2.3.1__离散型随机变量的均值1.ppt

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1、离散性随机变量的均值离散性随机变量的均值为为随机变量随机变量 的的概率分布列概率分布列，简称为，简称为 的的分布列分布列.设离散型随机变量设离散型随机变量 可能取的值为可能取的值为 取每一个值取每一个值 的概率的概率 则称表则称表 对于离散型随机变量，确定了它的分布列，就掌握对于离散型随机变量，确定了它的分布列，就掌握了随机变量取值的统计规律了随机变量取值的统计规律.但在实际应用中，我们还常但在实际应用中，我们还常常希望常希望直接通过数字直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特征，来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有最常用的有期望与方差期望与方差.引入引入 如果你期中考试各门成绩为：90

2、、80、77、68、85、91那你的平均成绩是多少？算术平均数算术平均数 引入：某商场为满足市场需求要将单价分别为引入：某商场为满足市场需求要将单价分别为1818元/kg，2424元/kg，3636元/kg 的的3 3种糖果按种糖果按3 3：2 2：1 1的的 比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，如何对混合糖果定价才合理？都相等，如何对混合糖果定价才合理？定价为定价为 可以吗？可以吗？x 18 24 36 p 1/2 1/3 1/6181/2+241/3+361/6 =23=18P(X=18)+24P(X=24)+36P(X=36)如

3、果你买了如果你买了如果你买了如果你买了1kg1kg这种混合这种混合这种混合这种混合糖果，你要付多少钱？糖果，你要付多少钱？糖果，你要付多少钱？糖果，你要付多少钱？而你买的糖果的而你买的糖果的而你买的糖果的而你买的糖果的实际价值实际价值实际价值实际价值刚好是刚好是刚好是刚好是2323元吗？元吗？元吗？元吗？样本平均值样本平均值权数权数加权平均加权平均思考下面的问题思考下面的问题:4 5 6 7 8 9 100.020.040.060.090.280.290.22某某射手射击所得环数射手射击所得环数 的分布列如下：的分布列如下：在在100次射击之前次射击之前,试估计该射手试估计该射手100次射击的

4、平均环数次射击的平均环数.分析：分析：平均环数平均环数=总环数总环数 100所以所以,总环数约等于总环数约等于（40.02+50.04+60.06+100.22)100.故故100100次射击的次射击的平均环数约等于平均环数约等于 40.02+50.04+60.06+100.22=8.32.一般地一般地 思考思考 一般地：一般地：对任一射手对任一射手,若已知他的所得环数若已知他的所得环数 的分布列，即已的分布列，即已知知 则可以预计他任意则可以预计他任意n次射击的次射击的平均环数是平均环数是 记为记为 更一般地更一般地 我们称我们称 为此射手射击所得环数的为此射手射击所得环数的期望期望，它刻，

5、它刻划了所得环数随机变量划了所得环数随机变量 所取的平均值所取的平均值.定义定义 它它反映了离散型随反映了离散型随机变量取值的平均水平机变量取值的平均水平.一般地，随机变量一般地，随机变量 的概率分布列为的概率分布列为则称则称为为 的的数学期望数学期望或均值，简称为或均值，简称为期望期望.定义定义例题例题1 随机抛掷一个均匀的骰子，求所得骰子的点数随机抛掷一个均匀的骰子，求所得骰子的点数X的期望的期望.X 1 2 3 4 5 6 P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6解：随机变量X的取值为1，2，3，4，5，6其分布列为所以随机变量X的均值为E(X)=1 1/6+2 1/6+31/

6、6+4 1/6+5 1/6+6 1/6=3.5你能理解3.5的含义吗？归纳求离散型随机变量均值的步骤归纳求离散型随机变量均值的步骤确定确定所有可能所有可能取值；取值；写出分布列；写出分布列；求出均值求出均值例例2、4 5 6 7 8 9 100.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22某某射手射击所得环数射手射击所得环数 的分布列如下：的分布列如下：求求n次射击的平均环数。次射击的平均环数。如果这次射击中射击所得奖金与环数如果这次射击中射击所得奖金与环数的关系为的关系为=2+1，试求随机变量，试求随机变量的期望。的期望。9 11 13 15 17 19 210.02 0

7、.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22所以，所以，的分布列为的分布列为结论结论1：则则 (巩固练习巩固练习)结论结论11 1、随机变量、随机变量的分布列是的分布列是135P0.50.30.2(1)则则E=.2 2、随机变量、随机变量的分布列是的分布列是2.4(2)若若=2+1，则，则E=.5.847910P0.3ab0.2E=7.5,则则a=b=.0.40.1 练习练习1 例3:在篮球比赛中，如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球一次得分设为X，X的均值是多少？解：该随机变量X服从两点分布:P(X=1)=0.7、P(X=0)=0.3所以：EX=1P(X=1)+0P(X

8、=0)=0.7X01p0.30.7如果随机变量如果随机变量X服从两点分布，服从两点分布，那么那么 EX=p 10pp1-p3.3.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得篮球运动员在比赛中每次罚球命中得篮球运动员在比赛中每次罚球命中得篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1 1分，罚不中得分，罚不中得分，罚不中得分，罚不中得0 0分已知某运动员罚球命中的概率为分已知某运动员罚球命中的概率为分已知某运动员罚球命中的概率为分已知某运动员罚球命中的概率为0.70.7，则他罚球，则他罚球，则他罚球，则他罚球1 1次次次次的得分的得分的得分的得分 的期望为的期望为的期望为的期望为 1.一个袋子里装有大小相同的一个袋子

9、里装有大小相同的3 个红球和个红球和2个黄球，从个黄球，从中同时取中同时取2个，则其中含红球个数的数学期望是个，则其中含红球个数的数学期望是 .1.22.（1）若）若 E()=4.5,则则 E()=.（2）E(E)=.0.70.7-4.50 这是一个特殊的二项分布的随机变量的期望这是一个特殊的二项分布的随机变量的期望,那那么一般地么一般地,若若B(n，p)，则，则E=?练习练习2 E =0Cn0p0qn+1Cn1p1qn-1+2Cn2p2qn-2+kCnkpkqn-k+nCnnpnq0P(=k)=Cnkpkqn-k证明：证明：=np(Cn-10p0qn-1+Cn-11p1qn-2+Cn-1k-

10、1pk-1q(n-1)-(k-1)+Cn-1n-1pn-1q0)=np(p+q)n-1=np 0 1 k n P Cn0p0qn Cn1p1qn-1 Cnkpkqn-k Cnnpnq0(k Cnk=n Cn-1k-1)结论结论2：若：若B(n，p)，则，则E=np不一定不一定,其含义是在多次类似的测试中其含义是在多次类似的测试中,他的平均成绩大约是他的平均成绩大约是90分分例例4.一次单元测验由一次单元测验由20个选择题构成个选择题构成,每个选择题有每个选择题有4个选个选项项,其中有且仅有一个选项正确其中有且仅有一个选项正确,每题选对得每题选对得5分分,不选或选不选或选错不得分错不得分,满分满

11、分100分分.学生甲选对任一题的概率为学生甲选对任一题的概率为0.9,学生学生乙则在测验中对每题都从乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个个选项中随机地选择一个.求学求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值.解解:设学生甲和学生乙在这次测验中选择正确的选择题个设学生甲和学生乙在这次测验中选择正确的选择题个数分别是数分别是和和,则则 B(20,0.9),B(20,0.25)，所以所以E200.918，E200.255 由于答对每题得由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次测验中分，学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是的成绩分别是5和和5.这样，他们在

12、测验中的成绩的期望这样，他们在测验中的成绩的期望分别是分别是E(5)5E51890，E(5)5E5525思考思考:学生甲在这次测试中的成绩一定会是学生甲在这次测试中的成绩一定会是9090分吗分吗?他的均他的均值为值为9090分的含义是什么分的含义是什么?练习：练习：一个袋子里装有大小相同的一个袋子里装有大小相同的3 3 个红个红球和球和2 2个黄球，从中有放回地取个黄球，从中有放回地取5 5次，则取到次，则取到红球次数的数学期望是红球次数的数学期望是 .31 1、离散型随机变量均值的定义离散型随机变量均值的定义 X P 一般地,若离散型随机变量X的概率分布为 则称 为随机变量X的均值或数学期望,数学期望又简称为期望。小 结2 2、离散型随机变量均值的性质离散型随机变量均值的性质(1)随机变量均值的线性性质随机变量均值的线性性质 若XB(n，p)，则E(X)=np(2)服从两点分布的均值服从两点分布的均值(3)服从二项分布的均值服从二项分布的均值 若XB(1，p)，则E(X)=p3 3、归纳求离散型随机变量均值的步骤归纳求离散型随机变量均值的步骤确定确定所有可能所有可能取值；取值；写出分布列；写出分布列；求出均值求出均值课本第课本第64页页 练习练习2，3，4，5 69页页B组第组第1题。题。