步计数原理分类计数.ppt

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1、分步计数原理分步计数原理 分类计数原理分类计数原理 一学生从外面一学生从外面进入教室有多少入教室有多少种走法？若种走法？若进来再出去，有多少来再出去，有多少走法？走法？引入课题引入课题要回答上述问题，就要用到计数原理的知识它是一要回答上述问题，就要用到计数原理的知识它是一个重要的数学方法，粗略地说，个重要的数学方法，粗略地说，计数原理计数原理就是研究就是研究按某一规则完成一种事时，一共有多少种不同的做法按某一规则完成一种事时，一共有多少种不同的做法在运用计数原理经常要用到在运用计数原理经常要用到分类加法计数原理分类加法计数原理与与分步乘法计数原理分步乘法计数原理。2010年6月11日7月10日

2、在南非举行的第19届世界杯足球赛共有3232个队参赛它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强，这16个队按确定的程序进行淘汰赛后，最后决出冠亚冠亚军，此外还决出了第三、第四名第三、第四名问一共安排了多少场比赛？问问题题1 1：用用一一个个大大写写的的英英文文字字母母或或一一个个阿阿拉拉伯伯数数字字给给教教室室里里的的座座位位编编号号，总总共共能能够够编编出出多少种不同的号码？多少种不同的号码？探究：你能说说以上两个问题的特征吗？探究：你能说说以上两个问题的特征吗？问题问题2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车乘汽车.如果一天中火车有如果一天中火车有3班，汽

3、车有班，汽车有2班班.那那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？共有多少种不同的走法？分类加法计数原理分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有类方案中有m种不同的方法，在第种不同的方法，在第2类方类方案中有案中有n种不同的方法种不同的方法.那么完成这件事那么完成这件事共有共有N=m+n种不同的方法种不同的方法.例例1在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A、B两两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：所大学各有一些自己感兴趣的强项专

4、业，具体情况如下：A大学大学B大学大学生物学生物学化学化学医学医学物理学物理学工程学工程学数学数学会计学会计学信息技术学信息技术学法学法学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？变式：变式：若还有若还有C C大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学资源学.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？分类加法计数原理分类加法计数原理如果完成一件事情有如果完成一件事情有n类不同方案，在每一类中都类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计

5、数呢？有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？一般归纳：一般归纳：完成一件事情有完成一件事情有n类不同方案，类不同方案，在第在第1类方案中有类方案中有 种不同的方法，在第种不同的方法，在第2类方类方案中有案中有 种不同的方法种不同的方法在第在第n类方案中有类方案中有 种不同的方法种不同的方法.那么完成这件事共有那么完成这件事共有N=m1+m2+mn 种不同的方法种不同的方法例例2、在例、在例1中，如果数学也是中，如果数学也是A大学的强项专业，大学的强项专业，则则A大学共有大学共有6个专业可以选择，个专业可以选择，B大学共有大学共有4个专个专业可以选择，那么用分类加法计数原理，得到这业可以选择，那

6、么用分类加法计数原理，得到这名同学可能的专业选择共有名同学可能的专业选择共有 6+4=10种种 这种算法有什么问题？这种算法有什么问题？在分类加法计数原理中，各类方案中的方法不在分类加法计数原理中，各类方案中的方法不能出现相同的。能出现相同的。问题问题问题问题1 1：从甲地到乙地，要从甲地选乘火车到丙从甲地到乙地，要从甲地选乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地一天中，火车有地，再于次日从丙地乘汽车到乙地一天中，火车有3班，汽车有班，汽车有2班那么两天中，从甲地到乙地共有多班那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法少种不同的走法？这这个个问问题题与与前前一一个个问问题题不不同同在在前前一

7、一个个问问题题中中，采采用用乘乘火火车车或或汽汽车车中中的的任任何何一一种种方方式式，都都可可以以从从甲甲地地到到乙乙地地；而而在在这这个个问问题题中中，必必须须经经过过先先乘乘火火车车、后后乘乘汽汽车车两两个个步步骤骤，才才能从甲地到乙地能从甲地到乙地 这里，因为乘火车有这里，因为乘火车有3种走法，乘汽车有种走法，乘汽车有2种走法，所以种走法，所以乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地，共有：乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地，共有：326种种不同的走法不同的走法思考思考？问题问题2：用前用前6 6个大写英文字母和个大写英文字母和1 19 9九个阿拉九个阿拉伯数字，以伯数字，以A A1 1，

8、A A2 2，B B1 1，B B2 2，的的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？不同的号码？分步乘法计数原理分步乘法计数原理 完完成成一一件件事事需需要要分分二二个个步步骤骤，在在第第1步步中中有有m种种不不同同的的方方法法，在在第第2步步中中有有n种种不不同同的方法的方法.那么完成这件事共有那么完成这件事共有 种不同的方法种不同的方法.例例3 3：设设某某班班有有男男生生3030名名，女女生生2424名名.现现要要从从中中选选出出男男、女女生生各各一一名名代代表表班班级级参参加加比比赛，共有多少种不同的选法？赛，共有多少种不同的选法？

9、探究：探究：如果完成一件事情需要如果完成一件事情需要n个步骤，做每个步骤，做每一步中都有若干种不同方法，那么应当如何计一步中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？数呢？一般归纳一般归纳 完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n个步骤。做第个步骤。做第1步有步有m1种不同的方法，做第种不同的方法，做第2步有步有m2种不同的方法，种不同的方法，做第做第n步有步有mn种不同的方法，则完成这件事共有种不同的方法，则完成这件事共有 N=m1m2 mn种不同的方法种不同的方法例例4：某区的部分某区的部分电话号号码是是8776,后面每个后面每个数字来自数字来自09这10个数个数,问可以可以产生多少个不同

10、的生多少个不同的电话号号码?n n1 1、由数字由数字l l，2 2，3 3，4 4，5 5可以组成多少个数字允许重可以组成多少个数字允许重复三位数？复三位数？n n解：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成：解：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成：n n第一步确定百位上的数字，从第一步确定百位上的数字，从5 5个数字中任选一个个数字中任选一个数字，共有数字，共有5 5种选法；种选法；n n第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，这仍有这仍有5 5种选法，种选法，n n第三步确定个位上的数字，同理，它也有第三步确定个位上的数字，同理，它也有5 5种选

11、法种选法n n根据乘法原理，得到可以组成的三位数的个数是根据乘法原理，得到可以组成的三位数的个数是N=5X5X5=125N=5X5X5=125n n答：可以组成答：可以组成125125个三位数个三位数练习练习n n(1)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？n n(2)由数字0，l，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？变式：变式：2、如、如图,要要给下面下面A、B、C、D四个区域分四个区域分别涂上涂上5种不种不同同颜色中的某一种色中的某一种,允允许同一种同一种颜色使用多次色使用多次,但相但相邻区域必区域必须涂不同的涂不同的颜色色,不同的涂色方案有多少种？不同

12、的涂色方案有多少种？3 3、4 4张卡片的正、反面分别有张卡片的正、反面分别有张卡片的正、反面分别有张卡片的正、反面分别有0 0与与与与1 1，2 2与与与与3 3，4 4与与与与5 5，6 6与与与与7 7，将其中将其中将其中将其中3 3张卡片排放在一起，可组成多少个不同的张卡片排放在一起，可组成多少个不同的张卡片排放在一起，可组成多少个不同的张卡片排放在一起，可组成多少个不同的位数？位数？位数？位数？解：分三个步骤：解：分三个步骤：第一步：首位可放第一步：首位可放81=7个数；个数；第二步：十位可放第二步：十位可放6个数；个数；第三步：个位可放第三步：个位可放4个数个数.根据分步计数原理，

13、可以组成根据分步计数原理，可以组成N=764=168个数个数.1、分、分类加法加法计数原理数原理：完成一件事，有：完成一件事，有n类办法，在法，在第第1类办法中有法中有m1种不同的方法种不同的方法,在第在第2类办法中有法中有m2种种不同的方法不同的方法在第在第n类办法中法中有有mn种不同的方法种不同的方法.那那么完成么完成这件事共有件事共有种不同的方法种不同的方法.2、分步乘法、分步乘法计数原理数原理：完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n个步个步骤，做第，做第1步有步有m1种不同的方法种不同的方法,做第做第2步有步有m2种不同的种不同的方法方法，做第，做第n步有步有mn种不同的方法种不同

14、的方法.那么完成那么完成这件件事共有事共有种不同的方法种不同的方法.分分类加法加法计数原理和分步乘法数原理和分步乘法计数原理的数原理的共同点：共同点：不同点：不同点：分分类加法加法计数原理与分数原理与分类有关，有关，分步乘法分步乘法计数原理与分步有关。数原理与分步有关。回答的都是有关做一件事的不同方法种数的回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题完成一件事，共有完成一件事，共有n类办法，关法，关键词“分分类”区区别1完成一件事，共分完成一件事，共分n个个步步骤，关，关键词“分步分步”区区别2区区别3每每类办法都能独立地完成法都能独立地完成这件事情，它是独立的、件事情，它是独立的、一次的、且每

15、次得到的是一次的、且每次得到的是最后最后结果，果，只只须一种方法一种方法就可完成就可完成这件事件事。每一步得到的只是中每一步得到的只是中间结果，果，任何一步都不能独立完成任何一步都不能独立完成这件件事，缺少任何一步也不能完成事，缺少任何一步也不能完成这件事，件事，只有各个步只有各个步骤都完成都完成了，才能完成了，才能完成这件事件事。各各类办法是互相独立的。法是互相独立的。各步之各步之间是互相关是互相关联的。的。即：即：类类独立，步步关独立，步步关联。例例4、书架上第书架上第1层放有层放有4本不同的计算机书本不同的计算机书,第第 2层放有层放有3本不同的文艺书本不同的文艺书,第第3层放有层放有2

16、本不同的本不同的体育杂志体育杂志.(2)从书架的第从书架的第1、2、3层各取层各取1本书本书,有多少种有多少种 不同取法不同取法?(1)从书架上任取从书架上任取1本书本书,有多有多少种不同的取法少种不同的取法?（3）从书架上任取）从书架上任取2种不同类型的书各种不同类型的书各1本，本，有多少种不同的取法？有多少种不同的取法？注意：有些较复杂的问题往往不是单纯的注意：有些较复杂的问题往往不是单纯的“分类分类”“分步分步”可以解决的，而要将可以解决的，而要将“分类分类”“分步分步”结合起来运用一般结合起来运用一般是先是先“分类分类”，然后再在每一类中，然后再在每一类中“分步分步”，综合应用分类，综

17、合应用分类计数原理和分步计数原理计数原理和分步计数原理 例例5、要从甲、乙、丙要从甲、乙、丙3幅不同的画中幅不同的画中选出出2幅，幅，分分别挂在左右两挂在左右两边墙上的指定位置，上的指定位置，问共有多共有多少种不同的挂法？少种不同的挂法？例例6.(a1a2)(b1b2b3)(c1c2c3c4)的的展展开开式式中中有有_项项.解解析析要得到要得到项数分三步：数分三步：第一步，从第一个因式中取一个因子，有两种取法；第一步，从第一个因式中取一个因子，有两种取法；第二步，从第二个因式中取一个因子，有第二步，从第二个因式中取一个因子，有3种取法；种取法；第三步，从第三个因式中取一个因子，有第三步，从第三

18、个因式中取一个因子，有4种取法种取法.由分步乘法由分步乘法计数原理知，共有数原理知，共有23424(项).例例7.由由0,1,2,3，4,5这这五五个数字，可组成多少个：个数字，可组成多少个：(1)无重复数字的三位数？无重复数字的三位数？其中能被其中能被5整除共有几个？整除共有几个？(2)可以有重复数字的三位数？可以有重复数字的三位数？跟跟踪踪训训练练 1用用0,1，9这这十十个个数数字字，可可以以组组成成多多少个：少个：(1)三位整数？三位整数？(2)无重复数字的三位整数？无重复数字的三位整数？(3)小于小于500的无重复数字的三位整数？的无重复数字的三位整数？巩固练习巩固练习 1.1.填空

19、：填空：一一件件工工作作可可以以用用2 2种种方方法法完完成成，有有5 5人人会会用用第第1 1种种方方法法完完成成，另另有有4 4人人会会用用第第2 2种种方方法法完完成成，从从中中选选出出1 1人人来来完完成成这这件件工作，不同选法的种数是工作，不同选法的种数是 .从从A A村村去去B B村村的的道道路路有有3 3条条，从从B B村村去去C C村村的的道道路路有有2 2条条，从从A A村经村经B B村去村去C C村，不同的路线有村，不同的路线有 条条.2.2.现现有有高高中中一一年年级级的的学学生生3 3名名，高高中中二二年年级级的的学学生生5 5名名，高中三年级的学生高中三年级的学生4

20、4名名.从中任选从中任选1 1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？法？从从3 3个个年年级级的的学学生生中中各各选选1 1人人参参加加接接待待外外宾宾的的活活动动，有有多多少种不同的选法？少种不同的选法？3.3.从从甲甲地地到到乙乙地地有有2种种走走法法，从从乙乙地地到到丙丙地地有有4种种走走法法，从从甲甲地地不不经经过过乙乙地地到到丙丙地地有有3种种走走法法，则则从从甲甲地地到丙地的不同的走法共有到丙地的不同的走法共有 种种.4.4.甲甲、乙乙、丙丙3 3个个班班各各有有三三好好学学生生3 3，5 5，2 2名名，现现准准备备推推选选两两名名来来自

21、自不不同同班班的的三三好好学学生生去去参参加加校校三三好好学学生生代代表大会，共有表大会，共有 种不同的推选方法种不同的推选方法.4 4、四个人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是、四个人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是、四个人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是、四个人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己送出的贺卡，共有多少种不同的方法？自己送出的贺卡，共有多少种不同的方法？自己送出的贺卡，共有多少种不同的方法？自己送出的贺卡，共有多少种不同的方法？n n我们可排出所有的分配方案：我们可排出所有的分配方案：（1 1）甲取得乙卡，然后类推，按甲、乙、丙、丁各取得的贺卡列出方案如

22、）甲取得乙卡，然后类推，按甲、乙、丙、丁各取得的贺卡列出方案如下：乙丙丁甲、乙甲丁丙、乙丁甲丙；下：乙丙丁甲、乙甲丁丙、乙丁甲丙；n n（2 2）甲取得丙卡，方案为：）甲取得丙卡，方案为：n n丙甲丁乙，丙丁甲乙，丙丁乙甲；丙甲丁乙，丙丁甲乙，丙丁乙甲；n n（3 3）甲取得丁卡，方案为：）甲取得丁卡，方案为：n n丁甲乙丙，丁丙甲乙，丁丙乙甲丁甲乙丙，丁丙甲乙，丁丙乙甲.n n由分类计数原理，共有由分类计数原理，共有3+3+3=93+3+3=9种种.n n n n另外，此题也可分步解决：另外，此题也可分步解决：n n第一步：甲取一张，有第一步：甲取一张，有3 3种取法；种取法；n n第二步：

23、由甲取出的那张贺卡的供卡人取，也有第二步：由甲取出的那张贺卡的供卡人取，也有3 3种取法；种取法；n n第三步：由剩余两人中任一人取，有一种取法；第三步：由剩余两人中任一人取，有一种取法；n n第四步：最后一人取，只有一种取法第四步：最后一人取，只有一种取法.n n由分步计数原理得不同取法有由分步计数原理得不同取法有3311=93311=9种种.小结：小结：分类加法计数原理与分步乘法计数原理体现了解分类加法计数原理与分步乘法计数原理体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即分步解决或分类解决，决问题时将其分解的两种常用方法，即分步解决或分类解决，它不仅是推导我们下面学的排列数与组合数计算公式的依据，它不仅是推导我们下面学的排列数与组合数计算公式的依据，而且其基本思想贯穿于解决本章应用问题的始终要注意而且其基本思想贯穿于解决本章应用问题的始终要注意“类类”间互相独立，间互相独立，“步步”间互相联系间互相联系