章节程地位和作用.ppt

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1、章节程地位和作用 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望课程的地位和作用课程的地位和作用线性代数（线性代数（线性代数（线性代数（线性代数（线性代数（Linear AlgebraLinear AlgebraLinear AlgebraLinear AlgebraLinear AlgebraLinear Algebra）是代数学的一个分支，）是代数学的一个分支，）是代数学的一个分支，）是代数学的一个分支，）是代数学的一个分支，）是代数学的一个分支，“代数代数代

2、数代数代数代数”这一个词在我国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们这一个词在我国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们这一个词在我国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们这一个词在我国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们这一个词在我国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们这一个词在我国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们译成译成译成译成译成译成“阿尔热巴拉阿尔热巴拉阿尔热巴拉阿尔热巴拉阿尔热巴拉阿尔热巴拉”，直到，直到，直到，直到，直到，直到185918591859185918591859年，清代著名的数学家、翻译年，清代著名的数学家、翻译年，清代著名的数学家、翻译年，清代著

3、名的数学家、翻译年，清代著名的数学家、翻译年，清代著名的数学家、翻译家李善兰才将它翻译成为家李善兰才将它翻译成为家李善兰才将它翻译成为家李善兰才将它翻译成为家李善兰才将它翻译成为家李善兰才将它翻译成为“代数学代数学代数学代数学代数学代数学”，一直沿用至今。，一直沿用至今。，一直沿用至今。，一直沿用至今。，一直沿用至今。，一直沿用至今。线性代数是一门非常重要的基础课之一。线性代数主要处理线性代数是一门非常重要的基础课之一。线性代数主要处理线性代数是一门非常重要的基础课之一。线性代数主要处理线性代数是一门非常重要的基础课之一。线性代数主要处理线性代数是一门非常重要的基础课之一。线性代数主要处理线性

4、代数是一门非常重要的基础课之一。线性代数主要处理的是线性关系的问题，随着数学的发展，线性代数的含义也不的是线性关系的问题，随着数学的发展，线性代数的含义也不的是线性关系的问题，随着数学的发展，线性代数的含义也不的是线性关系的问题，随着数学的发展，线性代数的含义也不的是线性关系的问题，随着数学的发展，线性代数的含义也不的是线性关系的问题，随着数学的发展，线性代数的含义也不断的扩大。它的理论不仅渗透到了数学的许多分支中，而且还断的扩大。它的理论不仅渗透到了数学的许多分支中，而且还断的扩大。它的理论不仅渗透到了数学的许多分支中，而且还断的扩大。它的理论不仅渗透到了数学的许多分支中，而且还断的扩大。它

5、的理论不仅渗透到了数学的许多分支中，而且还断的扩大。它的理论不仅渗透到了数学的许多分支中，而且还在理论物理、理论化学、工程技术、国民经济、生物技术、航在理论物理、理论化学、工程技术、国民经济、生物技术、航在理论物理、理论化学、工程技术、国民经济、生物技术、航在理论物理、理论化学、工程技术、国民经济、生物技术、航在理论物理、理论化学、工程技术、国民经济、生物技术、航在理论物理、理论化学、工程技术、国民经济、生物技术、航天、航海等领域中都有着广泛的应用。天、航海等领域中都有着广泛的应用。天、航海等领域中都有着广泛的应用。天、航海等领域中都有着广泛的应用。天、航海等领域中都有着广泛的应用。天、航海等

6、领域中都有着广泛的应用。该课程对于培养学生的逻辑推理和抽象思维能力、空间直观该课程对于培养学生的逻辑推理和抽象思维能力、空间直观该课程对于培养学生的逻辑推理和抽象思维能力、空间直观该课程对于培养学生的逻辑推理和抽象思维能力、空间直观该课程对于培养学生的逻辑推理和抽象思维能力、空间直观该课程对于培养学生的逻辑推理和抽象思维能力、空间直观和想象能力具有重要的作用。通过线性代数的学习，能使学生和想象能力具有重要的作用。通过线性代数的学习，能使学生和想象能力具有重要的作用。通过线性代数的学习，能使学生和想象能力具有重要的作用。通过线性代数的学习，能使学生和想象能力具有重要的作用。通过线性代数的学习，能

7、使学生和想象能力具有重要的作用。通过线性代数的学习，能使学生获得应用科学中常用的矩阵、线性方程组等理论及其有关基本获得应用科学中常用的矩阵、线性方程组等理论及其有关基本获得应用科学中常用的矩阵、线性方程组等理论及其有关基本获得应用科学中常用的矩阵、线性方程组等理论及其有关基本获得应用科学中常用的矩阵、线性方程组等理论及其有关基本获得应用科学中常用的矩阵、线性方程组等理论及其有关基本知识，并具有较熟练的矩阵运算能力和用矩阵方法解决一些实知识，并具有较熟练的矩阵运算能力和用矩阵方法解决一些实知识，并具有较熟练的矩阵运算能力和用矩阵方法解决一些实知识，并具有较熟练的矩阵运算能力和用矩阵方法解决一些实

8、知识，并具有较熟练的矩阵运算能力和用矩阵方法解决一些实知识，并具有较熟练的矩阵运算能力和用矩阵方法解决一些实际问题的能力。际问题的能力。际问题的能力。际问题的能力。际问题的能力。际问题的能力。一、张扬的个性一、张扬的个性二、灵活的思维二、灵活的思维三、欣赏的眼光三、欣赏的眼光第一章 行列式 第一节第一节 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式 用消元法解二元线性方程组用消元法解二元线性方程组两式相减消去两式相减消去 ，得，得一、二阶行列式一、二阶行列式一、二阶行列式一、二阶行列式1 1 1 1、引入、引入、引入、引入类似的，消去类似的，消去 ，得，得方程组的解为方程组的解为由方程组的四个系数确定由方

9、程组的四个系数确定.当当时，时，2 2 2 2、定义、定义、定义、定义Def Def 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排由四个数排成二行二列（横排称行、竖排所确定的表达式所确定的表达式称列）的数表称列）的数表称为称为二阶行列式二阶行列式，记为，记为主对角线主对角线副对角线副对角线若记若记对于二元线性方程组对于二元线性方程组系数行列式系数行列式3 3 3 3、计算、计算、计算、计算1 1）对角线法则）对角线法则行标行标列标列标记记记记则二元线性方程组的解为则二元线性方程组的解为系数行列式系数行列式系数行列式系数行列式今有牛五羊二，直金十两，牛二羊五，直金八两，今有牛五羊二，直金十两，牛二羊五，

10、直金八两，问牛羊各直几金？问牛羊各直几金？例例1 1解：解：牛羊分别直牛羊分别直金，记金，记1 1 1 1、定义、定义、定义、定义二、三阶行列式二、三阶行列式二、三阶行列式二、三阶行列式（6 6）式称为数表（）式称为数表（5 5）所确定称为）所确定称为三阶行列式三阶行列式.记为记为构成数表构成数表（5 5）（6 6）确定一个表达式，确定一个表达式，由九个数排成三行三列（横排称行、竖排称列）由九个数排成三行三列（横排称行、竖排称列）2)2)沙路法沙路法2 2 2 2、计算、计算、计算、计算1)1)对角线法则对角线法则以上两种方法只适用于二阶与三阶行列式以上两种方法只适用于二阶与三阶行列式.解解

11、按对角线法则，有按对角线法则，有例例2 2 求行列式求行列式 解解 按对角线法则，有按对角线法则，有例例3 3 求解方程求解方程所以所以若系数行列式若系数行列式3 3 3 3、三元线性方程组三元线性方程组三元线性方程组三元线性方程组则则例例4 4 解线性方程组解线性方程组解解 由于方程组的系数行列式为由于方程组的系数行列式为且且同理可得同理可得故方程组的解为故方程组的解为:其中其中 为将系数行列式的第为将系数行列式的第i i列分别用常数列分别用常数项来代替而得的新的行列式项来代替而得的新的行列式.一、排列与逆序一、排列与逆序一、排列与逆序一、排列与逆序“小小 羊羊 上上 山山 吃吃 草草”六字

12、可以构成多少句话？六字可以构成多少句话？“”六个数字可以组成多少个六位数？六个数字可以组成多少个六位数？没有重复元素没有重复元素2 2 2 2、定义、定义、定义、定义1 1 1 1、引例、引例、引例、引例把个不同的元素排成一列，叫做这个元素的把个不同的元素排成一列，叫做这个元素的全排列全排列（或（或排列排列）.级排列共有种级排列共有种如：如：特别特别：把个不同的数码、：把个不同的数码、组成、组成的有序数组称为一个的有序数组称为一个级（阶、元）排列级（阶、元）排列.记作：记作：级排列共有种：级排列共有种：级排列共有种：级排列共有种：例例 排列中，排列中，我们规定各元素之间有一个标准次序我们规定各

13、元素之间有一个标准次序,个不同个不同的自然数，规定由小到大为的自然数，规定由小到大为标准次序标准次序.3 3 3 3、逆序数、逆序数、逆序数、逆序数3 2 5 1 43 2 5 1 4定义定义逆序逆序逆序逆序逆序逆序逆序逆序逆序逆序分析分析定义定义的逆序的逆序.则称这则称这两个数组成一个逆序两个数组成一个逆序.中，若数中，若数在一个排列在一个排列前面比前面比大的元素的个数称为大的元素的个数称为元素元素排在元素排在元素请同学们以最快的速度写出所有级排列请同学们以最快的速度写出所有级排列.逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列；逆序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶

14、排列.4 4 4 4、排列的奇偶性、排列的奇偶性、排列的奇偶性、排列的奇偶性例例1 1 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.1 1）定义定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数逆序数.记为记为解：解：故此排列为偶排列故此排列为偶排列.2 1 7 9 8 6 3 5 42 1 7 9 8 6 3 5 45 50 01 13 30 04 44 40 01 1当当 时为偶排列；时为偶排列；当当 时为奇排列时为奇排列.解：解：0 01 12 22 2）计算排列的逆序数，并讨论奇偶性计算排列的逆序数，并讨论奇偶性.

15、分析分析当当 为奇数时，该排列为奇排列为奇数时，该排列为奇排列.当当 为偶数时，该排列为偶排列；为偶数时，该排列为偶排列；特别：特别：将相邻两个元素对调，叫做将相邻两个元素对调，叫做相邻对换相邻对换.1 1 1 1、定义、定义、定义、定义二、对换二、对换二、对换二、对换在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做动，这种作出新排列的手续叫做对换对换.例例1 1）2 2）2 2 2 2、对换与排列的奇偶性的关系、对换与排列的奇偶性的关系、对换与排列的奇偶性的关系、对换与排列的奇偶性的关系定理定理1 1一个排列中的任意两个元素对换，排

16、列改一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。变奇偶性。证明：证明：设排列为设排列为 1 1）易见除易见除 外，其它元素的逆序数不改变，外，其它元素的逆序数不改变，若若对换对换对换后对换后的逆序数不变，而的逆序数不变，而 的逆序数减的逆序数减1 1；若若对换后对换后的逆序数增的逆序数增1 1，而，而 的逆序数不变的逆序数不变.因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性。因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性。设排列为设排列为 2 2）对换对换次相邻对换次相邻对换所以任意两个元素对换，排列改变奇偶性所以任意两个元素对换，排列改变奇偶性.次相邻对换次相邻对换欲欲即即次相邻对换次相邻对换推论推论奇排列调

17、成标准排列的对换次数为奇数，奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.定理定理2 2 个元素个元素()共有共有!个阶排列个阶排列,其中其中奇、偶排列各占一半奇、偶排列各占一半.证明证明:设设共有共有个奇排列个奇排列,个偶排列，现证个偶排列，现证.故必有故必有奇排列奇排列偶排列偶排列 所以所以前两个数对换前两个数对换个个个个偶排列偶排列奇排列奇排列 所以所以前两个数对换前两个数对换个个个个 排列具有奇偶性排列具有奇偶性.一次对换，排列改变奇偶性一次对换，排列改变奇偶性.个不同的元素的所有排列种数为个不同的元素的所有排列种数为!三、小

18、结三、小结三、小结三、小结4 4 个元素个元素()共有共有!个阶排列个阶排列,其其中奇、偶排列各占一半中奇、偶排列各占一半.四、思考四、思考四、思考四、思考求排列求排列的逆序数两种思路的逆序数两种思路 排列中比每一元素排列中比每一元素 大的且排在大的且排在 前面的元素个数前面的元素个数，即是这个排列的逆序数。，即是这个排列的逆序数。的总和的总和排列中比每一元素排列中比每一元素 小的且排在小的且排在 后面的元素个数后面的元素个数，也是这个排列的逆序数。，也是这个排列的逆序数。的总和的总和例例 求下面排列的逆序数，并确定奇偶性求下面排列的逆序数，并确定奇偶性.解解1 1）从前往后求排在元素前面且比

19、从前往后求排在元素前面且比元素大的元素大的数的个数，而后求和数的个数，而后求和.2 2）从后往前求排在元素后面且比从后往前求排在元素后面且比元素小的元素小的数的个数，而后求和数的个数，而后求和.1 1 1 1、概念的引入、概念的引入、概念的引入、概念的引入二阶行列式二阶行列式三阶行列式三阶行列式分析分析（1 1）二阶行列式共有）二阶行列式共有 项，即项，即 项项（2 2）每项都是位于不同行不同列的（二）三个）每项都是位于不同行不同列的（二）三个元素的乘积元素的乘积（3 3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列）每项的正负号都取决于位于不同行不同列的（二）三个元素的下标排列的（二）三个元素的下标

20、排列 三阶行列式共有三阶行列式共有 项，即项，即 项项例例列标排列的逆序数为奇列标排列的逆序数为奇列标排列的逆序数为偶列标排列的逆序数为偶列标排列的逆序数为奇列标排列的逆序数为奇负号负号正号正号负号负号n n阶阶行行列列式式猜猜想想阶行列式是阶行列式是 项的代数和项的代数和;阶行列式的每项都是位于不同行、不同列阶行列式的每项都是位于不同行、不同列的的 个元素的乘积个元素的乘积;猜猜的符号为的符号为每项每项2 2 2 2、定义、定义、定义、定义由由 个数组成个数组成n n阶行列式等于所有取自不同行列的阶行列式等于所有取自不同行列的n n个元素的乘积的代数和个元素的乘积的代数和记作：记作：简记作简

21、记作，数，数 称为行列式的称为行列式的元素元素.其中其中为自然数为自然数的一个排列，的一个排列，为这个排列的逆序数。为这个排列的逆序数。说明说明1 1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的；定义的；2 2、阶行列式是阶行列式是 项的代数和；项的代数和；3 3、阶行列式的每项都是位于不同行、不同阶行列式的每项都是位于不同行、不同列列 个元素的乘积；个元素的乘积；5 5、一阶行列式一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆不要与绝对值记号相混淆.的符号为的符号为 ；4 4、每

22、项、每项3 3 3 3、应用、应用、应用、应用例例5 5 六阶行列式的项六阶行列式的项的符号为的符号为_._.解法一解法一行标行标234516234516的逆序数为的逆序数为所以所以 前边应带正号前边应带正号.431265431265的逆序数为的逆序数为所以所以 前边应带正号前边应带正号.解法二解法二列标列标312645312645的逆序数为的逆序数为例例6 6 计算行列式计算行列式1 1）2 2）分析分析 1 1）显然得）显然得2 2）易见，只有项）易见，只有项所以所以例例7 7 计算行列式计算行列式1 1）2 2）分析分析 1 1）显然得）显然得2 2）易见，只有项）易见，只有项所以所以例

23、例8 8 计算行列式计算行列式1 1）2 2）3 3）4 4）几种特殊的行列式几种特殊的行列式几种特殊的行列式几种特殊的行列式这一系列格式行列式的值为这一系列格式行列式的值为这一系列格式行列式的值为这一系列格式行列式的值为几种特殊的行列式几种特殊的行列式几种特殊的行列式几种特殊的行列式例例9 9 用行列式的定义计算用行列式的定义计算解解四、小结四、小结四、小结四、小结五、思考题五、思考题五、思考题五、思考题已知已知所以所以 的系数为的系数为解解含含 的项有两项的项有两项,即即对应于对应于课前复习课前复习课前复习课前复习行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式.记记一、行列式

24、的性质一、行列式的性质一、行列式的性质一、行列式的性质性质性质性质性质1 1 1 1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.证明证明 令令则则 的转置行列式为的转置行列式为按定义按定义故故于是于是故故仍然为排列仍然为排列的逆序数的逆序数为为的逆序数，易见为奇，的逆序数，易见为奇，性质性质性质性质2 2 2 2 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）,行列式变号行列式变号.证明证明设行列式设行列式为排列为排列的逆序数的逆序数其中其中为标准排列为标准排列性质性质性质性质3 3 3 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此

25、行列式乘以同一数，等于用数乘此行列式.推论推论推论推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面子可以提到行列式符号的外面推论推论推论推论行列式中如果有两行（列）元素成比例，行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零则此行列式为零推论推论推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零列式为零.证明证明 互换相同的两行，有互换相同的两行，有请问若给请问若给行列式的每一个元素都乘以同一数行列式的每一个元素都乘以同一数，等于用，等于用 乘以此行列式乘以此行列式.性质性质性质性质4 4 4

26、4若行列式的某一列（行）的元素都是两若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和数之和.则行列式等于下列两个行列式之和：则行列式等于下列两个行列式之和：例例性质性质性质性质5 5 5 5把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列同一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行对应的元素上去，行列式不变列式不变例如例如例例1 1计算行列式常用方法：利用运算把行列式计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值化为上三角形行列式，从而算得行列式的值二、应用举例二、应用举例二、应用举例二、应用举例解解例例2 2解解例例3 3解解例例

27、4 4解解计算行列式技巧：计算行列式技巧：1 1、分析，探求行列式的结构、分析，探求行列式的结构2 2、化零，尽可能把行列式化为爪型、化零，尽可能把行列式化为爪型4 4、靠边，把行列式化为三角形行列式、靠边，把行列式化为三角形行列式3 3、对角化、对角化 ，边化，边化 5 5、求出行列式、求出行列式6 6、整理思路、整理思路三、小结三、小结三、小结三、小结课前复习课前复习课前复习课前复习性质性质性质性质1 1 1 1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.即即 .性质性质性质性质2 2 2 2 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）,行列式变号行列式变号.推论推论 如果行

28、列式有两行（列）的对应元素完全相如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式为零同，则此行列式为零.性质性质性质性质3 3 3 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数同一数 ，等于用数，等于用数 乘此行列式乘此行列式.推论推论2 2行列式中如果有两行（列）元素成比例，则行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零此行列式为零性质性质性质性质4 4 4 4若行列式的某一列（行）的元素都是两数之若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和和,则这个行列式等于两个行列式之和则这个行列式等于两个行列式之和.性质性质性质性质5 5 5 5 把行列

29、式的某一列（行）的各元素乘以同一把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行列式不变对应的元素上去，行列式不变 在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余余子式子式，叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式例如例如一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式记作记作注注 行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式代数余子式.即即 外都为

30、零，那末这行列式等于外都为零，那末这行列式等于 与它的代数余子式与它的代数余子式引理引理引理引理的乘积，的乘积，一个一个 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有元素除行所有元素除证证 当当 位于首位时位于首位时,即即即有即有又又从而从而命题得证命题得证得得把把 的第的第 行依次与第行依次与第 行，第行，第 行，行，第第1 1行对调行对调下证一般情形下证一般情形,此时此时得得把把 的第的第 列依次与第列依次与第 列，第列，第 列，列，第第1 1列对调列对调中的余子式中的余子式注意到：注意到：元素元素 在行列式在行列式中的余子式仍然是中的余子式仍然是 在行列式在行列式于是有于是有故故即即

31、所以命题得证所以命题得证 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即应的代数余子式乘积之和，即证证二、行列式按行（列）展开法则二、行列式按行（列）展开法则二、行列式按行（列）展开法则二、行列式按行（列）展开法则定理定理定理定理利用行列式的性质四利用行列式的性质四-拆分原理有拆分原理有 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即应元素的代数余子式乘积之和等于零，即推论推论推论推论命题得证命题得证把行列式把行列式 按第按第 行展开有行展开有证证把行列式中的把

32、行列式中的 换成换成 可得可得相同相同同理同理命题得证命题得证关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质例例1 1计算行列式常用方法：化零，展开计算行列式常用方法：化零，展开.三、应用举例三、应用举例三、应用举例三、应用举例解解例例2 2第四行各元素余子式之和为第四行各元素余子式之和为分析分析 以以 表示表示 中元素中元素 的余子式，则有的余子式，则有例例3 3例例4 4计算范德蒙德计算范德蒙德(Vander monde)(Vander monde)行列式行列式将前一行乘以将前一行乘以 加到后一行上加到后一行上解解（从后往前）（从后往前）按第一列展开，并把每一列的共因子按第一列展开，并把

33、每一列的共因子 提出，有提出，有 n n-1 1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式解解每一行提取各行的公因子每一行提取各行的公因子，于是得到，于是得到例例5 5计算计算 上面等式右端行列式为上面等式右端行列式为n n阶范德蒙行列式，由范阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式知德蒙行列式知四、行列式按某四、行列式按某四、行列式按某四、行列式按某k k k k行行行行(列列列列)展开（展开（展开（展开（LaplaceLaplaceLaplaceLaplace定理）定理）定理）定理）定义定义定义定义位于这些行和列交叉处的位于这些行和列交叉处的 个元素，按照原来的顺序个元素，按照原来的顺序定义定义定义定义行标、

34、列标行标、列标.在在 阶行列式中阶行列式中,任意取定任意取定 行行(列列)构成一个构成一个 阶行列式阶行列式 ，称为，称为 的一个的一个 阶子式阶子式.划去这划去这 行行 列，余下的元素按照原来的顺序列，余下的元素按照原来的顺序构成一个构成一个 阶行列式，称为阶行列式，称为 的的余子式余子式.在其前面在其前面，称为，称为 的的代数余子式代数余子式.冠以符号冠以符号分别为分别为 阶子式在阶子式在 中的中的其中其中行列式行列式共有共有 个个 阶子式阶子式.例例6 6 求行列式求行列式解解定理定理定理定理在在 阶行列式中阶行列式中,取定取定 行行(列列)式的乘积之和等于行列式式的乘积之和等于行列式

35、.由这由这 行行(列列)组成的所有组成的所有 阶子式与它们的代数阶子式与它们的代数余子余子即即例例7 7 求行列式求行列式每次按第一、最后一行展开每次按第一、最后一行展开解解例例8 8 求行列式求行列式每次按中间两行展开每次按中间两行展开解解五、小结五、小结五、小结五、小结余子式与代数余子式余子式与代数余子式余子式与代数余子式余子式与代数余子式记作记作 .划去后，留下来的划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列列叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式记记关于代数余子式的重要性质关于代

36、数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质当当当当当当当当当当当当六、思考题六、思考题六、思考题六、思考题求第一行各元素的代数余子式之和求第一行各元素的代数余子式之和.解解第一行各元素的代数余子式之和为第一行各元素的代数余子式之和为课前复习课前复习课前复习课前复习余子式与代数余子式余子式与代数余子式余子式与代数余子式余子式与代数余子式记作记作 .划去后，留下来的划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列列叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式记记关于代数余子式的

37、重要性质关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质当当当当当当当当当当当当设线性方程组设线性方程组若常数项若常数项 不全为零，则称此方程组不全为零，则称此方程组若常数项若常数项 全为零，则称此方程组为全为零，则称此方程组为1 1 1 1、非齐次与齐次线性方程组的概念、非齐次与齐次线性方程组的概念、非齐次与齐次线性方程组的概念、非齐次与齐次线性方程组的概念一、一、一、一、CramerCramerCramerCramer法则法则法则法则为为非齐次线性方程组非齐次线性方程组；齐次线性方程组齐次线性方程组.使得方程组成立的一组数使得方程组成立的一组数 称为称为此方此方程组

38、的解程组的解.如果线性方程组如果线性方程组的系数行列式不等于零，即的系数行列式不等于零，即2 2 2 2、CramerCramerCramerCramer法则法则法则法则定理定理定理定理那么线性方程组有解，并且解可以那么线性方程组有解，并且解可以唯一唯一表示为表示为右端的常数项代替后所得到的右端的常数项代替后所得到的 阶行列式阶行列式.其中其中 是把系数行列式是把系数行列式 中第中第 列的元素用方程列的元素用方程组组二、几个结论二、几个结论二、几个结论二、几个结论1 1 1 1、线性方程组的相关定理、线性方程组的相关定理、线性方程组的相关定理、线性方程组的相关定理定理定理定理定理的系数行列式必

39、为零的系数行列式必为零.如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它方程组一定有解方程组一定有解,且解是唯一的且解是唯一的.如果线性方程组的系数行列式如果线性方程组的系数行列式，则线性，则线性2 2 2 2、齐次线性方程组的相关定理、齐次线性方程组的相关定理、齐次线性方程组的相关定理、齐次线性方程组的相关定理如果齐次线性方程组的系数行列式如果齐次线性方程组的系数行列式，则，则齐次线性方程组没有非零解齐次线性方程组没有非零解.即当且仅当只有零解即当且仅当只有零解.如果齐次线性方程组有非零解如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行则它的系数行列式必为零列式必为零

40、.定理定理定理定理如果齐次线性方程组恒有零解如果齐次线性方程组恒有零解.定理定理今有牛五羊二，直金十两，牛二羊五，直金八两，今有牛五羊二，直金十两，牛二羊五，直金八两，问牛羊各直几金？问牛羊各直几金？例例1 1解：解：牛羊分别直牛羊分别直金，记金，记例例2 2 用用CramerCramer法则解方程组法则解方程组解解易见易见所以，线性方所以，线性方程组的解程组的解唯一唯一例例3 3 齐次方程组齐次方程组有非零解有非零解，问，问 取何值时取何值时？解解齐次方程组有非零解，则齐次方程组有非零解，则所以所以 或或 时齐次方程组有非零解时齐次方程组有非零解.1 1、用克拉默法则解方程组的两个条件、用克

41、拉默法则解方程组的两个条件(1)(1)方程个数等于未知量个数方程个数等于未知量个数;(2)(2)系数行列式不等于零系数行列式不等于零.2 2、CramerCramer法则建立了线性方程组的解和已知的系法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导它主要适用于理论推导.三、小结三、小结三、小结三、小结3 3、如果线性方程组的系数行列式、如果线性方程组的系数行列式 则线则线性方程组一定有解性方程组一定有解,且解是唯一的且解是唯一的.4 4、如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它、如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零的系数行列

42、式必为零.证明证明四、思考题四、思考题四、思考题四、思考题把把 个不同的元素排成一列，叫做这个不同的元素排成一列，叫做这 个元个元素的素的全排列全排列（或（或排列排列）.个不同的元素的所有排列的种数用个不同的元素的所有排列的种数用 表示，表示，且且 排列排列排列排列逆序数逆序数逆序数逆序数逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列，逆序数为偶，逆序数为偶数的排列称为数的排列称为偶排列偶排列 在一个排列在一个排列 中，若数中，若数 ，则称这两个数组成一个则称这两个数组成一个逆序逆序一个排列中所有逆序一个排列中所有逆序的总数称为此排列的的总数称为此排列的逆序数逆序数对换对换对换对换定

43、义定义在排列中，将任意两个元素对调，其余元在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，称为一次对换将相邻两个元素对调，素不动，称为一次对换将相邻两个元素对调，叫做叫做相邻对换相邻对换定理定理一个排列中的任意两个元素对换，排列改一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性变奇偶性推论推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数偶排列调成标准排列的对换次数为偶数4 4 4 4n n n n阶行列式的定义阶行列式的定义阶行列式的定义阶行列式的定义或或其中其中 为排列为排列 的逆序数的逆序数.5 5 5 5n n n n阶行列式的性质阶

44、行列式的性质阶行列式的性质阶行列式的性质性质性质性质性质1 1 1 1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.即即 .性质性质性质性质2 2 2 2 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）,行列式变号行列式变号.推论推论 如果行列式有两行（列）的对应元素完全如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式为零相同，则此行列式为零.性质性质性质性质3 3 3 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数乘以同一数 ，等于用数，等于用数 乘此行列式乘此行列式.推论推论2 2行列式中如果有两行（列）元素成比例，行列式中如果有两行（列）元

45、素成比例，则此行列式为零则此行列式为零性质性质性质性质4 4 4 4若行列式的某一列（行）的元素都是两若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和数之和,则这个行列式等于两个行列式之和则这个行列式等于两个行列式之和.性质性质性质性质5 5 5 5把行列式的某一列（行）的各元素乘以同把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行列式对应的元素上去，行列式不变不变6 6 6 6 行列式按行和列展开行列式按行和列展开行列式按行和列展开行列式按行和列展开余子式与代数余子式余子式与代数余子式余子式与代数余子式余子式与代数余子式记作记作 .划去后，留下来的划

46、去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列列叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式记记关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质当当当当当当当当当当当当7 Cramer 7 Cramer 7 Cramer 7 Cramer 法则法则法则法则在线性方程组中在线性方程组中 若常数项若常数项 不全为零，则称此方程组不全为零，则称此方程组为为非非齐次线性方程组齐次线性方程组；若常数项若常数项 全为零，则称此方程组全为零，则称此方程组为为齐次线

47、性方程组齐次线性方程组.如果线性方程组的系数行列式如果线性方程组的系数行列式 则线则线性方程组一定有解性方程组一定有解,且解是唯一的且解是唯一的.如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零的系数行列式必为零.逆序数的求法逆序数的求法逆序数的求法逆序数的求法解解另另行列式的求法行列式的求法行列式的求法行列式的求法1 1、定义法、定义法2 2、展开法、展开法3 3、加边法、加边法4 4、拆分法、拆分法5 5、递推法、递推法6 6、三角法、三角法7 7、LaplaceLaplace展开定理展开定理9 9、综合法、综合法8 8、Vander mo

48、ndeVander monde行列式行列式1010、降阶法、降阶法 （略）（略）1111、定义证明、定义证明证明证明1212、数学归纳法、数学归纳法计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方法综合应用法综合应用 在计算时，首先要仔细考察行列式在构造上在计算时，首先要仔细考察行列式在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变换后，再的特点，利用行列式的性质对它进行变换后，再考察它是否能用常用的几种方法考察它是否能用常用的几种方法小结小结小结小结CramerCramer法则法则求一个二次多项式求一个二次多项式 ，使，使解解设所求的二次多项式为设所求的二次多项式为由题意得由题意得由克莱姆法则，得由克莱姆法则，得于是，所求的多项式为于是，所求的多项式为