黎曼积分与-勒贝格积分地比较.doc

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1、-_毕业论文题题 目目 黎曼积分与勒贝格积分的比较 学学 院院 * 姓姓 名名 * 专专业业班班级级 * 学学 号号 * 指指导导教教师师 提提交交日日期期 -_原原创创性性声声明明本本人人郑郑重重声声明明：本本人人所所呈呈交交的的论论文文是是在在指指导导教教师师的的指指导导下下独独立立进进行行研研究究所所取取得得的的成成果果.学学位位论论文文中中凡凡是是引引用用他他人人已已经经发发表表或或未未经经发发表表的的成成果果、数数据据、观观点点等等均均已已明明确确注注明明出出处处.除除文文中中已已经经注注明明引引用用的的内内容容外外，不不包包含含任任何何其其他他个个人人或或集集体体已已经经发发表表或

2、或撰撰写写过过的的科科研研成成果果.本本声声明明的的法法律律责责任任由由本本人人承承担担.论文作者签名：论文作者签名：年年 月月 日日论文指导教师签名：论文指导教师签名：年年 月月 日日-_黎曼积分与勒贝格积分的比较黎曼积分与勒贝格积分的比较摘摘 要要 本文介绍了黎曼积分和勒贝格积分的概念，通过对两类积分的基本性质，可积条件,结合相关定理，分析了勒贝格积分在积分与极限交换次序的条件要求上有比黎曼积分优越的好处，并结合具体实例，具体说明了黎曼积分和勒贝格积分之间的联系与区别. 关键字关键字 黎曼积分； 勒贝格积分；比较；可测函数；可积函数.-_目录目录引言 .11 定义 .11.1 黎曼积分的定

3、义.11.2 勒贝格积分的定义 .22 黎曼积分与勒贝格积分的基本性质 .22.1 黎曼积分的基本性质.22.2 勒贝格积分的基本性质.33 黎曼可积与勒贝格可积的条件 .43.1 黎曼可积的条件.43.2 勒贝格可积的条件.54 相关定理 .54.1 与勒贝格积分有关的定理.54.2 与黎曼积分有关的定理.65 黎曼积分与勒贝格积分的联系 .66 黎曼积分与勒贝格积分的区别 .87 实例 .10总结 .11参考文献 .12致谢 .13-_黎曼积分与勒贝格积分的比较黎曼积分与勒贝格积分的比较引言引言勒贝格积分相对于黎曼积分要迟发展了半个世纪.我们知道，黎曼积分在求积、物体质心、矩量等问题中起着

4、重要作用.黎曼可积函数主要是连续函数或者不连续点不太多的函数，就从数学分析中的一些重要结果如积分与极限交换次序，重积分交换次序，牛顿-莱布尼茨公式等来看，在黎曼积分情形所加条件，没有勒贝格积分情形那样方便.而用勒贝格积分处理这一类问题是相当灵活的.事实上，如果不用勒贝格测度概念，数学分析中的一些道理很难讲清楚.下面就具体比较一下勒贝格积分和黎曼积分的不同处理方法.1 1 定义定义1.11.1 黎曼积分的定义黎曼积分的定义设在上有定义 f x, a b1） 作划分.在上添加个分点得到，将分成, a b1n012: =nT a xxxxb, a b个小区间，记小区间的长度为.n1,iixx1,2,

5、.in1iiixxx2） 取近似.任取点，用底为 ，高为的矩形面积近似代替小的曲1,iiixxix if边梯形的面积.3） 求和.这些小矩形面积之和为. 1nii ifx4） 取极限.令，当时，极限 1maxii nx 0 01limnii ifx 存在.则称在上黎曼可积，且有 f x, a b 01limnbiiaif x dxfx -_1.21.2 勒贝格积分的定义勒贝格积分的定义设是有界可测集上的可测函数 f xE1） (简单函数的积分) 设上简单函数，其中等为互E 1knke kxyxkkeEy不相交的可测集，等互异，表示的特征函数.和为简单函数ky kexke1nkk ky me在上

6、的积分，并记为 xE 1nkkEkx dmy me2） (非负可测函数的积分) 取简单函数满足，另变动，定 0xf xxE x义在上积分为 f xE 0sup EEff x dmx dm 如果此量为有限，则称在上可积，否则只说在上积分为（这时 f xE f xE在上有积分但不可积）. f xE3) （一般可测函数的积分）对于一般可测函数，当与不同 f x Efx dm Efx dm时为时，定义 在上的积分为 f xE EEEf x dmfx dmfx dm当此式右端两项均为有限项时，的积分是有限的，称在上可积. f x f xE2 2 黎曼积分与勒贝格积分的基本性质黎曼积分与勒贝格积分的基本性

7、质2.12.1 黎曼积分的基本性质黎曼积分的基本性质性质 1 若在上黎曼可积，为常数，则在上黎曼可积，且f, a bkkf, a b. bbaakf x dxkf x dx性质 2 若，都在上黎曼可积，则在上也黎曼可积，且fg, a bfg, a b. bbbaaaf xg xdxf x dxg x dx-_性质 3 若，都在上黎曼可积，则在上也黎曼可积.fg, a bf g, a b性质 4 在上黎曼可积的充要条件是:任给，在与f, a b,ca bf, a c, c b都黎曼可积，且有等式. bcbaacf x dxf x dxf x dx性质 5 设为上的黎曼可积函数.若，则f, a b

8、 0f x ,xa b. 0baf x dx 性质 6 若在上黎曼可积，则在上也黎曼可积，且f, a b f x, a b. bbaaf x dxf x dx2.22.2 勒贝格积分的基本性质勒贝格积分的基本性质性质 1 设是有界可测集上的可积函数，等均可测且两两不 f xE1nk kEEkE相交，则有. 12nEEEEf x dmf x dmf x dmf x dm性质 2 设在有界可测集上可积，则对任意正数，有正数，使当 f xE时就有meeE. ef x dm性质 3 设是有界可测集上的可积函数，等均可测且两两不 f xE1nk kEEkE相交，则.12nEEEEfdmfdmfdmfdm

9、性质 4 设在上可积，则对任何实数 ，也可积，且 f xEc cf x. EEcf x dmcf x dm性质 5 设在，上均可积,则也可积，且fgEfg. EEEfg dmfdmgdm-_性质 6 设在，上均可积,且，则fgE f xg x. EEfdmgdm3 3 黎曼可积与勒贝格可积的条件黎曼可积与勒贝格可积的条件3.13.1 黎曼可积的条件黎曼可积的条件充分条件：1、若为定义在上的连续函数，则在上黎曼可积. f x, a b f x, a b2、若为定义在上的只有有限个间断点的有界函数，则在上黎 f x, a b f x, a b曼可积.3、若为定义在上的单调函数，则在上黎曼可积. f

10、 x, a b f x, a b4、若为定义在上的有界函数，是的间断点，且， f x, a b f xlim,nncca b 则在上黎曼可积. f x, a b充要条件：设在上有界 f x, a b1、在上黎曼可积的充要条件是：在上的黎曼上积分等于黎 f x, a b f x, a b曼下积分.即设为对的任意分割.由在上有界，它在每个|1,2,iTx in , a b f x, a b上存在上、下确界：ix， supii xMf x inf,1,2, .iixmf xin 作和， 1nii iS TMx 1nii is Tmx则有. bbaaS T dxs T dx2、在上黎曼可积的充要条件是

11、：任给，总存在相应的一个分割， f x, a b0T使得-_. S Ts T3、在上黎曼可积的充要条件是：任给，总存在相应的某一分割， f x, a b0T使得ii Tx（其中，称为在上的振幅）.iiiMmfix必要条件：若函数在上黎曼可积，则在上必定有界. f x, a b f x, a b3.23.2 勒贝格可积的条件勒贝格可积的条件充分条件：1、 若是有界可测集上的非负可测函数，则在上勒贝格可积. f xE f xE2、若可测函数，在可测集上几乎处处满足，则当可 f x g xE 0g xf xf积时，也可积.g3、设为定义在有限区间上的函数，若黎曼可积，则必然勒贝格可积. f x充要条

12、件：1、设是可测集上的有界函数，则在上勒贝格可积的充要条件是： f xE f xE在上勒贝格可测. f xE2、设是可测集上的连续函数，则在上勒贝格可积的充要条件是： f xE f xE在上勒贝格可测. f xE4 4 相关定理相关定理4.14.1 与勒贝格积分有关的定理与勒贝格积分有关的定理1、 （唯一性定理）设在可测集上勒贝格可积，则的 f xE0 Ef dm 充要条件是.0f :2、 （勒维定理）设可测集上可测函数列满足下面的条件：E nfx， 120;fxfx limnnfxf x -_则的积分序列收敛于的积分： nfx f x. limnEnf x dmfx dm 3、 （法杜定理）

13、设是可测集上的非负可测函数列，则 nfxE. limlimnnEEnnfx dmfx dm 4、 （控制收敛定理）设可测集上可测函数列满足下面的条件：的极E nfx nfx限存在，且有可积函数使 limnnfxf x g x， nfxg x;xE nN则可积，且有 f x. limnEEnf x dmfx dm 4.24.2 与黎曼积分有关的定理与黎曼积分有关的定理1（连续性）若函数列在区间上一致收敛，且每一项都连续，则其极限函数 nfxI在上也连续. f xI2（可积性）若函数列在上一致收敛，且每一项都连续，则 nfx, a b. limlimbbnnaannfx dxfx dx 3（可微性

14、）设为定义在上的函数列，若为的收敛点， nfx, a b0,xa b nfx的每一项在上有连续的导数，且在上一致收敛，则 nfx, a b nfx, a b. limlimnnnnddfxfxdxdx5 5 黎曼积分与勒贝格积分的联系黎曼积分与勒贝格积分的联系1、对于定义在上的函数，若它是黎曼可积的，则必然是勒贝格可积的，且, a b f x ,ba baLf x dxRf x dx由此可知，通常在计算勒贝格积分时，一般先考虑该函数是否黎曼可积，如果可以，那么就先化为黎曼积分求解.下面先看一个例子.-_例例 1 1计算在上的积分. 31 1f xx1,2解 用截断函数求解是上的非负函数，作截断

15、函数 f x1,2 31 1nn f xx33111112xnxn 显然，对每个均黎曼可积，故也勒贝格可积，且有 nfx 33112131,2111 1n n nf xdxRndxRdxx32133122nnnn231 22n于是 ， 1,21,2limnnf x dxf xdx 231lim22nn3 2注：上述结论只对上的有界函数成立，对于无界函数的广义积分，结论不再成立., a b例例 2 2 在上定义函数 0,1 10,0 111,1nx f xnxnn1,2,n 其反常积分的值为，但，不是勒贝格可积的.但 101 ln2f x dx 10f x dx f x对于非负有界函数的黎曼反常

16、积分，若在上黎曼反常积分存在，则必 f x, a b f x勒贝格可积的，且积分值相等.2、 勒贝格可积的函数不一定黎曼可积例例 3 3 在上定义狄利克雷函数：0,1 x-_ 0,1,xxx 若为无理数若为有理数就不是黎曼可积的.事实上，对区间的任意分划，一切积分大和等于 ，一切积分0,11小和等于.因而不可能是黎曼可积的.但是，注意到，就知道的勒0 x 0x: x贝格积分存在且等于.03、 勒贝格积分是一定意义下黎曼积分的推广（测度是长度的推广，可测函数是连续函数的推广）注：勒贝格积分并不是单纯的对黎曼积分的推广例例 4 4 设函数定义在上，由于在广义积分理论有，从 sin xf xx0，

17、0sin 2xdx x而是黎曼可积的，但是在勒贝格积分理论中，由于，即非绝对可积， 0sin xdxx f x故不是勒贝格可积的.6 6 黎曼积分与勒贝格积分的区别黎曼积分与勒贝格积分的区别1、 就可积函数的积分范围来看，勒贝格积分比黎曼积分更广泛.对定义域和值域的划分是黎曼积分与勒贝格积分最本质的区别.黎曼积分是将给定的函数划分定义域而产生的，而勒贝格积分是通过划分函数值域而产生的. 黎曼积分划分后的区间长度很容易给出，但当分割的细度加细时，函数的振幅仍可能较大，而勒贝格积分的优点是函数的振幅较小，从而扩展了可积函数类，使许多问题得到解决.但一般不再是区间，而是可测集，其度量一般不容易给出.

18、然而就是这一点点差别，使勒贝格积分具备了很多黎曼积分所不具有的良好性质.因为勒贝格积分相对黎曼积分的2、 从某些极限过程来看，勒贝格积分比黎曼积分更优越些.对黎曼积分来说，关于积分列求极限的问题，经常要求函数序列一致收敛（充分条件） ，极限才可以与积分号交换顺序.从运算的角度看不仅不方便，限制也过强.然而关于勒贝格积分，对函数列的要求就宽的多.例例 5 5 在上定义狄利克雷函数：0,1 x 0,1,xxx 若为无理数若为有理数把中的有理点依次排列为0,1-_12,nr rr作函数： nx 121,0,n nxr rrx 若其余情形.则处处收敛于，且，.由勒贝格控制收敛 nn Nx x nxx

19、0nxnN定理知，是勒贝格可积的，且有 x. 0,10,1lim0nnx dmx dm 但由例 3 知，不是黎曼可积的，就谈不上上述极限等式成立的可能性.尽管在黎 x曼积分意义下， . 100nRx dxnN3、 微积分基本定理的使用范围扩大了.我们来看数学分析中的牛顿-莱布尼茨公式 baf bf aft dt在数学分析中通常在有连续导数的假定下证明上述公式，或者将条件减弱些，但 f x总要求为黎曼可积才行.可是对于勒贝格积分情形，可以在为勒贝格可积 fx fx的条件下进行讨论.当有界时，证明微积分基本定理并不难，但当无界时， fx fx只要是可积的，微积分基本定理成立. fx4、 黎曼积分和

20、勒贝格积分的可加性（区域可加性）不同.由前面黎曼积分和勒贝格积分的性质知道，黎曼积分具有有限可加性，但没有可列可加性，而对于勒贝格积分，它不仅具有有限可加性，还具有可列可加性.克服了黎曼积分的缺陷.对于这两种积分的可加性不难理解，我们知道，黎曼积分建立在区间之上，而区间只有有限可加性，勒贝格积分建立在勒贝格测度之上，测度具有可列可加性，由于它们之间的密切联系，区间和勒贝格测度也就反映到相应的积分上来了.7 7 实例实例因为勒贝格积分相对黎曼积分的优越性，所以我们平时用勒贝格积分解决黎曼积分中较难的问题.-_例例 6 6 计算上黎曼函数 的积分.0,1 10qR x ,pxp qqx当为互质正整

21、数当是无理数时 10R x dx分析：这个函数在所有无理点处是连续的，在有理点处是不连续的，虽然在中有0,1无穷多个有理点，即黎曼函数在上的不连续点有无穷多个，但它仍是黎曼可积的，0,1但用黎曼积分方法求其积分值比较复杂，然而用勒贝格积分的方法求积分值就十分简单了.解 由是黎曼可积几乎处处连续，令， R x R x|0,1Ax x为中的有理数，则 0,1BA 100,1RR x dxLR x dx ABLR x dxLR x dx 0 BLR x dx BLR x dx 00 BLdm例例 7 7 求极限. 1 215 220limsin1nnxRnxdxn x解 因为有11 12252 22

22、2222sin111nxnxnxnxxn xn xn x1 21 2x且有1 25 22limsin01nnxnxn x由勒贝格控制收敛定理可得-_ 1 215 220limsin1nnxRnxdxn x 1 25 220,1limsin1nnxLnxdxn x1 25 220,1limsin1nnxnxdmn x0,10dm.0利用勒贝格积分可得出黎曼积分比较深刻的理论，其中之一就是黎曼可积条件的推广.利用勒贝格积分理论中的积分极限定理，可以证明：对上有界函数，, a b f x黎曼可积的充分必要条件是在上不连续点的测度长为，这是黎曼积分的本 f x, a b0质特性，从黎曼积分的自身理论是

23、推不出来的，必须借助勒贝格积分理论才能得到.但是，黎曼积分也有它的优势，比如在非均匀分布时， “直线段”质量、平面薄板质量等的问题上，用黎曼积分比较简洁方便.总结总结1勒贝格积分和黎曼积分之间有一种相互依赖、相互补充及特定条件下相互转化的关系.2勒贝格积分拓宽了黎曼积分的定义，使得可积性的条件要求减弱了.3勒贝格积分在积分与极限交换次序的条件要求上有比黎曼积分优越的好处.它，放松了黎曼积分要求函数序列的一致收敛的过强要求，由勒贝格控制收敛定理，只要所给函数列可测、有界、收敛，积分与极限就可交换次序.4勒贝格积分并没有完全否定黎曼积分，它把黎曼积分作为一种特例加以概括，并在一定条件下勒贝格积分可

24、以转化为黎曼积分.由此可见，黎曼积分和勒贝格积分各有自己的优势和价值.参考文献参考文献1 郑维行，王声望.实变函数与泛函分析概要（第四版）M.北京：高等教育出版社，20102 周成林.勒贝格积分与黎曼积分的区别与联系J. 河南：新乡教育学报.2005:(18)75-76 -_3 华东师范大学数学系编.数学分析（第四版）M. 北京：高等教育出版社，20104 周民强.实变函数论M. 北京：北京大学出版社，2001:158-1735 陈纪修，於崇华，金路.数学分析（第二版）M. 北京：高等教育出版社，20046 那汤松.实变函数论（第五版）M. 北京：高等教育出版社，1959致谢致谢在论文结束之际，首先要感谢我的论文指导老师高忠社老师对我的帮助与支持，感谢他在忙碌的教学工作中挤出时间来审查、修改我的论文，没有他全程的帮助和指-_导，我是不会有这样的结果的.此外，我还要感谢数学学院所有老师们的帮助和教导，你们教给我的知识真的让我受益匪浅，非常感谢您们.由于我的知识有限，所以难免会有一些问题，希望各位老师批评指正.最后，我要感谢给予我支持和帮助的同学、朋友，感谢他们为我提出的有益的建议和意见，有了他们的鼓励，我才能充实的度过了四年的学习生活！