随机事件的概率(4).ppt

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1、一、频率及其性质一、频率及其性质 三、几何概率三、几何概率 二、概率的古典定义二、概率的古典定义第二节随机事件的概率第二节随机事件的概率随机事件在一次试验中可能发生也可能不发随机事件在一次试验中可能发生也可能不发生，更重要的是想知道生，更重要的是想知道事件出现的可能性大事件出现的可能性大小小，也就是事件的概率，也就是事件的概率.概率是概率是随机事件随机事件发生可能性大小发生可能性大小的度量的度量 事件发生的可能性事件发生的可能性越大，概率就越大，概率就越大！越大！例如，了解发生意外人身事故的可能例如，了解发生意外人身事故的可能性大小性大小,确定保险金额确定保险金额.了解来商场购物的顾客人数的各

2、种可能了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小，合理配置服务人员性大小，合理配置服务人员.一、频率及其性质一、频率及其性质定义定义次数为次数为频率频率.易见易见,频率具有下述基本性质频率具有下述基本性质:1.2.3.则则若在相同条件下进行若在相同条件下进行 次试验，次试验，其中其中 发生的发生的则称则称为事件为事件 发生的发生的若若 是互不相容的事件，是互不相容的事件，历史上著名的投掷硬币试验记录历史上著名的投掷硬币试验记录0.51810.50690.50160.500610612048601912012204840401200024000De MorganBuffonPearonPearon

3、正面频率正面频率(/n)正面次数正面次数()投掷次数投掷次数(n)试验者试验者试验表明试验表明：“正面出现正面出现”的频率总在一个的频率总在一个定值定值附近波动，附近波动，而且，试验次数越多，波动越小而且，试验次数越多，波动越小.这个性质叫这个性质叫做做频率的稳定性频率的稳定性.概率的统计定义概率的统计定义定义定义在相同条件下进行在相同条件下进行n次重复试验次重复试验,若事件若事件A发生的频率发生的频率 随着试验次数随着试验次数n的增大而的增大而稳定地在某个常数稳定地在某个常数P附近摆动附近摆动,则称则称P为事件为事件A的的概率，概率，记为记为P(A).概率被视为频率的稳定值概率被视为频率的稳

4、定值,从而应具有与频率相应的从而应具有与频率相应的性质性质:1.2.3.则则若若 是两两互不相容的事件是两两互不相容的事件,定义定义(1)样本空间中的样本点个数有限：样本空间中的样本点个数有限：(2)基本事件基本事件 两两互不相容；两两互不相容；(3)基本事件基本事件 发生的可能性相等发生的可能性相等 则称这个问题为则称这个问题为古典概型古典概型.随机事件随机事件 的概的概率定义为率定义为 其中，其中，|A|表示表示A中所含样本点的个数中所含样本点的个数.例：在抛硬币的试验中，例：在抛硬币的试验中，P(“出现正面出现正面”)=P(“出现正面出现正面”)=1/2.在掷骰子的试验中在掷骰子的试验中

5、,P(1)=P(2)=P(6)=1/6,P(“点数为奇数点数为奇数”)=3/6=1/2.P(“点数点数3”)=2/6=1/3 【例例1】号码锁上有号码锁上有6个拨盘，每个拨盘上有个拨盘，每个拨盘上有09共十个数字，共十个数字，当这当这6个拨盘上的数字组成原确定打开号码锁的个拨盘上的数字组成原确定打开号码锁的6位数位数 时时(第一位可以是第一位可以是0)，锁才能打开，如果不知道号码锁的，锁才能打开，如果不知道号码锁的号码，一次就能把锁打开的概率是多少？号码，一次就能把锁打开的概率是多少？【例例2】设一口袋中有设一口袋中有m件产品，其中有件产品，其中有k件正品，件正品，m-k件次品件次品.现从中任

6、意取出现从中任意取出n（n=m）件产品，问其中恰有）件产品，问其中恰有j(j=k)件件 正品的概率？正品的概率？定理定理2.1 古典概率具有下列性质古典概率具有下列性质 (1)(2)(3)如果事件如果事件A与与B互斥，则互斥，则 特别的，特别的，P(A)+P()=P(U)=1,即即 P(A)=1-P()【例例3】将一枚均匀硬币抛三次将一枚均匀硬币抛三次.(1)设事件设事件A为为“恰有一次出现正面恰有一次出现正面”，求，求P(A);(2)设事件设事件B为为“至多一次出现正面至多一次出现正面”，求，求P(B);(3)设事件设事件C为为“至少一次出现正面至少一次出现正面”，求，求P(C).【例例4】

7、产品放在一个箱子内，其中正品产品放在一个箱子内，其中正品46件，次品件，次品4件，现件，现按照下述两种取法从箱中取出两件产品，按照下述两种取法从箱中取出两件产品，取法取法1：每次取一件，看完放回箱中，再取下一件：每次取一件，看完放回箱中，再取下一件.这种这种取法称为取法称为放回抽样放回抽样.取法取法2：每次取一件，看完不放回箱中，再从剩余的产品：每次取一件，看完不放回箱中，再从剩余的产品取下一件取下一件.这种取法称为这种取法称为不放回抽样不放回抽样.在不同的取法下，在不同的取法下，求求 (1)取出的两件产品都是正品的概率取出的两件产品都是正品的概率 (2)取出的两件产品为同质量产品的概率取出的

8、两件产品为同质量产品的概率 (3)取到的两件产品中至少有一件是正品的概率取到的两件产品中至少有一件是正品的概率古典概率只限于古典概率只限于有限个基本事件有限个基本事件的情况的情况.当试验结果为无当试验结果为无穷多个可能时，古典概率不再适用穷多个可能时，古典概率不再适用.例：例：陀螺的形状为旋转体，在它的长为陀螺的形状为旋转体，在它的长为3的圆周上均匀地刻上的圆周上均匀地刻上刻度刻度.在桌面上旋转陀螺，当它停止转动后，观察它的圆在桌面上旋转陀螺，当它停止转动后，观察它的圆周与桌面的触点的刻度周与桌面的触点的刻度.求触点刻度落在求触点刻度落在1,2内的概率内的概率.在这个试验中，在这个试验中，样本

9、点为：样本点为：x,0=x3,x为实数为实数.基本事件：基本事件：x,0=x3.样本空间：样本空间：U=x|0=x3.因为陀螺是均匀的，所以可认为触点落在因为陀螺是均匀的，所以可认为触点落在0,3)内的每一内的每一点都是等可能的，而点都是等可能的，而1,2的长度是的长度是1，所以触点落在，所以触点落在1,2的概率应为的概率应为1/3.几何概率几何概率一般情况给出下面定义一般情况给出下面定义定义定义 设区域设区域G的长度的长度(或面积、体积或面积、体积)为为D,质点可以等可能地落质点可以等可能地落在在G中的任何一点中的任何一点.设事件设事件A=“质点落在质点落在G内一个长度内一个长度(或或面积、

10、体积面积、体积)为为d的区域的区域g内内”，则，则A的概率为的概率为 【例例6】(会面问题会面问题)甲乙两人约定上午甲乙两人约定上午7点到点到8点在某地会面点在某地会面.先到者等候另一先到者等候另一人人20分钟，过后就可离去分钟，过后就可离去.试求两人能会面的概率？试求两人能会面的概率？【例例7】在长度为在长度为a的线段的线段AD上任取两点上任取两点B，C，在，在B，C处处折断而得三个线段，求折断而得三个线段，求“这三个线段能构成三角形这三个线段能构成三角形”的概的概率？率？二、概率的公理化定义二、概率的公理化定义定义定义3:设设E是随机试验是随机试验,S是它的样本空间是它的样本空间,对于对于

11、E的每一件事件的每一件事件A赋予一个实数赋予一个实数,记为记为P(A),若若P(A)满满足下列三个条件足下列三个条件:1.非负性非负性:对每一个事件对每一个事件A,有有2.完备性完备性:3.可列可加性可列可加性:对任意可数个两两互不相容的对任意可数个两两互不相容的事件事件有有则称则称 P(A)为事件为事件A的概率的概率.三、概率的性质三、概率的性质性质性质1性质性质2(有限可加性有限可加性)设设是两两不相是两两不相容的事件，容的事件，则有则有性质性质3性质性质4特别地，特别地，若若则则(1)(2)性质性质5对任一事件对任一事件A，性质性质6注注：性质性质6可推广到任意有限个事件的并的情形可推广到任意有限个事件的并的情形.例如例如,【例例8】设设 P(A)=1/3,P(B)=1/2,在下列三种情况下求在下列三种情况下求P()：(1)与与 互斥互斥；(2)；(3).【例例9】在在12000的整数中随机地取一个数，问取的整数中随机地取一个数，问取 到的整数既不能被到的整数既不能被6整除又不能被整除又不能被8整除的概整除的概 率是多少？率是多少？