维单位坐标向量组构成的矩阵.ppt

《维单位坐标向量组构成的矩阵.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《维单位坐标向量组构成的矩阵.ppt（13页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、解解 n维单位坐标向量组构成的矩阵E=(e1，e2，en)是 n 阶的单位矩阵。由|E|=1 0，知R(E)=n，即 R(E)等于向量组中向量的个数，故由定理4知向量组是线性无关的。例例2 已知试讨论向量组 1，2，3 及向量组 1，2 的线性相关性。解解 对矩阵（1，2，3）施行初等行变换，使之变成行阶梯形矩阵，即可同时看出矩阵(1，2，3)及矩阵（1，2）的秩，由定理 4 即可得出结论。（1，2，3）=可见 R(1，2，3)=2,由定理4知向量组 1,2,3 线性相关；R(1，2)2，向量组 1,2 线性无关。例例3 已知向量组1,2,3线性无关,令 1=1+2,2=2+3,3=3+1,试

2、证向量组1,2,3线性无关。证证 设有x1,x2,x3使x1 1+x2 2+x3 3=0,即 x1(1+2)+x2(2+3)+x3(3+1)=0亦即 (x1+x3)1+(x1+x2)2+(x2+x3)3=0因 1,2,3 线性无关，故有由于此方程组的系数行列式故方程组只有零解 x1=x2=x3=0，所以向量组 1,2,3线性无关。定理定理5 （1）若向量组 A:1,2,m 线性相关，则向量组 B:1,2,m,m+1也线性相关。反言之，若向量组 B 线性无关，则向量组 A 也线性无关。证证:记 A=(1,2,m),B=(1,2,m,m+1)有R(B)R(A)+1，若向量组A线性相关，则由定理4有

3、R(A)m,从而 R(B)R(A)+1 m+1,再由定理4知向量组 B 线性相关。由上面的证明知：一个向量组若有线性相关的部分组，则该向量组必线性相关。特别地，含有零向量的向量组一定线性相关。一个向量组线性无关，则它的任何部分组都线性无关。(2)设(j=1,2,m)即向量j添上一个分量后得向量j,若向量A:1,2,m线性无关,则向量组B:1,2,m也线性无关,反言之,若向量组 B 线性相关,则向量组 A 也线性相关.证证 记Arm=(1,2,m),B(r+1)m=(1,2,m),有R(A)R(B).若向量组A线性无关，则R(A)=m,从而R(B)m.但 R(B)m,故 R(B)m，因此向量组

4、B 线性无关。推论 若r维的向量线性无关,在r维的向量组每个向量都添上n-r个分量，得n维的向量组，则n维的向量组线性无关。（3）m个n维向量组成的向量组，当维数n小于向量的个数m时一定线性相关。证证 m个n维向量1,2,m构成的矩阵 Anm=(1,2,m),有R(A)n.若n m,则R(A)m,故m个向量1,2,m线性相关。例例4 设有向量组iT=(ai,ai2,ain),(i=1,2,m.m n),试证向量组1T,2T,mT,线性无关，其中a1,a2,am 为m个互不相等且不等于零的常数。证证 因为1T=(a1,a12,a1m,a1n)2T=(a2,a22,a2m,a2n)mT=(am,a

5、m2,amm,amn)前m个分量作成的行列式从而向量组1T=(a1,a12,a1m)2T=(a2,a22,a2m)mT=(am,am2,amm)线性无关，所以增加分量后所得的向量组 1T,2T,mT线性无关。例例5 设A是 nm 矩阵，B是 mn 矩阵，其中nm，若AB=E，证明B 的列向量线性无关。证证 设B=(1,2,n)，其中1,2,n 是 B 的列向量，若x1 1+x2 2+xn n =0即 （1,2,n）=BX=0 两边左乘 A得 ABX=0，即 EX=0，从而X=0，所以1,2,n 线性无关。例例6 设向量 可由向量组1，2，m线性表示，但不能向量组 ()1，2，,m-1 线性表示，记向量组（），1，2，,m-1，则m能由（）线性表示，但不能由()线性表示。证证 由于 可由1，2，m线性表示，即 11+22+m m又因为不能向量组 1，2，,m-1线性表示，所以 m0，从而故则 m 能由（）线性表示。假设m能由()线性表示，则有m k11+k22+km-1m-1 1 1+2 2+m m 11+22+m(k11+k22+km-1m-1)(1+mk1)1+(2+mk2)2+(m-1+mkm-1)m-1这与 不能由()线性表示矛盾，故 m不能由()线性表示。所以作业 128页 4、5、8、9。