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1、高等数学讲义第十二章级数第一页,本课件共有52页第二页,本课件共有52页第三页,本课件共有52页2。无穷级数的基本性质。无穷级数的基本性质性质1。级数的每一项乘上同一个不为零的常数后,与原级数有相同的敛散性。第四页,本课件共有52页性质3。在级数的前面添加有限项或去掉有限项,不改变级数的敛散性。性质4。收敛级数加括号后所组成的新级数仍收敛。反之不然。性质5。(级数收敛的必要条件)如果加括号后所组成的新级数发散,则原级数一定发散。第五页,本课件共有52页第六页,本课件共有52页2。正项级数及其敛散性的判别法。正项级数及其敛散性的判别法1。正项级数。正项级数第七页,本课件共有52页2。正项级数的比
2、较判别法。正项级数的比较判别法第八页,本课件共有52页第九页,本课件共有52页第十页,本课件共有52页第十一页,本课件共有52页第十二页,本课件共有52页3。正项级数的比值判别法。正项级数的比值判别法第十三页,本课件共有52页第十四页,本课件共有52页4。正项级数的根值判别法。正项级数的根值判别法第十五页,本课件共有52页5。正项级数的积分判别法。正项级数的积分判别法第十六页,本课件共有52页3。任意项级数。任意项级数1。交错级数的收敛性判别法。交错级数的收敛性判别法第十七页,本课件共有52页第十八页,本课件共有52页2。绝对收敛与条件收敛。绝对收敛与条件收敛第十九页,本课件共有52页第二十页
3、,本课件共有52页常数项级数的敛散性判别法?NY比值法、比较法、根值法YYN莱布尼兹判别法N第二十一页,本课件共有52页4。幂级数。幂级数1。函数项级数第二十二页,本课件共有52页第二十三页,本课件共有52页第二十四页,本课件共有52页2。幂级数及其收敛半径下面讨论形式最简单且重要的函数项级数-幂级数第二十五页,本课件共有52页第二十六页,本课件共有52页则称 R 为幂级数的收敛半径。而称(-R,R)为幂级数收敛区间第二十七页,本课件共有52页第二十八页,本课件共有52页第二十九页,本课件共有52页第三十页,本课件共有52页3。幂级数的性质第三十一页,本课件共有52页性质1(连续性)性质2(可
4、导性)性质3(可积性)第三十二页,本课件共有52页第三十三页,本课件共有52页第三十四页,本课件共有52页5。函数展开成幂级数。函数展开成幂级数1。泰勒级数。泰勒级数n 阶泰勒公式第三十五页,本课件共有52页第三十六页,本课件共有52页第三十七页,本课件共有52页2。函数的幂级数展开一些常用初等函数的麦克劳林展开式第三十八页,本课件共有52页第三十九页,本课件共有52页下列两个常用公式要记住第四十页,本课件共有52页第四十一页,本课件共有52页第四十二页,本课件共有52页6。傅里叶级数。傅里叶级数1。三角级数及三角函数系的正交性。三角级数及三角函数系的正交性第四十三页,本课件共有52页第四十四
5、页,本课件共有52页2。傅里叶级数。傅里叶级数那么由三角函数系的正交性可以得到第四十五页,本课件共有52页第四十六页,本课件共有52页3。收敛定理(狄利克利充分条件)。收敛定理(狄利克利充分条件)第四十七页,本课件共有52页第四十八页,本课件共有52页正弦级数与余弦级数第四十九页,本课件共有52页4。周期为。周期为 2l 的函数的傅里叶级数展开式的函数的傅里叶级数展开式第五十页,本课件共有52页第五十一页,本课件共有52页5。定义在有限区间上的函数的傅里叶级数展开式。定义在有限区间上的函数的傅里叶级数展开式(1)定义在(-l,l)区间上的函数的傅里叶级数展开式(2)定义在(0,l)区间上的函数的傅里叶级数展开式第五十二页,本课件共有52页