(邱)9.2(1).ppt

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1、高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 前一页前一页后一页后一页返返 回回广广广广 东东东东 工工工工 业业业业 大大大大 学学学学9.2 偏偏 导导 数数一、偏导数的定义及其计算法一、偏导数的定义及其计算法二、高阶偏导数二、高阶偏导数三、练习题三、练习题高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 前一页前一页后一页后一页返返 回回广广广广 东东东东 工工工工 业业业业 大大大大 学学学学问题的提出问题的提出 一元函数的导数定义为函数增量与自变量增量的一元函数的导数定义为函数增量与自变量增量的 比如：一定量理想气体的体积比如：一定量理想气体的体积V，压强压强P与绝对温与绝对温多元函数对某一个自变量

2、的变化率引出了多元函多元函数对某一个自变量的变化率引出了多元函比值的极限，它刻画了函数对于自变量的变化率。对比值的极限，它刻画了函数对于自变量的变化率。对于多元函数来说，虽然自变量的个数增多了，我们仍于多元函数来说，虽然自变量的个数增多了，我们仍然可以考虑函数对某一个自变量的变化率，也即是在然可以考虑函数对某一个自变量的变化率，也即是在其中一个自变量发生变化，而其余自变量都保持不变其中一个自变量发生变化，而其余自变量都保持不变的情形下，考虑函数对于该自变量的变化率。的情形下，考虑函数对于该自变量的变化率。度度T之间存在着某种联系，我们可以在等温条件下，之间存在着某种联系，我们可以在等温条件下，

3、考察体积对于压强的变化率。考察体积对于压强的变化率。函数的偏导数概念。函数的偏导数概念。高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 前一页前一页后一页后一页返返 回回广广广广 东东东东 工工工工 业业业业 大大大大 学学学学一、偏导数的定义及其计算法一、偏导数的定义及其计算法1、定义、定义设函数设函数 在点在点 的某一邻域内有的某一邻域内有定义，定义，当当 固定在固定在 而而 在在 处有增量处有增量 时，相时，相相应的函数有增量相应的函数有增量如果如果存在，则称此极限为函数存在，则称此极限为函数 在点在点 处处对对 的的偏导数偏导数。记为记为偏偏增量增量高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 前一

4、页前一页后一页后一页返返 回回广广广广 东东东东 工工工工 业业业业 大大大大 学学学学即即也表为也表为高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 前一页前一页后一页后一页返返 回回广广广广 东东东东 工工工工 业业业业 大大大大 学学学学同理：同理：函数函数 在点在点 处对处对 的偏导数的偏导数定义为定义为记为记为即即高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 前一页前一页后一页后一页返返 回回广广广广 东东东东 工工工工 业业业业 大大大大 学学学学2、偏导函数、偏导函数如果函数如果函数 在区域在区域D的每一点的每一点处对处对 的偏导数都存在，的偏导数都存在，则这个偏导数为则这个偏导数为 的的函数

5、，函数，称为函数称为函数 对自变量对自变量 的偏导函数。的偏导函数。记为记为即即高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 前一页前一页后一页后一页返返 回回广广广广 东东东东 工工工工 业业业业 大大大大 学学学学类似可定义函数类似可定义函数 对自变量对自变量 的偏导函数。的偏导函数。记为记为即即由偏导函数的概念易知由偏导函数的概念易知高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 前一页前一页后一页后一页返返 回回广广广广 东东东东 工工工工 业业业业 大大大大 学学学学3、推广、推广 偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数如如 在在 处处 高高高高 等等等等 数数数数

6、学学学学 前一页前一页后一页后一页返返 回回广广广广 东东东东 工工工工 业业业业 大大大大 学学学学4、偏导数的求法、偏导数的求法对对 求偏导数时，把求偏导数时，把 看成常数，对看成常数，对 求导；求导；对对 求偏导数时，把求偏导数时，把 看成常数，对看成常数，对 求导。求导。（1）对对 求偏导数时，把求偏导数时，把 看成常数，对看成常数，对 求导；求导；对对 求偏导数时，把求偏导数时，把 看成常数，对看成常数，对 求导；求导；（2）对对 求偏导数时，把求偏导数时，把 看成常数，对看成常数，对 求导。求导。高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 前一页前一页后一页后一页返返 回回广广广广 东

7、东东东 工工工工 业业业业 大大大大 学学学学高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 前一页前一页后一页后一页返返 回回广广广广 东东东东 工工工工 业业业业 大大大大 学学学学解解高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 前一页前一页后一页后一页返返 回回广广广广 东东东东 工工工工 业业业业 大大大大 学学学学高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 前一页前一页后一页后一页返返 回回广广广广 东东东东 工工工工 业业业业 大大大大 学学学学解解高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 前一页前一页后一页后一页返返 回回广广广广 东东东东 工工工工 业业业业 大大大大 学学学学高高高高 等等等等

8、 数数数数 学学学学 前一页前一页后一页后一页返返 回回广广广广 东东东东 工工工工 业业业业 大大大大 学学学学证证原结论成立原结论成立高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 前一页前一页后一页后一页返返 回回广广广广 东东东东 工工工工 业业业业 大大大大 学学学学高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 前一页前一页后一页后一页返返 回回广广广广 东东东东 工工工工 业业业业 大大大大 学学学学证证高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 前一页前一页后一页后一页返返 回回广广广广 东东东东 工工工工 业业业业 大大大大 学学学学例例5 求求 的偏导数的偏导数.高高高高 等等等等 数数数数

9、学学学学 前一页前一页后一页后一页返返 回回广广广广 东东东东 工工工工 业业业业 大大大大 学学学学解解例例5 求求 的偏导数的偏导数.将将y和和z都都看作常量，对变量看作常量，对变量x求导数，得求导数，得类似有类似有 高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 前一页前一页后一页后一页返返 回回广广广广 东东东东 工工工工 业业业业 大大大大 学学学学5、偏导数的几何意义、偏导数的几何意义如图如图高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 前一页前一页后一页后一页返返 回回广广广广 东东东东 工工工工 业业业业 大大大大 学学学学几何意义几何意义:高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 前一页前一

10、页后一页后一页返返 回回广广广广 东东东东 工工工工 业业业业 大大大大 学学学学多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续连续6、偏导数存在与连续的关系、偏导数存在与连续的关系但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续.偏导数存在偏导数存在 连续连续.同理同理一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续连续高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 前一页前一页后一页后一页返返 回回广广广广 东东东东 工工工工 业业业业 大大大大 学学学学7、有关偏导数的几点说明：、有关偏导数的几点说明：、求分界点、不连续点处的偏导数要用求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求。定义求。偏导数

11、存在偏导数存在 连续；连续；3、连续连续偏导数存在偏导数存在连续连续偏导数连续偏导数连续高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 前一页前一页后一页后一页返返 回回广广广广 东东东东 工工工工 业业业业 大大大大 学学学学例例6高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 前一页前一页后一页后一页返返 回回广广广广 东东东东 工工工工 业业业业 大大大大 学学学学解解例例6高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 前一页前一页后一页后一页返返 回回广广广广 东东东东 工工工工 业业业业 大大大大 学学学学例例7 设设求求高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 前一页前一页后一页后一页返返 回回广广广广

12、东东东东 工工工工 业业业业 大大大大 学学学学二、高阶偏导数二、高阶偏导数1、定义、定义设函数设函数 在区域在区域D内具有偏导数内具有偏导数那么在那么在D内内 都是都是 的函数。的函数。如果这两个函数的偏导数也存在，如果这两个函数的偏导数也存在，则称它们为则称它们为函数函数 的二阶偏导数。的二阶偏导数。高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 前一页前一页后一页后一页返返 回回广广广广 东东东东 工工工工 业业业业 大大大大 学学学学2、混混合合偏偏导导数数高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 前一页前一页后一页后一页返返 回回广广广广 东东东东 工工工工 业业业业 大大大大 学学学学二阶及

13、二阶以上的偏导数统称为二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数高阶偏导数.3、高阶偏导数、高阶偏导数高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 前一页前一页后一页后一页返返 回回广广广广 东东东东 工工工工 业业业业 大大大大 学学学学高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 前一页前一页后一页后一页返返 回回广广广广 东东东东 工工工工 业业业业 大大大大 学学学学解解高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 前一页前一页后一页后一页返返 回回广广广广 东东东东 工工工工 业业业业 大大大大 学学学学高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 前一页前一页后一页后一页返返 回回广广广广 东东东东 工工工工

14、 业业业业 大大大大 学学学学解解高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 前一页前一页后一页后一页返返 回回广广广广 东东东东 工工工工 业业业业 大大大大 学学学学问题：问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？相等？高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 前一页前一页后一页后一页返返 回回广广广广 东东东东 工工工工 业业业业 大大大大 学学学学高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 前一页前一页后一页后一页返返 回回广广广广 东东东东 工工工工 业业业业 大大大大 学学学学解解高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 前一页前一页后一页后一页返返

15、回回广广广广 东东东东 工工工工 业业业业 大大大大 学学学学例例11 设函数设函数高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 前一页前一页后一页后一页返返 回回广广广广 东东东东 工工工工 业业业业 大大大大 学学学学例例11 设函数设函数高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 前一页前一页后一页后一页返返 回回广广广广 东东东东 工工工工 业业业业 大大大大 学学学学例例11 设函数设函数高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 前一页前一页后一页后一页返返 回回广广广广 东东东东 工工工工 业业业业 大大大大 学学学学例例12 设设则则 在点在点 处的值为处的值为 高高高高 等等等等 数数数数

16、 学学学学 前一页前一页后一页后一页返返 回回广广广广 东东东东 工工工工 业业业业 大大大大 学学学学例例13 设设求求高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 前一页前一页后一页后一页返返 回回广广广广 东东东东 工工工工 业业业业 大大大大 学学学学思考题思考题高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 前一页前一页后一页后一页返返 回回广广广广 东东东东 工工工工 业业业业 大大大大 学学学学思考题解答思考题解答不能不能.例如例如,高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 前一页前一页后一页后一页返返 回回广广广广 东东东东 工工工工 业业业业 大大大大 学学学学高高高高 等等等等 数数数数

17、学学学学 前一页前一页后一页后一页返返 回回广广广广 东东东东 工工工工 业业业业 大大大大 学学学学练习题练习题高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 前一页前一页后一页后一页返返 回回广广广广 东东东东 工工工工 业业业业 大大大大 学学学学高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 前一页前一页后一页后一页返返 回回广广广广 东东东东 工工工工 业业业业 大大大大 学学学学高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 前一页前一页后一页后一页返返 回回广广广广 东东东东 工工工工 业业业业 大大大大 学学学学练习题答案练习题答案高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 前一页前一页后一页后一页返返 回回广广广广 东东东东 工工工工 业业业业 大大大大 学学学学高高高高 等等等等 数数数数 学学学学 前一页前一页后一页后一页返返 回回广广广广 东东东东 工工工工 业业业业 大大大大 学学学学