第二节 行列式的性质.ppt

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1、第二节 行列式的性质Chapter 11Economic-mathematicsWednesday,December 21,2022一 行列式的性质性质性质 1 将行列式的行与列互换，行列式的将行列式的行与列互换，行列式的 值不变。即值不变。即该该性质表明：行列式的性质表明：行列式的行行与与列列具有同等地位。具有同等地位。2Economic-mathematicsWednesday,December 21,2022例如例如行列交换后有行列交换后有3Economic-mathematicsWednesday,December 21,2022性质性质2 2 行列式中的某一行（列）若有公因行列式中的

2、某一行（列）若有公因子，则可将公因子提到行列式外，即子，则可将公因子提到行列式外，即证明证明 左边按第左边按第i i 行展开行展开左边左边4Economic-mathematicsWednesday,December 21,2022性质性质3 3 若行列式中的某一行（列）的每个元素都是若行列式中的某一行（列）的每个元素都是两数之和，则此行列式可以写成两个行列式之和两数之和，则此行列式可以写成两个行列式之和,这这两个行列式除该行（列两个行列式除该行（列)以外其余行（列）全与原来以外其余行（列）全与原来行列式对应的行（列）一样，即行列式对应的行（列）一样，即例如例如5Economic-mathem

3、aticsWednesday,December 21,2022性质性质4 4 交换行列式中两行（列）的位置，行交换行列式中两行（列）的位置，行列式反号。即列式反号。即6Economic-mathematicsWednesday,December 21,2022例如例如二、三两行交换后有二、三两行交换后有7Economic-mathematicsWednesday,December 21,2022性质性质5 5 若行列式中两行（列）相同，则行列若行列式中两行（列）相同，则行列式的值等于零。即式的值等于零。即由于交换两行后行列由于交换两行后行列式没变，因此式没变，因此8Economic-mathe

4、maticsWednesday,December 21,2022性质性质6 6 若行列式中两行（列）对应元素成比若行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式的值等于零。即例，则行列式的值等于零。即例如例如9Economic-mathematicsWednesday,December 21,2022性质性质7 7 若行列式中的某一行（列）的各元素都乘以若行列式中的某一行（列）的各元素都乘以同一数同一数k，加到另一行（列）对应的元素上去，行列加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变，即式的值不变，即k10Economic-mathematicsWednesday,December 21,20

5、2211Economic-mathematicsWednesday,December 21,2022性质性质8 8 行列式的某一行（列）的元素与另一行列式的某一行（列）的元素与另一(列列)的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零。即的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零。即12Economic-mathematicsWednesday,December 21,2022比较等式两边，可得比较等式两边，可得总结总结按第按第i 行展开行展开按第按第i 列展开列展开13Economic-mathematicsWednesday,December 21,2022 为了便于以后的计算过程更清楚，现引入一些为

6、了便于以后的计算过程更清楚，现引入一些记号，其中：记号，其中：r 表示表示 rowrow，c c 表示表示 columncolumn：14Economic-mathematicsWednesday,December 21,2022例例1 1 计算行列式计算行列式解解-8 0 4 -68 0 4 -62 0 1 -12 0 1 -116 0 -2 716 0 -2 715Economic-mathematicsWednesday,December 21,2022例例2 2 计算行列式计算行列式解解该该行列式的特点是：行列式的特点是：各各行（列）的元素之和为行（列）的元素之和为6 616Econo

7、mic-mathematicsWednesday,December 21,2022例例3 3 解方程解方程解解 因为因为17Economic-mathematicsWednesday,December 21,2022D 例4 计算 解 r4r3r3r2r2r1abcd0aababc0a2ab3a2bc0a3ab6a3bca bcd0 a ab abc0 0a2ab0 0a3abr4r3r3r2a bcd0 a ab abc0 0a2ab0 00 ar4r3a4 下页18Economic-mathematicsWednesday,December 21,2022 对D1作运算rikrj 把D1化

8、为下三角形行列式 设为 证 例5 证明DD1D2 其中 对D2作运算cikcj 把D2化为下三角形行列式 设为 于是 对D的前k行作运算rikrj 再对后n列作运算cikcj 把D化为下三角形行列式 故Dp11 pkk q11 qnnD1D2 下页19Economic-mathematicsWednesday,December 21,2022 把D2n中的第2n行依次与2n1行、第2行对调(作2n2次相邻对换)再把第2n列依次与2n1列、第2列对调 得根据例4的结果 有 D2nD2D2(n1)(adbc)D2(n1)以此作递推公式 即得 D2n(adbc)2D2(n2)(adbc)n1D2 (

9、adbc)n 解 例6 计算2n阶行列式 其中未写出的元素为0 结束20Economic-mathematicsWednesday,December 21,2022 证证用数学归纳法用数学归纳法例例4证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式21Economic-mathematicsWednesday,December 21,202222Economic-mathematicsWednesday,December 21,2022 n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式23 2425Economic-mathematicsWednesday,December 21,2022

10、小结小结（1 1）行列式的性质）行列式的性质（2 2）行列式的基本计算方法）行列式的基本计算方法26Economic-mathematicsWednesday,December 21,2022性质性质 1 将行列式的行与列互换，行列式的值不变。将行列式的行与列互换，行列式的值不变。性质性质2 2 行列式中的某一行（列）若有公因子，则可行列式中的某一行（列）若有公因子，则可将公因子提到行列式外。将公因子提到行列式外。性质性质3 3 若若行列式行列式中的某一行（列）的每个元素都是中的某一行（列）的每个元素都是两数之和，则此行列式可以写成两个行列式之和两数之和，则此行列式可以写成两个行列式之和,这这

11、两个行列式除该行（列两个行列式除该行（列)以外全与原来行列式对应的以外全与原来行列式对应的行（列）一样。行（列）一样。性质性质4 4 交换行列式中两行（列）的位置，行列式反交换行列式中两行（列）的位置，行列式反号。号。27Economic-mathematicsWednesday,December 21,2022性质性质5 5 若行列式中两行（列）相同，则行列式的值若行列式中两行（列）相同，则行列式的值等于零。等于零。性质性质6 6 若行列式中两行（列）对应元素成比例，则若行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式的值等于零。行列式的值等于零。性质性质7 7 若行列式中的某一行（列）的各元素都

12、乘以若行列式中的某一行（列）的各元素都乘以同一数同一数k，加到另一行（列）对应的元素上去，行列加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。式的值不变。性质性质8 8 行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零。的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零。28Economic-mathematicsWednesday,December 21,2022小结小结（1 1）行列式的性质）行列式的性质二二 小结、小结、练习练习（2 2）行列式的基本计算方法）行列式的基本计算方法29Economic-mathematicsWedn

13、esday,December 21,20221 1、计算行列式计算行列式练习练习2 2、解方程解方程30Economic-mathematicsWednesday,December 21,20223 3、计算行列式计算行列式4 4、计算行列式计算行列式0 031Economic-mathematicsWednesday,December 21,2022克拉默(Cramer)法则由于求解量巨大由于求解量巨大,没有实际应用价值没有实际应用价值,一般用于理论上推导一般用于理论上推导定理定理 3 如果线性方程组如果线性方程组的系数行列式不等于零，即的系数行列式不等于零，即32Economic-math

14、ematicsWednesday,December 21,2022其中其中 是把系数行列式是把系数行列式 中第中第 列的元素用方程列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即阶行列式，即那么线性方程组那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解有解，并且解是唯一的，解可以表为可以表为33Economic-mathematicsWednesday,December 21,2022证明证明在把在把 个方程依次相加，得个方程依次相加，得34Economic-mathematicsWednesday,December 21,2022由代数余子式的性质可知由代数余子式

15、的性质可知,于是于是当当 时时,方程组方程组 有唯一的一个解有唯一的一个解35Economic-mathematicsWednesday,December 21,2022由于方程组由于方程组 与方程组与方程组 等价等价,故故也是方程组的也是方程组的 解解.逆否命题逆否命题 如果线性方程组如果线性方程组 无解或有两个不同无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零的解，则它的系数行列式必为零.36Economic-mathematicsWednesday,December 21,2022例例 4 4 解线性方程组解线性方程组解解解解由于方程组的系数行列式由于方程组的系数行列式37Economic

16、-mathematicsWednesday,December 21,2022同理可得同理可得故方程组的解为故方程组的解为:38Economic-mathematicsWednesday,December 21,2022齐次线性方程组的相关定理齐次线性方程组的相关定理推论推论1 1 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组 的系数行列式的系数行列式 则齐次线性方程组则齐次线性方程组 只有零解只有零解.三、重要定理39Economic-mathematicsWednesday,December 21,2022推论推论2 2 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组 有非零解有非零解,则它则它的系数行列式必

17、为零的系数行列式必为零.40Economic-mathematicsWednesday,December 21,2022 例例1010 下列齐次方程组中的参数下列齐次方程组中的参数 为何值时，为何值时，方程组有非零解方程组有非零解41Economic-mathematicsWednesday,December 21,2022例例 5 问问 取何值时，齐次方程组取何值时，齐次方程组有非零解？有非零解？解解42Economic-mathematicsWednesday,December 21,2022齐次方程组有非零解，则齐次方程组有非零解，则所以所以 或或 时齐次方程组有非零解时齐次方程组有非零解.43