速率方程组与粒子数反转.ppt

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1、2.2.2.2.速率方程组与粒子数反转速率方程组与粒子数反转回顾回顾实现粒子数反转的两个必要条件实现粒子数反转的两个必要条件:工作物质粒子有适当的能级结构工作物质粒子有适当的能级结构 有合适的激励能源有合适的激励能源前瞻前瞻分析方法分析方法:速率方程方法速率方程方法以及速率方程的求解步骤以及速率方程的求解步骤速率方程方法速率方程方法:分析粒子系统能否实现反转的一种方法分析粒子系统能否实现反转的一种方法 速率方程速率方程:描述各能级粒子数描述各能级粒子数(密度密度)变化速率的方程变化速率的方程组组 速率方程的求解步骤速率方程的求解步骤:(1)(1)列出速率方程列出速率方程:(:(i=1,2,.n

2、)n是粒子参予光和物质相互作用的能级总数。若粒子有是粒子参予光和物质相互作用的能级总数。若粒子有n n个能个能级级,则可列出则可列出n个方程个方程,其中其中(n-1)-1)个独立。个独立。(!可实现粒子数反转的几种量子系统可实现粒子数反转的几种量子系统)(2)(2)求出速率方程的稳定解求出速率方程的稳定解(数学解数学解):):求出稳态下求出稳态下 ()()各能级的粒子数各能级的粒子数,或比值或比值 其中其中nj-激光上能级粒子数激光上能级粒子数 ni-激光下能级粒子数激光下能级粒子数稳态稳态-达到动态平衡时达到动态平衡时;稳态下各能级粒子数密度不再稳态下各能级粒子数密度不再变化变化(即即 )。

3、（3 3）确定粒子数反转确定粒子数反转(即即 ）的物理条件的物理条件(物理解物理解)2.2.1 2.2.1 三能级系统和四能级系统三能级系统和四能级系统一一.二能级系统二能级系统*(*(光与粒子相互作用过程只涉及二个能级光与粒子相互作用过程只涉及二个能级)1.1.能级图能级图 约定约定:实线箭头代表辐射跃迁实线箭头代表辐射跃迁;虚线箭头代表非辐射跃迁虚线箭头代表非辐射跃迁。其中其中：W12受激吸收几率受激吸收几率(激励几率激励几率)W21受激发射几率受激发射几率 A21自发发射几率自发发射几率 21非辐射跃迁几率非辐射跃迁几率(热弛豫等热弛豫等,热弛豫即热运动热弛豫即热运动 碰撞交换能量碰撞交

4、换能量)（双下标代表过程的量）2.2.速率方程速率方程:二能级系统只有二能级系统只有1 1个独立的速率方程个独立的速率方程方程中的每一项方程中的每一项:某一过程的几率与该过程始态能级上的粒子数之积某一过程的几率与该过程始态能级上的粒子数之积=该过程该过程导致的粒子数变化率导致的粒子数变化率(!)(!)能级能级E2上粒子数密度的变化率为上粒子数密度的变化率为：第一项第一项受激吸收引起的受激吸收引起的n2的增加率的增加率,取正号取正号 (过程几率与过程始态上粒子数的乘积过程几率与过程始态上粒子数的乘积););第二项第二项受激发射引起的受激发射引起的n2的减少率的减少率,取负号取负号;第三项第三项自

5、发发射引起的自发发射引起的n2的减少率的减少率,取负号取负号;第四项第四项非辐射跃迁引起的非辐射跃迁引起的n2的减少率的减少率,取负号。取负号。若设若设 g1=g2,则则 W12=W21=W,速率方程变为速率方程变为 3.3.稳定解稳定解(数学解数学解):):稳态下稳态下 ,故故 可见可见:对二能级系统对二能级系统,一般总有一般总有 ;仅当激励速率很大时仅当激励速率很大时 (),(),4.4.结论结论(物理解物理解):):在光频区在光频区,二能级系统二能级系统不可能不可能实现粒子数实现粒子数 反转反转二二.实现上下能级之间粒子数反转产生激光的物理过程：实现上下能级之间粒子数反转产生激光的物理过

6、程：1.1.三能级系统图:其中其中 E1基态能级基态能级,又是激光下能级又是激光下能级,也是抽运能级。也是抽运能级。E2激光上能级激光上能级,是亚稳能级是亚稳能级(2121小小)。E3抽运能级抽运能级,非辐射跃迁几率大非辐射跃迁几率大(3232大大(!)(!)其主要特征是激光的下能级为基态，极易积累粒子(几乎聚集了所有粒子),发光过程中下能级的粒子数一直保存有相当的数量,对抽运的要求很高。所以不易实现粒子数反转所以不易实现粒子数反转 若激光下能级不是基态,则反转条件较易实现-这正是要讨论的四能级系统的优点 由图可见:四能级系统要实现粒子数反转,只要求n2n1而不必令n2 n0,而n0则是极易积

7、累的基态粒子数。E0:基能级基能级/光抽运能级光抽运能级E1:不是基态能级，而是一个激发态能不是基态能级，而是一个激发态能,是是激光下能级激光下能级,10小小 而而10大大(迅速弛豫到迅速弛豫到E0,抽空抽空E1,减少减少n1)在常温下基本上是空的。在常温下基本上是空的。E2:激光上能级激光上能级/亚稳能级亚稳能级(易积累易积累n2)E3:光抽运能级光抽运能级,32小而小而32 大大(迅速迅速弛豫弛豫到到E2)2.2.四能级系统图:3.3.激光下能级粒子数与基态粒子数的比较激光下能级粒子数与基态粒子数的比较:实例实例:(:(三价钕离子三价钕离子),而常温下而常温下(T=300K)即即2.2.2

8、 2.2.2 速率方程组速率方程组一一.未考虑谱线增宽时的情况未考虑谱线增宽时的情况1.三能级系统 约定:实线箭头代表辐射跃迁;虚线箭头代表非辐射跃迁。(1).速率方程:3个能级应有2个独立方程 但故且而三能级系统激光工作物质的典型例子是红宝石晶体。红宝石在室温下的一些跃迁几率数据为:320.5107s-l A313105s-1,A210.3103s-1,21,310.(2).稳定解(数学解):故由（1)有代入（2）有(1)(2)当激光器工作达到稳定时,抽运和跃迁达到动平衡，各能级上粒子数密度并不随时间而改变，即：(3)当当 (如红宝石如红宝石),),则则 ,得得 ,于是于是(3)(3)要实现

9、粒子数反转即要实现粒子数反转即,应该满足应该满足 (4).(4).物理解物理解:三能级系统粒子数反转三能级系统粒子数反转(即即 ）的物理条）的物理条 件是：件是：必须使从基态必须使从基态E1到到E3的抽运速率的抽运速率W13大于从大于从 E2到到E1的的 自发发射几率自发发射几率A21.即即W13A21 A31 W31 W13 31 32 W21 W12 A21 21 E3 E1 E2 这里对W13的要求很高,由于这一原因,除红宝石激光器采用三能级系统外,目前大多数激光器都采用激光下能级不是基态的四能级系统.选择工作物质的一条标准:粒子有易于实现反转的能级结构.2.四能级系统(1)能级图 (2

10、)用以上方法可得其数学解:(4)四能级系统中(3)物理条件:比较(4)式与三能级系统的(3)即 可见:四能级系统要实现粒子数反转,所需激励速率 远小于三能级 系统的 ;所需抽运强度远低于三能级。因此，四能级系统的阈值抽运强度比三能级系统小，有时甚至可以小34个数量级。产生激光要比三能级系统容易得多。1.1.图图(2-5)(2-5)为简化的四能级图，为简化的四能级图，n0、n1、n2分别为基态、上能级、下能级分别为基态、上能级、下能级的粒子数密度；的粒子数密度；n为为单位体积内增益介质的总粒子数，单位体积内增益介质的总粒子数，R1、R2分别是激励分别是激励能源将基态能源将基态E0上的粒子抽运到上

11、的粒子抽运到E1、E2能级上的速率；能级上的速率；2.2.速率方程速率方程:3:3个能级应有个能级应有2 2个独立方程个独立方程(1)(1)E2能级在单位时间内增加的粒子数密能级在单位时间内增加的粒子数密度为：度为：第一项第一项激励能源抽运激励能源抽运引起的引起的n2的增加率的增加率,取正号取正号;第二项第二项自发发射引起的自发发射引起的n2的减少率的减少率,取负号取负号;第三项第三项受激发射引起的受激发射引起的n2的减少率的减少率,取负号取负号;第四项第四项受激吸收引起的受激吸收引起的n2的增加率的增加率,取正号取正号;此处因为考虑到介质的线型函数远比传播着的光能量密度为 的单色受激辐射光的

12、线宽要宽得多,故应用(1-54)式和(1-55)式因为E2能级向E1能级的自发跃迁几率A21远大于E2能级向基级能级E0的自发跃迁几率A20,所以这里没有考虑由A20引起的跃迁.图(2-5)）简化的四能级图二二.考虑谱线增宽时的情况考虑谱线增宽时的情况?(2)(2)E1能级在单位时间内增加的粒子数密度为：能级在单位时间内增加的粒子数密度为：图(2-5)）简化的四能级图式中各项的物理过程及物理意义如同以上所述.总的粒子数为各能级粒子数之和速率方程组速率方程组 以上三式即为在增益介质中同时存在抽运、吸收、自发辐射和受激辐射时各能级上的粒子数密度随时间变化的速率方程组。2.2.3 2.2.3 稳态工

13、作时稳态工作时的粒子数密度反转分布的粒子数密度反转分布一一.当激光器工作达到稳定时,抽运和跃迁达到动态平衡，各能级上粒子数密度并不随时间而改变，即：假设能级E2、E1的简并度相等，即g1=g2，因此有B12=B21，又认为E2能级向E1能级的自发跃迁几率远大于E2能级向基态E0的自发跃迁几率，即A2=A21 则有：将上两式相加可得：由上几式可得：则激光上下能级粒子数密度反转分布的表达式为：式中1、2 分别为上、下能级的寿命2.2.4 2.2.4 小信号工作时小信号工作时的粒子数密度反转分布的粒子数密度反转分布 由式 可得：一一.小信号小信号粒子数密度反转分布粒子数密度反转分布它是当分母中的第二

14、项为零时的粒子数密度反转分布值。而分母中的第二项一定是个正值，因此它又是粒子数密度反转分布值可能达到的最大值。显然只有在谐振腔中传播的单色光能密度可能趋近于零(0即I 0)，换句话说，参数 对应着谐振腔的单色光能密度为零或者近似为零时的粒子数密度反转分布的大小。参数 对应着激光谐振腔尚未发出激光时的状态(入射光不含 )，通常把这个状态叫作小信号工作状态，而参数 就被称作是小信号工作时的粒子数密度反转分布。n0称作小信号反转集居数密度,它正比于受激辐射上能级寿命2及激发几率R2.二二.小信号小信号粒子数反转的物理条件粒子数反转的物理条件:1.1.激光上能级E2的寿命要长,使该能级上的粒子不能轻易

15、地通过非受激辐射而离开;2.2.激光下能级E1的寿命要短,使该能级上的粒子很快地衰减;3.3.选择合适的激励能源,使它对介质的E2能级的抽运速率R2愈大愈好,而E1能级的抽运速率R1愈小愈好.即满足条件即满足条件2.2.5 2.2.5 均匀增宽型介质的粒子数密度反转分布均匀增宽型介质的粒子数密度反转分布 由式 可知 激光工作物质的光谱线型函数对激光器的工作有很大的影响.具有均匀加宽谱线和具有非均匀加宽谱线的工作物质的反转密度行为有很大差别,由它们所构成的激光器的工作特性也有很大不同,因此将分别予以讨论。一一.对于均匀增宽的介质如果介质中传播的光波频率为 ，则有：饱和光强如果介质中传播的光波频率

16、 ，则有：则有：一般情况下的粒子数密度反转分布可以表示为：这就是均匀增宽型介质E2、E1能级之间粒子数反转分布的表达式。它给出能级间粒子数反转分布值与腔内光强、光波的中心频率、介质的饱和光强、激励能源的抽运速率以及介质能级的寿命等参量的关系。(2-10)均匀增宽情形均匀增宽情形:只要入射光频率在谱线线宽范围内只要入射光频率在谱线线宽范围内,所有粒子所有粒子 都参加受激发射都参加受激发射/吸收吸收;2.2.6 2.2.6 均匀增宽型介质粒子数密度反转分布的饱和效应均匀增宽型介质粒子数密度反转分布的饱和效应 本节研究本节研究:反转粒子数密度反转粒子数密度n的饱和效应（讨论的饱和效应（讨论n与各种与

17、各种因素的关系，引出因素的关系，引出n饱和效应饱和效应的概念。）的概念。）一一.粒子数反转分布粒子数反转分布n 饱和效应饱和效应:介质已实现粒子数反转并达介质已实现粒子数反转并达到阈值。入射光中含频率到阈值。入射光中含频率 时时,强烈的受激发射使激强烈的受激发射使激光上能级光上能级 的粒子数的粒子数 迅速减少迅速减少,随入射光强随入射光强I I 增大反而增大反而下降的现象下降的现象.图(2-5)）简化的四能级图 由式 可知：可见可见:只要有只要有 的光入射的光入射()()，必有饱和必有饱和nn0 饱和原因:入射光引起强烈的受激发射使激光上能级粒子 数减少。二二.n与入射光频率与入射光频率v的关

18、系的关系:讨论 时时:(入射光频率等于谱线中心频率入射光频率等于谱线中心频率)可见可见:I I一定时一定时,对不同入射光频率对不同入射光频率v,n不同不同.只要只要 ,必有必有 有饱和效应有饱和效应;若若 ,饱和效应显著。饱和效应显著。0IsIv这是由于中心频率处受激辐射几率最大，所以入射光造成的反转集居数下降越严重。时时:(:(入射光频率偏离谱线中心频率时入射光频率偏离谱线中心频率时)可见可见:只要只要 ,则则 ,仍有饱和效应仍有饱和效应.在处时 结论结论:不论不论v是否偏离是否偏离v0 0均有饱和效应均有饱和效应;偏离偏离v0越远越远,饱和作用越弱饱和作用越弱.(3).(3).为了更具体地

19、说明频率对n的影响，令腔中光强都等于Is，根据上式算出几个频率下的n值。如下表所示。随着频率对中心频率的偏离，光波对粒子数密度反转分布值的影响逐渐减小。频率 确定对介质有影响的光波的频率范围，通常采用与线型函数的线宽同样的定义方法：频率为0、强度为Is的光波使n0减少了n02，这里把使n0减少(n02)/2的光波频率与0之间的间隔，定义为能使介质产生饱和作用的频率范围 ，通常认为频率在此范围内的人射光才会引起显著的饱和作用。三三饱和光强饱和光强(饱和参量饱和参量)Is 的物理意义的物理意义:衡量饱和的程度衡量饱和的程度 时时,和和I无关无关,饱和可忽略饱和可忽略;时时,随随I I增大而下降增大而下降,显著饱和显著饱和.由介质性质决定由介质性质决定,从手册查出从手册查出.Is的数值取决于增益介质的性质,它可以由实验测定,或由经验公式确定.氦氖激光器:Is=0.1W/mm2 0.3W/mm2二氧化碳激光器:Is=W/mm2d放电管的直径，单位为mm