预习复习资料高等数学(下).doc

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1、-_高等数学（下）高等数学（下）第八章第八章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用一、基本概念 1多元函数 （1）知道多元函数的定义元函数：n),(21nxxxfy（2）会求二元函数的定义域1：分母不为；0 2：真数大于；0 3：开偶次方数不小于；04：或中uzarcsinuarccos|u1（3）会对二元函数作几何解释 2二重极限 Ayxfyyxx),(lim00这里动点是沿任意路线趋于定点的),(yx),(00yx（1）理解二重极限的定义 （2）一元函数中极限的运算法则对二重极限也适用，会求二重极限； （3）会证二元函数的极限不存在（主要用沿不同路径得不同结果的方法） 3多元函数的

2、连续性（1）理解定义：)()(lim0 0PfPf PP （2）知道一切多元初等函数在其定义域内连续的结论； （3）知道多元函数在闭区域上的最大最小值定理、介值定理。 二、偏导数与全微分 1偏导数 （1）理解偏导数的定义（二元函数）xyxfyxxf xzx),(),(lim00000yyxfyyxf yzy),(),(lim00000（2）知道偏导数的几何意义以及偏导数存在与连续的关系 （3）求偏导数法则、公式同一元函数 2高阶偏导数 （1）理解高阶偏导数的定义 （2）注意记号与求导顺序问题-_（3）二元函数有二阶连续偏导数时，求导次序无关：xyz yxz 223全微分 （1）知道全微分的定义

3、若可表示成，则),(),(0000yxfyyxxfz)(oyBxA在点处可微；称为此函数在点处的全微分，),(yxfz ),(00yxyBxA),(00yx记为yBxAdz（2）知道二元函数全微分存在的充分必要条件： 函数可微，偏导数必存在；函数可微，偏导数必存在；（，；）xzAyzBdyyzdxxzdz偏导数存在，不一定可微偏导数存在，不一定可微（是否为） dzz )(o偏导数连续，全微分必存在偏导数连续，全微分必存在（3）求方向导数、梯度三、多元复合函数与隐函数求导法则 1多元复合函数的求导法则（1）xv vz xu uz xz yv vz yu uz yz （2）对于函数只有一个中间变量

4、的二元函数或多个中间变量的一元函数（全导数）的求导 法要熟练掌握 （3）掌握多元复合函数（主要是两个中间变量的二元函数）的二阶偏导数的求法 2隐函数的求导公式 （1）一个方程的情形若确定了，则；0),(yxF)(xyy yx FF dxdy若确定了，则，0),(zyxF),(yxzz zx FF xzzy FFyz（2）方程组的情形若能确定，则由 0),(0),(zyxGzyxF )()(xzzxyy-_可解出与；dxdy dxdz若确定了，像上边一样，可以求出， 0),(0),(vuyxGvuyxF),(yxuu ),(yxvv xu 及，xv yu yv 四、多元函数微分法的应用 1几何应

5、用 （1）空间曲线的切线与法平面方程1：曲线：，时，上相应点处)(tx)(ty)(tz0tt ),(000zyx的切线方程：)()()(000000 tzz tyy txx 法平面方程：0)()()(000000zztyytxxt2：曲线：，则点处的切线方程： )()(xzxy),(000zyx000001()()xxyyzz xx法平面方程：00000()()()()()0xxxyyxzz3：曲线：，则点处的切线方程为 0),(0),(zyxGzyxF),(000zyxPPyxyxPxzxzPzyzy GGFFzzGGFFyyGGFFxx000法平面方程：0)()()(000zzGGFFyy

6、GGFFxxGGFFPyxyxPxzxzPzyzy（2）空间曲面的切平面与法线方程1：曲面：，点处的切平面方程为：0),(zyxF),(000zyx0)(),()(),()(),(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx00dxdzGdxdyGGdxdzFdxdyFFzyxzyx-_法线方程：zyxFzz Fyy Fxx0002：曲面：，在点处的切平面方程为：),(yxfz ),(000zyx)(),()(),(0000000yyyxfxxyxfzzyx法线方程为：1000 zz fyy fxxyx2极值应用（1）求一个多元函数的极值（如）：先用必要条件，求出全部驻点

7、，),(yxfz 00yzxz再用充分条件求出驻点处的，与；xxzyyzxyz，时有极大值，时有极小值；02 BAC0A0A时无极值02 BAC（2）求最值 1：纯数学式子时，区域内驻点处的函数值与区域边界上的最值比较； 2：有实际意义的最值问题 （3）条件极值 求一个多元函数在一个或个条件下的极值时，用拉格朗日乘数法m如：在条件与下的极值时，取),(zyxfu 0),(1zyx0),(2zyx),(),(),(),;,(221121zyxzyxzyxfzyxF解方程组，求出，0000021 zyxFFFxyz则就是可能的极值点；再依具体问题就可判定为极大（或极小）值),(zyx),(zyx点

8、-_第九章第九章 重积分重积分一、 二重积分1定义： niiiinDfdyxf1)(0),(lim),( 2几何意义：当时，表示以曲面为顶，以为底),(yxf0 Ddyxf),(),(yxfz D的曲顶柱体体积物理意义：以为密度的平面薄片的质量),(yxfD3性质1：DDdyxfkdyxkf),(),(2：DDDdyxgdyxfdyxgyxf),(),(),(),(3：若，则21DDD21),(),(),(DDDdyxfdyxfdyxf4：时，1),(yxfD Ddyxf),(5：若在上，则D),(yx),(yx Ddyx),( Ddyx),(Ddyxf),( , )Df x y d6：若在闭

9、区域上连续，且，则),(yxfDm),(yxfMDm Ddyxf),(DM7：（中值定理）若在闭区域上连续，则必有点，使),(yxfDD),(D Dfdyxf),(),(4二重积分的计算法 （1）在直角坐标系中1：若积分区域为型区域DX：D )()(21xyxbxa则化为先后的二次积分：yxbaxx Ddyyxfdxdxdyyxf)()(21),(),(Oxy)(1xy ab)(2xyX型区域-_Oxy)(1yx cd)(2yxY 型区域OrD极点在外D极点在的边界上r OO rD极点在内2：若积分区域为型区域DY：D )()(21yxydyc则化为先后的二次积分：xydcyy Ddxyxfd

10、ydxdyyxf)()(21),(),(（2）在极坐标系中,)sin,cos(),(rrfyxfrdrdd1：极点在外：D：D )()(21r则有)()(21)sin,cos(),(rdrrrfddyxfD2：极点在的边界上：D：D )(0r则有)(0)sin,cos(),(rdrrrfddyxfD3：极点在内：D：D )(020r则有20)(0)sin,cos(),(rdrrrfddyxfD在计算二重积分时要注意：在计算二重积分时要注意：1：选系：是直角坐标系还是极坐标系；若积分区域是圆域、环域或它们的一部分；被积式含有或两个积分变量22yx 之比、时，一般可选择极坐标系xy yx-_Oyx

11、z),(2yxzz ),(1yxzz xyDOyxz0zD2C1C0z2：选序：当选用直角坐标系时，要考虑积分次序，选错次序会出现复杂或根本积不出 的情况（二次积分换次序） 3：积分区域的对称性与被积函数的奇偶性要正确配合，如：关于轴（或轴）Dxy 对称时，应配合被积函数对于（或）的奇偶性yx4：若，积分区域:,则二重积分可化为两个定积)()(),(21yfxfyxfD dycbxa分的乘积二、 三重积分1定义： niiiiinvfdvzyxf1)(0),(lim),( 2物理意义：以为密度的空间体的质量),(zyxf3性质（与二重积分类同） 4三重积分的计算法 （1）在直角坐标系中1：若为：

12、 ),(),(),(21yxzzyxzDyxxy此处为在面上的投影，xyDxOy与分别为的),(1yxzz ),(2yxzz 下界面和上界面方程，则 xyDyxzyxzdxdydzzyxfdxdydzzyxf),(),(21),(),(2：若为： 0),(0201zDzyxCzC此处为用平面截时所得的截面面积， 0zD0zz 则210),(),(CC Dzdxdyzyxfdzdxdydzzyxf（2）在柱面坐标系下若为：，则 ),(),()()(2121 rzzrzr-_),(),()()(2121),sin,cos(),(rzrzdzzrrfrdrddxdydzzyxf（3）在球面坐标系中若

13、为：，则 ),(),(212121z212121),(),(2sin)cos,sinsin,cossin(),(dfdddxdydzzyxf注：1：柱面坐标、球面坐标对普通班不要求； 2：三重积分的计算也有选系、选序的问题； 3：积分区域的对称性与被积函数的奇偶性要正确配合；4：若是长方体：，而，则三重积分 fzedycbxa )()()(),(321zfyfxfzyxf化为三个定积分的乘积三、 重积分的应用 1几何应用（1） 求面积：DDd（2） 求体积：， Ddyxf),( dv（3） 求曲面面积：若：，在面上的投影为，则的面积为：),(yxfz xOyxyD xyDdxdyyz xzA2

14、2 12物理应用（1） 求质量：；Ddyxm),( dvzyxm),(（2） 求重心：；Ddyxxmx),(1Ddyxymy),(1在均匀情况下，重心公式可变形为：；DDxdx1DDydy1同理，可得到空间体的重心坐标 （3） 求转动惯量：；DxdyxyJ),(2DydyxxJ),(2 yxoJJJ-_同理可有空间体对坐标面、坐标轴的转动惯量第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分一、曲线积分 1定义：（1）第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）： niiii Lsfdsyxf10),(lim),( （） niiiii Lsfdszyxf10),(lim),( 物理意义：曲线的质量 （2

15、）第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）： niiiiiii LyQxPdyyxQdxyxP10),(),(lim),(),( niiiiiiiiiiiiiLzRyQxPdzzyxRdyzyxQdxzyxP10),(),(),(lim),(),(),( 物理意义：变力沿曲线所作的功 2性质：（1）（）21LLL21LLL（2）第一类： LLdsyxfdsyxf),(),(第二类： LL （3）两类曲线积分的联系 LLdsQPQdyPdx)coscos(其中，是曲线上点处切线的方向余弦coscos),(yx（）LLdsRQPRdzQdyPdx)coscoscos(3计算法（化线积分为定积分）：， ，

16、则L )()(tytxtdtttttfdsyxfL)()()(),(),(22-_dttttQtttPdyyxQdxyxPL)()(),()()(),(),(),(注意：为时，取为，L)(xfy L )(xfyxxaxb4格林公式及其应用（1）格林公式： DLdxdyyP xQQdyPdx注意：1：，在上具有一阶连续偏导数；PQD2：是单连域的正向边界曲线；LD 3：若为多连域，先引辅助线，后再用格林公式D （2）平面上曲线积分与路径无关的条件设，在单连域内有一阶连续偏导数，为内任意两点，则以下四个命PQGABG题等价：1：与路径无关；ABLQdyPdxL2：对于内任意闭曲线有；GC0 CQd

17、yPdx3：在内，为某函数的全微分；GQdyPdx),(yxu4：在内处处成立yP xQ G（3中有：）),(),(00),(),(),(yxyxdyyxQdxyxPyxu二、曲面积分 1定义： （1）第一类曲面积分（对面积的曲面积分） niiiiiSfdSzyxf10),(lim),( 物理意义：曲面的质量。时，1),(zyxf SdS（2）第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）nixyiiiixziiiiyziiiiRQPRdxdyQdzdxPdydzSdv10)(),()(),()(),(lim -_2性质（1） 21（2）第一类： fdSfdS第二类： （3）两类曲面积分的联系 dSRQP

18、RdxdyQdzdxPdydzcoscoscos其中：，是曲面上点处法线的方向余弦coscoscos),(zyx3计算法（化曲面积分为二重积分）第一类：若曲面：，在面上的投影为，则),(yxzz xOyxyD等等 xyDdxdyyz xzyxzyxfdSzyxf22 1),(,),(第二类：yzDdydzzyzyxPdydzzyxP,),(),(前、后xzDdzdxzzxyxQdzdxzyxQ),(,),(右、左xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(上、下4高斯公式及其应用设空间区域是由分片光滑的闭曲面所围成，函数、),(zyxP),(zyxQ在上具有一阶连续偏导数，则有),

19、(zyxR dxdydzzR yQ xPRdxdyQdzdxPdydz注：1：是的边界曲面的外侧； 2：非封闭曲面，必须添加辅助曲面，先封闭后再用公式 5通量与散度、环流量与旋度（普通班不要求）通量： RdxdyQdzdxPdydzdSnv散度：zR yQ xPvdiv-_环流量： dsAQdzQdyPdx旋度：RQPzyxkjiArot 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数一、 常数项级数 1基本概念（1） 定义：形如的无穷和式，其中每一项都是常数n nnuuuu21 1（2） 部分和： niinuS1（3） 常数项级数收敛（发散）存在（不存在） nnS lim（4） 和（存在时） limnn

20、SS 注：发散级数无和（5） 余项：当时，称级数为原级数第项后的余项SSn n lim1iinnurn2基本性质（1）与敛散性相同，且若，则；1nnku1nnuSunn1kSkunn1（2） 若，则 Sunnvsvunn推论推论 1：若收敛，发散，则必发散；nunvnnuv推论推论 2：若与都发散，则不一定发散nunvnnuv（3） 在级数前面去掉或添加、或改变有限项后所得级数与原级数的敛散性相同（收敛 级数的和改变） （4） 收敛级数加括号（按规则）所得级数仍收敛于原来的和； （收敛级数去括号不一定收敛）（5） 若级数收敛，则必有1nnu0lim nnu-_（若，则必发散）0lim nnu1

21、nnu3几个重要的常数项级数（1） 等比级数； 1|1|1 11qqqa aqnn发散（2） 调和级数发散；11nn（3）级数（） ，时收敛， 时发散） ；p11npn0p1p0p1（4） 倒阶乘级数收敛 1!1nn4常数项级数的审敛法 （1） 正项级数的审敛法设与均为正项级数2nnu1nnv1：收敛有界；1nnu nS2：比较法若收敛（发散） ，且， （） ，则收敛（发散） 1nnununvnunv1nnv推论推论 1 1：若，则与具有相同的敛散性lvunnn lim l01nnv1nnu推论推论 2 2：若，则发散；lunnn lim1nnu若（） ，则收敛lunnpn lim1p1nnu

22、3：比值法-_若，则有nnnuu1lim待定时发散时收敛时111111nnnnnnuuu4：根值法若，则当 nnnulim待定时发散时收敛时111111nnnnnnuuu（2） 交错级数的审敛法莱布尼兹定理莱布尼兹定理：若交错级数（）满足： 11) 1(nnnu0nu1：nu1nu2：0lim nnu则收敛，且其和， 11) 1(nnnuS1u|nr1nu（3） 任意项级数的审敛法1：若，则发散；0lim nnu1nnu2：若收敛，则绝对收敛；1|nnu1nnu3：若发散， 收敛，则条件收敛1|nnu1nnu1nnu二、 函数项级数 1基本概念（1） 定义：形如；)()()()(21 1xux

23、uxuxun nn（2） 收敛点、发散点、收敛域、发散域；（3） 部分和：； niinxuxS1)()(-_（4） 和函数：在收敛域上1)()(lim)(nnnnxuxSxS2幂级数（1） 定义：，当时有：；00 nn nxxa00x0nn nxa（2） 性质1：若在处收敛，则当时，绝对收敛（发散） ；0nn nxa0x|0xx 0nn nxa若在处发散，则当时，发散0nn nxa0x|0xx 0nn nxa2：幂级数的收敛域，除端点外是关于对称的区间00 nn nxxa0x，两端点是否属于收敛域要分别检验),(00RxRx3：在的收敛区间内，此级数的和函数连续0nn nxaRR,)(xS（3

24、） 收敛区间的求法1：不缺项时，先求，得收敛半径；nnnaa1lim1R再验证两端点，则收敛域收敛的端点),(00RxRx2：缺项时，先求，解不等式得的所属区间)()()(lim1xxuxunnn1)(xx，再验证端点，则收敛域收敛的端点21xxx1x2x),(21xx3幂级数的运算 （1） 幂级数在它们收敛区间的公共部分可以进行加、减、乘、除运算 （2） 幂级数在其收敛区间内可以进行逐项微分与逐项积分运算，即，则有：)(0xSxann nRx |，；1000( )nnn nnn nnna xa xna xS x Rx |， xnnnnxn nxnn ndxxSxnadxxadxxa 0010

25、000)(1Rx |-_4函数展开为幂级数（1） 充要条件：若函数在点的某邻域内具有任意阶导数，则)(xf0x000)( )(!)()(nnn xxnxfxf0)(lim xRn n（2） 唯一性：若在某区间内能展开成幂级数，则其系数)(xf00)()(nn nxxaxf， （） )(!10)(xfnan n, 2, 1, 0n（3） 展开法：1：直接法（见教材 P218） 2：间接法 利用几个函数的展开式展开，0!nn x nxe),(或，012)!12() 1(sinnn n nxx 112 1 )!12() 1(nn n nx),(，02)!2() 1(cosnn n nxx),(，01

26、1nnxx) 1, 1(，01) 1() 1(1lnnn n nxx 1, 1(，1!) 1()2)(1(11nnmxnnmmmmx) 1, 1(5傅立叶级数（1） 定义：如果三角级数中的系数，是由尤拉10sincos2nnnnxbnxaa nanb傅立叶公式给出，即，；nxdxxfancos)(1, 2, 1, 0n，nxdxxfbnsin)(1, 2, 1n则称这样的三角级数为的傅立叶级数 )(xf-_（2） 收敛定理设是周期为的周期函数，如果它在一个周期内满足：连续或只有有限个)(xf2第一类间断点；单调或只有有限个极值点，则的傅立叶级数)(xf10sincos2nnnnxbnxaa收敛

27、于 为间断点为连续点xxfxfxxf2)0()0()(（3） 函数展开为傅立叶级数的方法： )(xf1：求的傅立叶系数；)(xf2：将 1中的系数代入三角级数式； 3：写出上式成立的区间 （4） 正弦级数与余弦级数称（）为正弦级数；称（）为1sinnnnxb0na10cos2nnnxaa0nb余弦级数若在上，为奇函数，则有，其正弦级数为，,)(xf0na1sinnnnxb， （） ；0sin)(2nxdxxfbn, 2, 1n若在上，为偶函数，则有，其余弦级数为,)(xf0nb， （） ；10cos2nnnxaa0cos)(2nxdxxfan, 2, 1, 0n若是定义在上的函数，要求其正弦（

28、余弦）级数，可先对)(xf, 0进行奇（偶）延拓；)(xf奇延拓： 0,)(, 0)()(xxfxxfxF偶延拓： )0,)(, 0)()(xxfxxfxF对于周期为的函数的展开情况与上边类似（略） l 2第十二章第十二章 微分方程微分方程-_一、 基本概念 1 微分方程：含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程 2 微分方程的阶：微分方程中未知函数的导数的最高阶数叫微分方程的阶 3 微分方程的解： 满足微分方程的函数叫微分方程解； 若微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这 样的解叫微分方程的通解； 确定了通解中任意常数以后所得的解叫微分方程的特解 4 初始条件：

29、用来确定通解中任意常数的条件叫初始条件 二、 一阶微分方程的解法 一阶微分方程的形式通常记为：或或0),( yyxF),(yxfy 0),(),(dyyxQdxyxP常见一阶微分方程有： 1 可分离变量微分方程能化成的一阶微分方程叫可分离变量的微分方程通常有dxxfdyyg)()(或，)()(xfygdxdy0)()()()(2211dyyNxMdxyNxM分离变量，两边积分可得通解 2 齐次微分方程一阶方程中的可表示成的函数，即，),(yxfdxdy),(yxfxyxyyxf),(则称此方程为齐次方程解法：令，则代入原方程便得可分离变量微分方程xyu dxduxudxdy3 一阶线性微分方程

30、形如或的方程叫一阶线性非齐次微分)()(xQyxPdxdy)()(yQxyPdydx方程。时，为一阶线性齐次微分方程0Q的通解为0)(yxPdxdydxxPcey)(用常量变易法得的通解为：)()(xQyxPdxdy cdxexQeydxxPdxxP)()()(4 贝努利方程形如（）的方程叫贝努利方程nyxQyxPdxdy)()(1, 0n解法：两边同除以，令，便得一阶线性非齐次微分方程nyzyn1-_5 全微分方程（普通班不要求）若方程满足，即为某二元函数0),(),(dyyxQdxyxPxQ yP QdyPdx的全微分，则称此方程为全微分方程),(yxu其通解为：或CdyyxQdxyxPy

31、xuyyxx00),(),(),(0CdyyxPdxyxQyxuxxyy00),(),(),(0三、 可降阶的高阶微分方程1型)()(xfyn接连次积分，可得此方程的含有个相互独立的任意常数的通解nn2型),(yxfy 令，则，代入原方程，并依次解两个一阶微分方程便可得此方程py dxdpy 的通解3型),(yyfy 令，则，代入原方程，得到一阶微分方程py dydppdxdy dydp dxdpy 解此一阶微分方程，得到，然后分离变量并积分),(pyfdydpp),(1Cypy便可得此方程的通解四、 线性微分方程解的结构（1）0)()( yxQyxpy（2）)()()(xfyxQyxpy 称

32、（1）为二阶线性齐次微分方程，称（2）为二阶线性非齐次微分方程1：若，是（1）的两个解，则线性组合也是（1）的解1y2y1122C yC y2：若，是（1）的两个线性无关的解，则就是（1）的通解1y2y1122yC yC y3：若，是（2）的两个解，则就是（1）的一个解1y2y21yyy4：若是（1）的通解，是（2）的一个特解，则就是（2）的通解y*y*yyy5：若（2）中的，且是的特解，)()()(21xfxfxf* 1y)()()(1xfyxqyxpy -_是的特解，则就是（2）的特解* 2y)()()(2xfyxqyxpy * 2* 1*yyy五、 二阶线性常系数微分方程1 齐次：（1）

33、0 qyypy其特征方程为：（2）20rprq1：若，为（2）的不等二实根，则（1）的通解为：1r2r12 12r xr xyC eC e2：若，为（2）的相等二实根，则（1）的通解为：1r2r1 12()r xyCC x e3：若为（2）的一对共轭复根，则（1）的通解为：ir2, 1)sincos(21xcxceyx阶（）的略n2n 2 非齐次（1）)(xfqyypy 相应齐次方程为：（2）0 qyypy方程（1）的通解（2）的通解（1）一个特解y y*y已解决，这里关键是求：y*y1：若，其中为的次多项式，此时令)()(xPexfmx)(xPmxm，这里为系数待定的次多项式)(*xQexymxk)(xQmm 是特征方程的重根时当是特征方程的单根时当不是特征方程的根时当210k2：（其中、分别为 、xxPxxPexfnlxsin)(cos)()()(xPl)(xPnl次多项式）n此时令，此处；、xxRxxQexymmxksin)(cos)(*,max nlm )(xQm是两个次系数待定的多项式，)(xRmm 是特征根时当不是特征根时当iik10