材料力学第4章第5章.ppt

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1、第四章 弯曲内力 1 弯曲的概念和实例力学模型X杆轴纵向对称面F1F2FAFB构件几何特征构件为具有纵对称面的等截面直杆yz形心受力特征横向外力（或外力合力）或外力偶均作用在杆的纵向对称面内变形特征杆件轴线变形后为外力作用面内的平面曲线，或任意两横截面间绕垂直于外力作用面的某一横向轴作相对转动对称弯曲 构件的几何形状、材料性能和外力作用均对称于杆件的纵对称面X杆轴纵向对称面F1F2FAFB平面弯曲 梁变形后的轴线所在平面与外力所在平面相重合 对称弯曲必定是平面弯曲，而平面弯曲不一定是对称弯曲。非对称弯曲 构件不具有纵对称面，或虽有纵对称面但外力不作用在纵对称面时的弯曲变形梁：梁：以弯曲变形为主

2、的杆件以弯曲变形为主的杆件静定梁 支座反力可以由静力平衡方程求解的梁超静定梁 支座反力仅由静力平衡方程不能求解的梁一、支座的几种基本形式悬臂梁3（2）简支梁3（2）外伸梁3（2）固定梁6（4）连续梁4（3）半固定梁4（3）2 受 弯杆件的简化均匀分布荷载线性(非均匀)分布荷载分布荷载Me集中力偶集中力二、载荷的简化3 剪力和弯矩左端是固定铰支约束，右端是可动较支约束，为简支梁 若约束反力 、已求得，用截面法可以求梁任意横截面 II 上的内力：剪力、弯矩的正负号 剪力（shearing force）弯矩（bending moment）该截面一侧横向力的代数和该截面一侧横向力矩的代数和 使微段梁有

3、顺时针转动趋势的剪力为正，反之使微段梁有顺时针转动趋势的剪力为正，反之为负；使微段梁产生向下凸变形的弯矩为正，反之为负；使微段梁产生向下凸变形的弯矩为正，反之为负。为负。符符号号规规定定：Fs0Fs0M0M0 例4-1 外伸梁受力与支承情况如图7所示，求1-1、2-2两截面的剪力与弯矩。解：1）求约束反力 2）求1-1截面上的剪力、弯矩3）求2-2截面上的剪力、弯矩ACDB例4-2 试确定截面C及截面D上的剪力和弯矩ACCDBBD 例4-3 求下图所示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。2112m21.5mq=12kN/m3m1.5m1.5mF=8kNABFAFB解：解：1、求支反力、求支反

4、力2、计算、计算1-1截面的内力截面的内力3、计算、计算2-2截面的内力截面的内力F=8kNFAFBq=12kN/m 例4-4 外伸梁受力与支承情况如图7所示，求1-1、2-2两截面的剪力与弯矩。解：1）求约束反力 2）求1-1截面上的剪力、弯矩3）求2-2截面上的剪力、弯矩v向上的外力引起正剪力，向下的外力引起负剪力；向上的外力引起正剪力，向下的外力引起负剪力；截开后取左边为示力对象：截开后取左边为示力对象：v向上的外力引起正弯矩，向下的外力引起负弯矩；向上的外力引起正弯矩，向下的外力引起负弯矩；v顺顺时针时针引起正弯矩，逆时针引起负弯矩。引起正弯矩，逆时针引起负弯矩。q向上的外力引起负剪力

5、，向下的外力引起正剪力；向上的外力引起负剪力，向下的外力引起正剪力；截开后取右边为示力对象截开后取右边为示力对象：q向上的外力引起正弯矩，向下的外力引起负弯矩；向上的外力引起正弯矩，向下的外力引起负弯矩；q顺时针引起负弯矩，逆时针引起正弯矩。顺时针引起负弯矩，逆时针引起正弯矩。FaABFAFBFAFsxM4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图ABFAFBx 例4-5 图示悬臂梁AB,自由端受力F的作用,试作剪力图和弯矩图.XkNkNm 例4-6 如图所示简支梁，受集中力F作用，试写出梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图与弯矩图。解：1）求约束反力并验算2）分段列剪力与弯矩方程AC段：BC段：如图

6、所示简支梁，受集中力F作用，试写出梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图与弯矩图。解：1）求约束反力并验算2）分段列剪力与弯矩方程AC段：BC段：3）作剪力图与弯矩图 例4-7 如图所示外伸梁，F、a已知，试作其 、Mz图。解：1）求约束反力并验算2)分段列内力方程CA段：AD段：DB段：3）画出梁的剪力图和弯矩图 例4-8 如图所示简支梁承受均布载荷作用，载荷集度为 q，梁的长度为l，试作梁的 、Mz图。解：1）求约束反力并验算2)列内力方程3）画剪力图和弯矩图 x=l/2，弯矩有极大值Mzmax=ql2/85 载荷、剪力与弯矩间的关系内力突变规律剪力图是水平直线.弯矩图是斜直线.弯矩图是水平直

7、线.剪力图是斜直线.弯矩图是二次抛物线.若x1,x2两截面间无集中力作用,则x2截面上的FS1等于x1截面上的FS1加上两截面之间分布荷载图的面积.若x1,x2两截面间无集中力偶作用,则x2截面上的M2等于x1截面上的M1加上两截面之间剪力图的面积.例例 4-9 试作如图所示梁的 、Mz图。解：1）求支反力 2）分段。直接求各段左、右两端 横截面上的剪力、弯矩值 例4-10 图示外伸梁,试作剪力图和弯矩图.AB35kN25kNX1X22.5kNkNm例4-11 外伸梁AB承受荷载如图所示，作该梁的内力图。解：1、求支反力2、判断各段FS、M图形状：DABC3(kN)4.23.8Ex=3.1m(

8、kNm)3.81.4132.2FAFBCA和和DB段：段：q=0，FS图为水平线，图为水平线，M图为斜直线。图为斜直线。AD段：段：q5)，上述公式的误差不大，但公式中的M应为所研究截面上的弯矩，即为截面位置的函数。公式适用范围：1.矩形截面三种典型截面对中性轴的惯性矩2.实心圆截面 3.截面为外径D、内径d(a=d/D)的空心圆:3 横力弯曲时的正应力 横力弯曲时梁的截面上不但有正应力，还有切应力，所以横截面不再保持为平面。同时，横力弯曲往往也不能保证纵向纤维之间没有正应力。但用前述公式计算时，不会引起很大误差，能够满足工程问题所需的精度。例5-1：长为l的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中

9、力F，已知b120mm，h180mm、l2m，F1.6kN，试求B截面上a、b、c各点的正应力。（压）例5-2：试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时的最大正应力，并加以比较。200100竖放横放 例5-3：图示T形截面简支梁在中点承受集中力F32kN，梁的长度L2m。T形截面的形心坐标yc96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz1.02108mm4。求弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件对梁的某一截面：对梁的某一截面：对全梁（等截面）：对全梁（等截面）：弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件1.弯矩最大的截面上2.离中性轴最远处4.脆性材料抗拉和抗压性能

10、不同，二方面都要考虑3.变截面梁要综合考虑 与 例5-4：长为2.5m的工字钢外伸梁，如图示，其外伸部分为0.5m，梁上承受均布荷载，q=30kN/m，试选择工字钢型号。已知工字钢抗弯强度=215MPa。kNkNm查表N0 12.6工字钢 WZ=77.5cm3例5-5：铸铁梁受荷载情况如图示。已知截面对形心轴的惯性矩Iz=403107m4，铸铁抗拉强度=50MPa，抗压强度=125MPa。试按正应力强度条件校核梁的强度。B截面C截面如果T截面倒置会如何?例5-6：铸铁制作的悬臂梁，尺寸及受力如图示，图中F20kN。梁的截面为T字形，形心坐标yc=96.4mm。已知材料的拉伸许用应力和压缩许用应

11、力分别为+40MPa，100MPa。试校核梁的强度是否安全。AB 例5-7：为了起吊重量为F300kN的大型设备，采用一台150kN和一台200kN的吊车，以及一根工字形轧制型钢作为辅助梁，组成临时的附加悬挂系统，如图示。如果已知辅助梁的长度l=4m，型钢材料的许用应力 160MPa，试计算：1.F加在辅助梁的什么位置，才能保证两台吊车都不超载？2.辅助梁应该选择多大型号的工字钢？辅助梁1.确定F加在辅助梁的位置FAFB令:为了起吊重量为F300kN的大型设备，采用一台150kN和一台200kN的吊车，以及一根工字形轧制型钢作为辅助梁，组成临时的附加悬挂系统，如图示。如果已知辅助梁的长度l=4

12、m，型钢材料的许用应力 160MPa，试计算：1.F加在辅助梁的什么位置，才能保证两台吊车都不超载？2.辅助梁应该选择多大型号的工字钢？辅助梁FAFB2.确定工字钢型号 例5-8：图示结构承受均布载荷，AC为10号工字钢梁，B处用直径d=20mm的钢杆BD悬吊，梁和杆的许用应力 160MPa。不考虑切应力，试计算结构的许可载荷q。FAFB梁的强度杆的强度 承受相同弯矩Mz的三根直梁，其截面组成方式如图所示。图（a）的截面为一整体；图（b）的截面由两矩形截面并列而成（未粘接）；图（c）的截面有两矩形截面上下叠合而成（未粘接）。三根梁中的最大正应力分别为max（a）、max（b）、max（c）。关

13、于三者之间的关系有四种答案，试判断哪一种是正确的。(a)(b)(c)zzzzB 4 剪力弯曲梁横截面的切应力 1）矩形截面梁的弯曲切应力F Fs s 横截面上的剪力横截面上的剪力；I IZ Z 截面对中性轴的惯性矩；截面对中性轴的惯性矩；b b 截面的宽度；截面的宽度；S SZ Z 宽度线一侧的面积对中宽度线一侧的面积对中性轴的静矩性轴的静矩.例5-9 矩形截面简支梁，加载于梁中点C，如图示。求max ,max 。细长等值梁二、工字形截面梁的切应力二、工字形截面梁的切应力 横截面上的切应力(95-97)由腹板承担,而翼缘仅承担了(3-5),且翼缘上的切应力情况又比较复杂.为了满足实际工程中计算

14、和设计的需要仅分析腹板上的切应力.hh0t式中：d为腹板厚度三、圆形和圆环形截面梁的最大切三、圆形和圆环形截面梁的最大切应力应力zydDdA为圆环形截面面积 梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件 最大正应力发生在最大弯矩截面的上、下边缘处，该处的切应力为零，即正应力危险点处于单轴应力状态；最大切应力通常发生在最大剪力截面的中性轴处，该处的正应力为零，即切应力危险点处于纯剪切应力状态；例5-10：如图所示倒T型外伸梁，已知q=3kN/m，F1=12kN，F2=18kN，形心主惯性矩IZ=39800cm4。（1）试求梁的最大拉应力和最大压应力及其所在的位置；（2）若该梁是由两个矩形截面的厚板条沿图

15、示截面上的ab线（实际是一水平面）胶合而成，为了保证该梁的胶合连接强度，水平接合面上的许用切应力值是多少？ABCDBB最大拉应力发生在B截面上最大压应力发生在Fs=0的截面上ABCDab线上最大切应力发生在BC段 6 提高弯曲强度的措施一、合理选择截面形状，尽量增大Wz值1.梁的合理截面梁的合理截面 工字形、槽形截面比矩形截面合理，矩形截面比圆形截面合理2.根据材料特性选择截面根据材料特性选择截面对于抗拉和抗压不相同的脆性材料最好选用关于中性轴不对称的截面二、合理布置梁的形式和荷载，以降低最大弯矩值1.合理布置梁的支座合理布置梁的支座2.适当增加梁的支座适当增加梁的支座3.改善荷载的布置情况改

16、善荷载的布置情况+三、采用变截面梁（等强度梁）例5-11：矩形截面简支梁由圆形木材刨成，已知F=5kN，a=1.5m，=10MPa，试确定此矩形截面h/b的最优比值，使其截面的抗弯截面系数具有最大值，并计算所需圆木的最小直径d。解：1、确定WZ最大时的h/b2、确定圆木直径d=227mm 悬臂梁由两根槽钢背靠背(两者之间未作任何固定连接)叠加起来放置,构成如图示.在载荷作用下,横截面上的正应力分布如图_所示.FI-I剖面(A)(B)(C)(D)zzD 在图示十字形截面上,剪力为Fs,欲求m-m线上的切应力,则公式中 ,_ .A、为截面的阴影部分对 轴的静矩，；B、为截面的阴影部分对 轴的静矩，；C、为截面的阴影部分对 轴的静矩，；D、为截面的阴影部分对 轴的静矩，；D 若对称弯曲直梁的弯曲刚度EI沿杆轴为常量,其变形后梁轴_.A、为圆弧线，且长度不变。B、为圆弧线，而长度改变。C、不为圆弧线，但长度不变。D、不为圆弧线，且长度改变。A