各阶模态函数：对应的各阶模态函数：代入：代入：2

36、022/12/2167振动力学连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动第一阶模态：第一阶模态：第二阶模态：第二阶模态：0.5602022/12/2168振动力学例：悬臂梁例：悬臂梁一端固定，另一端有弹性支撑一端固定，另一端有弹性支撑边界条件边界条件固定端：挠度和截面转角为零固定端：挠度和截面转角为零弹性支撑端：剪力、弯矩分别与直线弹簧反力、卷簧反力矩相等弹性支撑端：剪力、弯矩分别与直线弹簧反力、卷簧反力矩相等弹簧二：直线弹簧，与挠度成正比弹簧二：直线弹簧，与挠度成正比弹簧一：卷簧，与截面转角成正比弹簧一：卷簧，与截面转角成正比弯矩平衡条件：弯矩平衡条件：剪力平衡条件：剪力平衡条件

37、：连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022/12/2169振动力学固定端：固定端：弹性支撑端：弹性支撑端：由固定端条件解得：由固定端条件解得：由弹性支撑固定端条件解得：由弹性支撑固定端条件解得：连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022/12/2170振动力学或或非零解条件导出频率方程：非零解条件导出频率方程：连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022/12/2171振动力学（1）若）若k1、k2 同时为零，则退化为悬臂梁的情形同时为零，则退化为悬臂梁的情形连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动讨论：讨论：2022/

38、12/2172振动力学（2）若）若k10、k2 无穷大，则退化为一端固定另一端简支的情形无穷大，则退化为一端固定另一端简支的情形连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动讨论：讨论：2022/12/2173振动力学例：悬臂梁自由端附有质量例：悬臂梁自由端附有质量求频率方程求频率方程解：解：固定端：固定端：自由端：弯矩为零，剪力与质量惯性力平衡自由端：弯矩为零，剪力与质量惯性力平衡利用同上述算例相同的方法，得频率方程：利用同上述算例相同的方法，得频率方程：其中：其中：为集中质量与梁质量之比为集中质量与梁质量之比为梁质量为梁质量连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动20

39、22/12/2174振动力学说明：说明：以上以上以上以上分析中没有考虑剪切变形和截面转动惯量的影响，因此分析中没有考虑剪切变形和截面转动惯量的影响，因此以上有关梁的分析只适用于细长梁以上有关梁的分析只适用于细长梁以上有关梁的分析只适用于细长梁以上有关梁的分析只适用于细长梁（梁的长度大于梁高度（梁的长度大于梁高度5倍倍以上）以上）若梁为非细长梁，必须考虑剪切变形和截面转动惯量的影响若梁为非细长梁，必须考虑剪切变形和截面转动惯量的影响若梁为非细长梁，必须考虑剪切变形和截面转动惯量的影响若梁为非细长梁，必须考虑剪切变形和截面转动惯量的影响铁木辛柯梁铁木辛柯梁铁木辛柯梁铁木辛柯梁 （Timoshenk

40、o beamTimoshenko beam）考虑剪切变形使得梁的刚度降低，考虑转动惯量使得梁的惯考虑剪切变形使得梁的刚度降低，考虑转动惯量使得梁的惯性增加，这两个因素都会使梁的固有频率降低性增加，这两个因素都会使梁的固有频率降低连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022/12/2175振动力学模态函数的正交性模态函数的正交性梁若为等截面，则：梁若为等截面，则：变截面梁的自由振动方程：变截面梁的自由振动方程：主振动：主振动：代入，得：代入，得：设设：有：有：连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022/12/2176振动力学（1）（2）(1)式两式两边边乘乘

41、 并沿梁并沿梁长对长对 x 积积分：分：利用分部积分利用分部积分：在梁的简单边界上，总有挠度或剪力中的一个与转角或弯矩中的在梁的简单边界上，总有挠度或剪力中的一个与转角或弯矩中的一个同时为零一个同时为零 得得：(3)代入（代入（3）式，有）式，有：(2)式两式两边边乘乘 并沿梁并沿梁长积长积分可得：分可得：同理，同理，相减：得相减：得：连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022/12/2177振动力学如果如果时，时，则有：则有：主振型关于主振型关于质质量的正交性量的正交性（1）（2）(1)式两式两边边乘乘 并沿梁并沿梁长对长对 x 积积分：分：分部积分分部积分：得得：代入（

42、代入（3）式，有）式，有：(2)式两式两边边乘乘 并沿梁并沿梁长积长积分可得：分可得：同理，同理，相减：得相减：得：(3)（4）（5）由（由（4）、（）、（5）式，得）式，得：主振型关于主振型关于刚刚度的正交性度的正交性 连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022/12/2178振动力学如果如果 i=j恒成立恒成立第第 j 阶主质量阶主质量 第第 j 阶主刚度阶主刚度 第第 j 阶固有频率阶固有频率（1）（2）(1)式两式两边边乘乘 并沿梁并沿梁长对长对 x 积积分：分：分部积分分部积分：得得：代入（代入（3）式，有）式，有：(2)式两式两边边乘乘 并沿梁并沿梁长积长积分可

43、得：分可得：同理，同理，相减：得相减：得：(3)（4）（5）连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022/12/2179振动力学第第 j 阶主质量阶主质量 第第 j 阶主刚度阶主刚度 第第 j 阶固有频率阶固有频率时时时时主振型中的常数按下列归一化条件确定主振型中的常数按下列归一化条件确定：正则振型正则振型 正则振型的正交性：正则振型的正交性：连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022/12/2180振动力学梁横向振动的强迫响应梁横向振动的强迫响应梁的横向强迫振动方程梁的横向强迫振动方程：令令：代入代入：两两边边乘乘 并沿梁并沿梁长对长对 x 积积分：分：

44、由正交性条件，得：由正交性条件，得：第第 j 个正则坐标方程个正则坐标方程 第第 j 个正则坐标的广义力个正则坐标的广义力 由分部积分由分部积分：连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022/12/2181振动力学梁初始条件的处理梁初始条件的处理假定梁的初始条件假定梁的初始条件为为：代入：代入：两式乘两式乘并沿梁并沿梁长积长积分，由正交性条件可得：分，由正交性条件可得：第第 j 个正则坐标方程：个正则坐标方程：第第 j 个正则模态响应：个正则模态响应：得到得到 后，即可得到梁的响应后，即可得到梁的响应连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022/12/218

45、2振动力学如果作用在梁上的载荷不是分布力矩，而是集中力和集中力矩如果作用在梁上的载荷不是分布力矩，而是集中力和集中力矩 利用利用函数，可以表示函数，可以表示为为:有：有：连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022/12/2183振动力学中点受常力中点受常力P作用产生静变形作用产生静变形例：简支梁例：简支梁求：当求：当P突然移出时梁的响应突然移出时梁的响应解：解：由材力得初始条件由材力得初始条件:梁中点的静挠度梁中点的静挠度连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022/12/2184振动力学梁两端简支梁两端简支 固有频率：固有频率：振型函数：振型函数：代入归

46、一化条件：代入归一化条件：模态初始条件：模态初始条件：连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022/12/2185振动力学模态初始条件：模态初始条件：没有激振力，正则广义力为零没有激振力，正则广义力为零正则广义力正则广义力模态响应：模态响应：因此有：因此有：连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022/12/2186振动力学例：简支梁例：简支梁求：梁的响应求：梁的响应中点受力矩中点受力矩 作用作用连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022/12/2187振动力学解：解：由上例知：由上例知：固有频率：固有频率：振型函数：振型函数：正则广义力

47、：正则广义力：第第 i 个正则方程：个正则方程：因此有：因此有：连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022/12/2188振动力学例：悬臂梁例：悬臂梁自由端作用有正弦力自由端作用有正弦力求稳态强迫振动，以及梁自由端的响应。求稳态强迫振动，以及梁自由端的响应。连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022/12/2189振动力学解：解：强迫振动方程强迫振动方程：模态函数模态函数：设解为设解为：代入方程代入方程：连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022/12/2190振动力学利用正则模态的正交性条件利用正则模态的正交性条件：两两边边乘乘 并

48、沿梁并沿梁长对长对 x 积积分：分：模态稳态解模态稳态解：梁的响应：梁的响应：连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022/12/2191振动力学梁的响应：梁的响应：梁自由端的响应梁自由端的响应令令 x=l：连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022/12/2192振动力学例：简支梁，左端承受正弦支撑运动例：简支梁，左端承受正弦支撑运动试求梁的响应。试求梁的响应。连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022/12/2193振动力学解：解：梁的振动方程：梁的振动方程：解释：解释：微段分析微段分析力平衡方程力平衡方程：连续系统的振动连续系统的

49、振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022/12/2194振动力学以右截面上任一点为以右截面上任一点为矩心，力矩平衡：矩心，力矩平衡：略去高阶小量，得：略去高阶小量，得：连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022/12/2195振动力学材料力学的等截面假设，弯材料力学的等截面假设，弯矩与挠度的关系：矩与挠度的关系：梁的振动方程：梁的振动方程：连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2022/12/2196振动力学连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动代入方程：代入方程：令：令：即：即：即：即：设解为：设解为：为归一化的正则模态为归一化的正则模态20

50、22/12/2197振动力学连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动代入方程，得：代入方程，得：用用乘上式，并沿杆长积分：乘上式，并沿杆长积分：利用正交性：利用正交性：2022/12/2198振动力学连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动模态稳态解：模态稳态解：简支梁固有频率：简支梁固有频率：2022/12/2199振动力学连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动代入：代入：2022/12/21100振动力学连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动思考题：思考题：悬臂梁，右端简支。悬臂梁，右端简支。试求梁的响应。试求梁的响应。右端承受支