行列式概念精.ppt

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1、行列式概念1第1页，本讲稿共31页教学目的掌握二阶、三阶及掌握二阶、三阶及n n阶行列式的定义，掌握逆序数的阶行列式的定义，掌握逆序数的概念及求法，理解对换概念及性质，熟练掌握特殊概念及求法，理解对换概念及性质，熟练掌握特殊行列式的求法及转置、加法数乘性质行列式的求法及转置、加法数乘性质作业重点行列式的定义，特殊行列式的求法行列式的定义，特殊行列式的求法练习册练习册第第1-1页页第第 1 题题 至至第第3 题题注：不交注：不交难点逆序数的定义与求法、行列式定义解析逆序数的定义与求法、行列式定义解析媒体黑板与投影黑板与投影讲授内容主线内容概括以可排列的逆序奇偶性为基础，行列式是行列地位以可排列的

2、逆序奇偶性为基础，行列式是行列地位相同的不重复行列元素乘积项的代数和。相同的不重复行列元素乘积项的代数和。班级：时间：年月日；星期 全排列全排列标准列标准列逆序数逆序数2阶行列式阶行列式定义运算与特征定义运算与特征行列平等行列平等n阶行列式阶行列式3阶行列式阶行列式历史知识历史知识定义运算与特征定义运算与特征定义与特点定义与特点计算应用计算应用对角行列式计算对角行列式计算三角行列式计算三角行列式计算第一讲第一讲 行列式概念行列式概念2第2页，本讲稿共31页1.1.平时成绩（作业和听课）占平时成绩（作业和听课）占2020.2.2.线性代数是高等工科院校的一门基础理论课，是以研究有限空间线性代数是

3、高等工科院校的一门基础理论课，是以研究有限空间线性理论为主要内容。由于线性问题广泛存在于技术科学的各个领线性理论为主要内容。由于线性问题广泛存在于技术科学的各个领域，所以应用广泛。域，所以应用广泛。它是高级技术人员必备的基础理论知识之一。它是高级技术人员必备的基础理论知识之一。研究生考试占研究生考试占2020.作为非数学专业的学生，重点是掌握定义、计算、定理的结论。作为非数学专业的学生，重点是掌握定义、计算、定理的结论。几点说明第一讲第一讲 行列式概念行列式概念3第3页，本讲稿共31页（）全排列的种数（）全排列的种数一、一、预备知识：全排列及其逆序数预备知识：全排列及其逆序数1.全排列：全排列

4、：从个元素中取个元素（全取）进行不重复排列，从个元素中取个元素（全取）进行不重复排列，称作个元素的全排列。例如：称作个元素的全排列。例如：1、2、3三个数的全排列：有：三个数的全排列：有：本书所指排列均指正整数排列本书所指排列均指正整数排列第一讲第一讲 行列式概念行列式概念4第4页，本讲稿共31页一个排列中所有元素逆序之和,一般用t或希腊字母表示(3)逆序数逆序数:(2)逆序：逆序：例如：132，3，2为一个逆序，这个排列只有1个逆序。再如：312，3，2，3，1均为逆序，这个排列有2个逆序（4）奇排列、偶排列：）奇排列、偶排列：逆序数为奇数（偶数）的排列(1)(1)标准列标准列:按照自然数顺

5、序排列，无逆序，也称逆序为0逆序数逆序数第一讲第一讲 行列式概念行列式概念5第5页，本讲稿共31页例例1 求排列32514的逆序数。解解奇排列奇排列3的逆序数2的逆序数5的逆序数1的逆序数4的逆序数 这一例告诉我们求一个求一个排列的逆序数排列的逆序数的办法：的办法：从第一个从第一个数开始求，一数开始求，一个一个求出，个一个求出，然后相加然后相加.求逆序数的基本方法：求逆序数的基本方法：因为逆序数是所有逆序之和，因此，联想数列求和公式，因为逆序数是所有逆序之和，因此，联想数列求和公式，要明确排列的元素个数、第一项和最后一项要明确排列的元素个数、第一项和最后一项第一讲第一讲 行列式概念行列式概念6

6、第6页，本讲稿共31页 0，1，2,（n-2),(n-1)例例3 求求 246 2n(2n-1)31 的逆序数，并指出是奇的逆序数，并指出是奇排列还是偶排列。排列还是偶排列。解：解：解解：为奇数时为奇排列，为偶数时为偶排列为奇数时为奇排列，为偶数时为偶排列第一讲第一讲 行列式概念行列式概念7第7页，本讲稿共31页定理定理1 1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。例例对换对换相邻对换相邻对换证明：（1）相邻情形 时两排列的逆序数相差1，因此奇偶性不同。（2）一般地设 经（2m+1)次相邻对换调成设当对换a与b成：仍成立。显然（2m+1)是奇数，相邻对换1次改变1次奇偶性，对换奇数次改

7、变了奇数次，即改变了奇偶性.对换的定义与结论对换的定义与结论第一讲第一讲 行列式概念行列式概念8第8页，本讲稿共31页n分析：分析：设奇排列逆序数为奇数设奇排列逆序数为奇数r,说明该排列共有说明该排列共有r个逆序，个逆序，对每一对逆序进行一次对换调成（无）逆序，全部对每一对逆序进行一次对换调成（无）逆序，全部r个逆个逆序对换序对换r次，则所有元素全部调成（无）逆序，即排列成次，则所有元素全部调成（无）逆序，即排列成标准列。即：奇排列对换奇数次调成标准排列，同理，偶标准列。即：奇排列对换奇数次调成标准排列，同理，偶排列对换偶数次调成偶排列。排列对换偶数次调成偶排列。推论推论标准排列的对换次数为偶

8、数。奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成第一讲第一讲 行列式概念行列式概念9第9页，本讲稿共31页二、行列式定义：二、行列式定义：1.二阶行列式定义二阶行列式定义所确定的二阶行列式二阶行列式 记为（1）定义：）定义：表达式：表达式：称为由称为由副对角线副对角线主对角线主对角线根据定义，根据定义，2 2阶行列式符阶行列式符合如右的计算法则：合如右的计算法则：（2）计算：对角线法则）计算：对角线法则第一讲第一讲 行列式概念行列式概念10第10页，本讲稿共31页行列式实际上是元素乘积的代数和，这一代数和具有如下三个特点行列式实际上是元素乘积的代数和，这一代数和具有如下三个特点1.每一乘积项

9、均有2个元素，共有2项.2.每一乘积项中，元素之间行标不同，列标也不同，说明各元素的位置均处于不同行不同列.3.每一乘积项的符号由列标排列的逆序数所决定.第一讲第一讲 行列式概念行列式概念11第11页，本讲稿共31页第一讲第一讲 行列式概念行列式概念（2）二阶行列式的起源）二阶行列式的起源：（1）消去未知数得消去未知数得当时，得方程组（1）的解：（2 2）12第12页，本讲稿共31页则：则：例例1 求解二元线性方程组解解第一讲第一讲 行列式概念行列式概念13第13页，本讲稿共31页2.三阶行列式的定义三阶行列式的定义（1）定义：表达式：）定义：表达式：第一讲第一讲 行列式概念行列式概念14第1

10、4页，本讲稿共31页第一讲第一讲 行列式概念行列式概念对角线法对角线法（2）三阶行列式的计算）三阶行列式的计算对角线法则对角线法则例如：例如：15第15页，本讲稿共31页1.1.每一乘积项都是由每一乘积项都是由n n（n n3)3)个元素组成，代数和共有个元素组成，代数和共有n!n!项项（正好是（正好是1 1、2 2、3 3全排列的种数和）全排列的种数和）2.n2.n个元素中任意两个元素都位于不同行不同列个元素中任意两个元素都位于不同行不同列3.3.每一项的符号由列标排列的逆序数所决定每一项的符号由列标排列的逆序数所决定（3）3阶行列式定义的特点阶行列式定义的特点（4）用）用3阶行列式解阶行列

11、式解3元线性方程组元线性方程组三阶行列式也是元素乘积项的代数和，也具有如下三个特点：三阶行列式也是元素乘积项的代数和，也具有如下三个特点：第一讲第一讲 行列式概念行列式概念16第16页，本讲稿共31页由消元法可得同理，可用同理，可用3 3阶行列式求解阶行列式求解3 3元元一次线性方程组，主要看形式，一次线性方程组，主要看形式，内容读者可自行验证内容读者可自行验证第一讲第一讲 行列式概念行列式概念17第17页，本讲稿共31页求解三元线性方程组解解例例218第18页，本讲稿共31页6项中每一项3个元素是乘积关系，与顺序无关，因此可以调整每一项3个元素的顺序，按照列标为标准排列调整为：（5）3阶行列

12、式的另一种定义阶行列式的另一种定义第一讲第一讲 行列式概念行列式概念19第19页，本讲稿共31页1.定义定义设有个数，排成 n 行 n 列的数表（7）当 n=1时，一阶行列式 。注：注：例简记作元素。数称为行列式的同同3 3、4 4阶行列式一样，阶行列式一样，n n阶行列式具阶行列式具有有2 2大特征大特征1.1.用列标排列列出各项用列标排列列出各项2.2.列标排列的奇偶决定该项的正列标排列的奇偶决定该项的正负负同样，也可以按照行标排出各同样，也可以按照行标排出各项项3.阶行列式的定义阶行列式的定义称为由图表（称为由图表（*）所确定的行列式）所确定的行列式第一讲第一讲 行列式概念行列式概念20

13、第20页，本讲稿共31页定义定义2 2n 阶行列式也可以定义为t 为行标排列的逆序数。2.n阶行列式定义的特点阶行列式定义的特点1.每一乘积项都是由每一乘积项都是由n个元素组成，代数和共有个元素组成，代数和共有n!项（正好是全排项（正好是全排列的种数和）列的种数和）2.n个元素中任意两个元素都位于不同行不同列个元素中任意两个元素都位于不同行不同列3.每一项的符号由列标排列的逆序数所决定每一项的符号由列标排列的逆序数所决定3.n阶行列式的另一种定义阶行列式的另一种定义n阶行列式的这种形式的定义也具有相应的特征阶行列式的这种形式的定义也具有相应的特征第一讲第一讲 行列式概念行列式概念21第21页，

14、本讲稿共31页例例1 证明对角行列式对角行列式（其中对角线上的元素是 ，未写出来的元素都是0）证毕三、行列式定义的应用三、行列式定义的应用1特殊行列式的解法：特殊行列式的解法：1.对角行列式对角行列式证：根据行列式的定义，证：根据行列式的定义，D 显然，显然，列标等于行标时元素才不为列标等于行标时元素才不为0，每一个列标等于行标的元素，每一个列标等于行标的元素组成的不为组成的不为0的项只有这一项，且的项只有这一项，且t0对于第二种对角行列式，由行列式的定义其值只有对于第二种对角行列式，由行列式的定义其值只有p1=n，p2=n-1pn=1,才不为才不为0，其余均为，其余均为0，其符号显然由其列标

15、，其符号显然由其列标 的逆序数决定的逆序数决定第一讲第一讲 行列式概念行列式概念22第22页，本讲稿共31页证明下三角行列式0例例22.三角行列式三角行列式证证证毕由行列式定义即逆序数逆序数t=0第一讲第一讲 行列式概念行列式概念23第23页，本讲稿共31页第一讲第一讲 行列式概念行列式概念同理上三角行列式024第24页，本讲稿共31页（皆为下（上）三角行列式）还可证明：还可证明：计算行列式，只要将其恒等变形为对角或三角行列式，计算就会十分简计算行列式，只要将其恒等变形为对角或三角行列式，计算就会十分简单。例如：单。例如：第一讲第一讲 行列式概念行列式概念25第25页，本讲稿共31页四、行列式

16、定义应用四、行列式定义应用2 2 行列式的性质行列式的性质记记行列式行列式 称为称为 的的转置行列式转置行列式.性质性质1 1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.证明证明:记的转置行列式为则第一讲第一讲 行列式概念行列式概念26第26页，本讲稿共31页由行列式定义知，所以由定义由于性质性质2 2 互换行列式的两行互换行列式的两行(列列),),行列式变号行列式变号.证证设行列式即当 时,（对无关的行）当 时，（指交换的两行），因此变换 i、j两行得到的，是由行列式第一讲第一讲 行列式概念行列式概念27第27页，本讲稿共31页其中为自然排列，为排列的逆序数.设排列的逆序数为 ，

17、和t相比，对换2个元素，则故排列改变奇偶，故t1和t的奇偶性相反。用用表示行列式的第表示行列式的第 i 行，行，用用表示行列式的第表示行列式的第 i 列列.交换交换 i,j 两行，两行，记作记作 ；交换交换 i,j 两列，两列，记作记作 .注意标记方法：注意标记方法：第一讲第一讲 行列式概念行列式概念28第28页，本讲稿共31页推论推论 如果行列式有两行（列如果行列式有两行（列)完全相同，则此行列式等于零完全相同，则此行列式等于零.性质性质3 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 k,等于用数等于用数 k 乘此行列式乘此行列式.第第 i

18、行（或列）乘以行（或列）乘以 k,记作记作（或（或 ）.推论推论 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号外面。行列式符号外面。第第 i 行（或列）提出公因子行（或列）提出公因子k,记作记作（或（或 ）.例例.分析：两行互换，分析：两行互换，D=-DD=-D，D+D=0D+D=0，故，故D=0D=0第一讲第一讲 行列式概念行列式概念29第29页，本讲稿共31页性质性质4 4 行列式如果有两行（列）元素成比例，则此行列式的值等于零行列式如果有两行（列）元素成比例，则此行列式的值等于零说明：提出某一行的比例系数，则两行相等，再用性质说明：提出某一行的比例系数，则两行相等，再用性质2推导即可推导即可性质性质5 5 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，如若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，如则则 D 等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和：利用利用n n阶行列式的定义可以证明之阶行列式的定义可以证明之第一讲第一讲 行列式概念行列式概念30第30页，本讲稿共31页例例1：计算计算解解将行列式的第一列拆开.第一讲第一讲 行列式概念行列式概念31第31页，本讲稿共31页