空间曲线地切线与-空间曲面地切平面.doc

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1、#*第六节第六节 空间曲线的切线与空间曲面的切平面空间曲线的切线与空间曲面的切平面一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面设空间的曲线 C 由参数方程的形式给出：， )()()(tzztyytxx),(t设，、为曲线上两点，),(,10tt)(),(),(000tztytxA)(),(),(111tztytxB的连线称为曲线C的割线，当时，若趋于一条直线，则此直线称为BA，ABAB AB 曲线C在点的切线A如果对于 的导数都连续且不全为零（即空间的曲线 C)()()(tzztyytxx，t为光滑曲线） ，则曲线在点切线是存在的因为割线的方程为A)()()( )()()( )()()

2、(010010010 tztztzz tytytyy txtxtxx 也可以写为001000100010 )()()( )()()( )()()(tttztztzztttytytyytttxtxtxx当时，割线的方向向量的极限为，此即为切线AB 0tt )(),(),(000tztytx的方向向量，所以切线方程为)()( )()( )()(000000 tztzz tytyy txtxx 过点且与切线垂直的平面称为空间的曲线 C 在点)(),(),(000tztytxA的法平面，法平面方程为)(),(),(000tztytxA0)()()(00 00 00zztzyytyxxtx如果空间的曲线

3、 C 由方程为)(),(xzzxyy且存在，则曲线在点的切线是)(),(0 0xzxy)(),(,(000xzxyxA)()( )()( 100000 xzxzz xyxyyxx 法平面方程为#*0)()()()()(00 00 0xzzxzxyyxyxx如果空间的曲线 C 表示为空间两曲面的交，由方程组 0),(0),(:zyxGzyxFc，确定时，假设在有，在某邻域内满足隐函),(000zyxA0),(),(AzyGFJ),(000zyxA数组存在定理条件，则由方程组在点附近能确定隐函数 0),(0),( zyxGzyxF，),(000zyxA)(),(xzzxyy有，。于是空间的曲线 C

4、 在)(),(0000xzzxyy),(),(1,),(),(1 xyGF Jdxdz zxGF Jdxdy 点的切线是),(000zyxAAAdxdzzzdxdyyyxx000 1即AAAyxGFzzxzGFyyzyGFxx),(),( ),(),( ),(),(000法平面方程为0)(),(),()(),(),()(),(),(000zzyxGFyyxzGFxxzyGFAAA类似地，如果在点有或时，我们得到的切线方),(000zyxA0),(),(AyxGF0),(),(AxzGF程和法平面方程有相同形式。 所以，当向量0),(),(,),(),(,),(),( AAAyxGF xzGF

5、zyGFr时，空间的曲线 C 在的切线的方向向量为),(000zyxAr例例 6.326.32 求曲线在点处的切线方程bzayax,sin,cosba , 0 ,#*解解 当时，曲线过点，曲线在此点的切线方向向量为ba , 0 ,，babaa, 0|,cos,sin所以曲线的切线方程为btzz atyytxx)()( 0)(000即 bbz ayax 0二、空间曲面的切平面与法线二、空间曲面的切平面与法线设曲面的一般方程为S0),(zyxF取为曲面上一点，设在的某邻域内具有连续),(0000zyxPS),(zyxF),(0000zyxP偏导数，且。设为曲面上过0),(),(),(0002 00

6、02 0002zyxFzyxFzyxFzyxcS的任意一条光滑曲线：),(0000zyxP)()()(:tzztyytxxc设，我们有)(),(),(000000tzztyytxx0)(),(),(tztytxF上式对 在求导得到t0tt 0)(),()(),()(),(0 0000 0000 000tzzyxFtyzyxFtxzyxFzyx因此，曲面上过的任意一条光滑曲线在点的切线都S),(0000zyxPc),(0000zyxP和向量),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx垂直，于是这些切线都在一个平面上，记为，平面就称为曲面在S的切平面，向量称为法向量。在的切

7、平面方程是),(0000zyxPnS),(0000zyxP0)(,()(,()(,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx#*过点且与切平面垂直的直线称为曲面在点法线，它),(0000zyxPS),(0000zyxP的方程为),()( ),()( ),()(000000000000 zyxFzz zyxFyy zyxFxxzyx设曲面的方程为S0),(zyxF若在有连续偏导数且),(zyxFS，则称是光滑曲面。由上面讨论可0),(),(),(0002 0002 0002zyxFzyxFzyxFzyxS以知道光滑曲面有切平面和法线。若曲面的方程的表示形式为 ，这时，容

8、易得到在的切S),(yxfz S),(0000zyxP平面方程为0)()(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx法线方程为1)( ),()( ),()(0000000 zz yxfyy yxfxxyx我们知道，函数在点可微，则由 Taylor 公式知),(yxfz ),(00yx)()(0)(,()(,(),(),(2 02 000000000yyxxyyyxfxxyxfyxfyxfyx也就是说，函数在点附近可以用 在的切平面近似代),(yxfz ),(00yxS),(0000zyxP替，误差为的高阶无穷小。2 02 0)()(yyxx若曲面的方程表示为参数形式S),(),()

9、,(:vuzzvuyyvuxxS设，为曲面上一点。假设在),(),(),(000000000vuzzvuyyvuxx),(0000zyxP有，在某邻域内满足隐函数组存在定理条),(0000zyxP0),(),(0PvuyxJ),(0000zyxP件，则由方程组在点附近能确定隐函数（即和的逆映射） ),(),( vuyyvuxx，),(0000zyxPxy#*),(),(yxvvyxuu满足。于是，曲面可以表示为),(),(000000yxvvyxuuS),(),(),(yxvyxuzyxfz由方程组两边分别同时对求偏导得到 ),(),( vuyyvuxx，yx,),(),( ),(),(),(

10、),(,),(),(vuyxuxyvvuyxvxyuvuyxuyxvvuyxvyxu故,),(),(),(),(),(),(),(),(vuyxvuxzvzuzfvuyxvuzyvzuzfyvyuyxvxux所以， 在的切平面方程为S),(0000zyxP0)(),(),()(),(),()(),(),(0),(0),(0),(000000zzvuyxyyvuxzxxvuzyvuvuvu法线方程为),(0),(0),(0000000),(),( ),(),( ),(),(vuvuvuvuyxzzvuxzyyvuzyxx例例 6.336.33 求曲面在点的切平面和法线方程。zxyzln) 1 ,

11、 1 , 1 (解解 曲面方程为，易得0ln),(zzxyzyxF2, 1 , 1 n#*切面方程为0) 1(2) 1() 1(zyx即.02 zyx法线方程为21 11 11 zyx习题习题 6.61求曲线在点处的切线和法平面方taztaaytaaxsin,cossin,coscos0tt 程2求曲线在点处的切线和法平面方程 06222zyxzyx) 1 , 2, 1 ( 3求曲面在点的切平面和法线方程。xyzarctan)4/, 1 , 1 (4。证明曲面上任意一点的切平面与坐标面形成的四面体体积为定值。)0(3aaxyz5证明曲面上任意一点的切平面过一定点。)(xyxfz #*第七节第七

12、节 极值和最值问题极值和最值问题一、无条件极值一、无条件极值 与一元函数极值类似，我们可以引入多元函数的极值概念。定义定义 6.3 元函数在点的一个邻域内n),(21nxxxf),(00 20 10nxxxP)(0PUnR有定义。若对任何点，有)(),(021PUxxxPn或（）)()(0PfPf)()(0PfPf则称元函数在取得极大（或极小）值， n),(21nxxxf),(00 20 10nxxxP称为函数的极大（或极小）值点。极大值和极小值统称),(00 20 10nxxxP),(21nxxxf为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。类似一元函数，我们称使得元函数的各个一阶偏导数同时为零

13、的点n),(21nxxxf为驻点。我们有如下定理。定理定理 6.28 若为元函数的极值点，且),(00 20 10nxxxPn),(21nxxxf#*在的一阶偏导数存在，则为元函数),(21nxxxf),(00 20 10nxxxP),(00 20 10nxxxPn的驻点。),(21nxxxf证证 考虑一元函数，则是的极值点，)2 , 1)(,()(00 1nixxxfxniiix)(ixFermat 马定理告诉我们，可导函数在极值点的导数是零，于是0),()(00 1nixixxxfx i和一元函数类似，反过来，驻点不一定是极值点。而偏导数不存在的点也有可能是极 值点。 判断多元函数的极值点

14、要比一元函数复杂的多，下面我们仅对二元函数不加证明给出 一个判别定理。定理定理 6.29 若为二元函数的驻点，且在的一个),(000yxP),(yxf),(yxf),(000yxP邻域中有二阶连续偏导数。令)(0PU2R),(),(),(000000yxfCyxfByxfAyyxyxx，2BACCBBAQ则（1）当时，若，在取极小值；若，0Q0A),(yxf),(000yxP0A),(yxf在取极大值；),(000yxP（2）当时，在不取极值；0Q),(yxf),(000yxP（3）当时，在可能取极值，也可能不取极值。0Q),(yxf),(000yxP例例 6.34 求函数的极值。)6(32y

15、xyxz解解 解方程组 0)4318(0)2312(223yxyxyzyxxyxz#*得驻点为及直线上的点。)3 , 2(0P0, 0yx对点有，于是函数在)3 , 2(0P0,144,108,1622BACCBAz)3 , 2(0P取积大值。108)(0Pz容易判断，满足条件的点为函数的极小值点，极小值为 0；满足条件的 600 yxz和的点为函数的极大值点，极大值为 0。 00 yx 60 yxz一、一、最值问题最值问题 在社会生产各个领域我们都会遇上最值问题，即如何用最小的成本获取最大利益的问 题，这些问题一般都可以归结为求某一函数在某一范围内的最大值和最小值的问题。 我们称使得函数取得

16、最大值和最小值的点为函数的最大值点和最小值点，统称为最值 点；函数的最大值和最小值统称为最值。1、 一元函数设是定义在闭区间上的连续函数，则在上一定有最大值和)(xfy ,ba)(xf,ba最小值。区间的两个端点和可能成为其最值点，而如果最值点在开区间取得的话，ab),(ba则一定是的极值点，即是的驻点或是使导数不存在的点。假设的所)(xf)(xf)(xf)(xf有驻点是，使导数不存在的点是，那么11 21 1,kxxx)(xf22 22 1,mxxx)(),(),(),(),(),(min,| )(min)(),(),(),(),(),(max,| )(max22 111 122 111 1

17、mkmk xfxfxfxfbfafbaxxfxfxfxfxfbfafbaxxf 例例 6.35 求抛物线上与最近的点。xy22)4 , 1 (解解 设是抛物线上的点，则与的距离是),(yxxy22),(yx)4 , 1 (22222)4() 121()4() 1(yyyxd#*考虑函数，由，得到唯一驻点，于是抛物线上与2)(dyf0)(yf2yxy22最近的点是)4 , 1 ()2 , 2(2、多元函数类似一元函数，元函数的最值问题就是求在某个n),(21nxxxf),(21nxxxf区域上的最大值和最小值，我们只需求出在内部的所有极值DnR),(21nxxxfD和边界上最值，从中比较就可以选

18、出在上的最值。),(21nxxxfD例例 6.36 求平面与点的最短距离。42zyx)2, 0 , 1 (解解 设是平面上的点，则与的距离是),(zyx42zyx),(zyx)2, 0 , 1 (222222)6() 121()2() 1(yxyzyxd考虑函数，由，得到唯一驻点，于是平面2),(dyxf0, 0yxff)3/5 , 6/11(与点的最短距离是42zyx)2, 0 , 1 (665)3/5 , 6/11(d三、条件极值问题和三、条件极值问题和 LagrangeLagrange 乘子法乘子法前面我们研究的极值和最值问题都是直接给出一个目标函数元函数，n),(21nxxxf然后求其

19、极值或最值，是无条件极值问题，但是，更多的极值和最值问题是有约束条件的， 即条件极值问题。一般来说，条件极值问题是指：求目标函数元函数n),(21nxxxfy在一组约束条件下的极值。 )( ,0),(0),(0),(21212211nmxxxGxxxGxxxGnmnn我们可以尝试对上面方程组用消元法解出个变量，从而转化为上一节的无条件极值m 问题来解决，但是，消元法往往比较困难甚至是不可能的，所以，我们需要给出一种新的 方法来求条件极值。下面我们介绍拉格朗日乘子法。我们以二元函数为例来说明，即：求目标函数在一个约束条件限制下的极值问题。),(yxfz 0),(yxF假设点为函数在条件下的极值点

20、，且),(000yxP),(yxfz 0),(yxF#*满足隐函数存在定理的条件，确定隐函数，则是一元函数0),(yxF)(xgy 0xx 的极值点。于是)(,(xgxfz 0)(),(),(0 0000xgyxfyxfyx由隐函数存在定理得到0),(),(),(),(00000000yxFyxfyxFyxfxyyx令，于是极值点需要满足三个条件：),(),(0000 yxFyxfyy),(000yxP0),(0),(),(0),(),(0000000000yxFyxFyxfyxFyxfyyxx 因此，如果我们构造拉格朗日函数),(),(),(yxFyxfyxL其中，称为拉格朗日乘子，则上面三

21、个条件就是0),(),(0),(),(),(0),(),(),(0000000000000000yxFyxLyxFyxfyxLyxFyxfyxLyyyxxx也就是说我们讨论的条件极值问题转化为拉格朗日函数的无条件极值问题。用这种方法去 求可能的极值点的方法，称为拉格朗日乘子法。类似地，求目标函数元函数n),(21nxxxfy在一组约束条件下的极值时，我们可以构造相应的拉格朗 )( ,0),(0),(0),(21212211nmxxxGxxxGxxxGnmnn日函数为 miniinmnxxxGxxxfxxxL121212121),(),(),(于是，所求条件极值点满足方程组#*0),(0),(2

22、1211111111nmnmini ixxmii ixxxxxGLxxxGLxGfLxGfLmnn例例 6.376.37 横断面为半圆形的圆柱形的张口浴盆，其表面积等于，问其尺寸怎样时，S 此盆有最大的容积？解解 设圆半径为，高为，则表面积，容积rh)0, 0)(2hrrhrS。hrV2 21构造拉格朗日函数)(),(22 SrhrhrhrL解方程组 SrhrrryxLhrrhyxLhr22 0000 0),(0)2(2),(得到，这时。32,300ShSr33027SV 由实际情况知道，一定达到最大体积，因此，当时，体积最大。 V00232rSh习题习题 6.71 求函数的极值。xyyxz3

23、332 求函数的极值。22442yxyxyxz3求椭圆上与最远的点4422 yx)0 , 1 (4求平面与点的最短距离。1zyx) 1, 1 , 2(#*5求曲面上与最近的点12 xyz)0 , 0 , 0(6已知容积为的开顶长方浴盆，问其尺寸怎样时，此盆有最小的表面积？V7求用平面与椭圆柱面相交所成椭圆的面积。0CzByAx12222 by ax第八节第八节 导数在经济学中的应用导数在经济学中的应用一、导数的经济意义一、导数的经济意义 1边际函数定义定义 6.4 设函数可导，则导函数在经济学中称为边际函数。)(xfy )(xf在经济学中，我们经常用到边际函数，例如：边际成本函数、边际收益函数

24、、边际利 润 函数等等，它们都是表示一种经济变量相对于另一种经济变量的变化率问题，都反映了导 数在经济学中的应用。成本函数表示生产个单位某种产品时的总成本。平均成本函数表示生产)(xCx)(xcx个单位某种产品时，平均每个单位的成本，即。边际成本函数是成本函数xxCxc)()(相对于的变化率，即的导函数。)(xCx)(xC)(xC由微分近似计算公式我们知道xxCxdCxCxxCxC)()()()()(令，我们有，也就是说，边际成本函数可以近似表1x)() 1()(xCxCxC)(xC示已经生产个单位产品后再生产一个产品所需要的成本。x在生产中，我们当然希望平均成本函数取得极小值，这时，我们可以

25、得到)(xc0)(xc即0)()()(2 xxCxxCxc则，于是我们得到。因此，平均成本函数取得极小0)()(xCxxC)()(xcxC)(xc值时，边际成本函数和平均成本函数相等。这在经济学中是一个重要原则，就是说在生产 中，当边际成本函数低于平均成本函数时，我们应该提高产量，以降低平均成本；当边际 成本函数高于平均成本函数时，我们应该减少产量，以降低平均成本。#*例例 6.386.38 设某种产品生产个单位时的成本为。求x21 . 02250)(xxxC（1）当生产产品 100 单位时的边际成本和平均成本； （2）当生产产品数量为多少时平均成本最低。解解 （1）边际成本函数和平均成本函数

26、为xxC2 . 02)(xxxxCxc1 . 02250)()(于是，5 .14)100(,22)100(cC（2）平均成本函数取得极小值时，边际成本函数和平均成本函数相等，即)(xc)()(xcxCxxx1 . 022502 . 0250x 因此，当生产产品数量为 50 时平均成本最低。类似边际成本函数我们可以讨论其它边际函数。需求函数表示销售单位某种产品时的单个产品的价格。那么，是的单)(xpx)(xpx调减少函数。收益函数是，边际收益函数是。)()(xxpxR)(xR利润函数是)()()(xCxRxP边际利润函数是。)(xP当利润函数取极大值时，于是，也就是0)()()(xCxRxP)(

27、)(xCxR说取得最大利润的必要条件是边际利润等于边际成本。为了保证取得最大利润还需要下面 条件0)()()( xCxRxP即。所以，当且时取得最大利润。)()( xCxR)()(xCxR)()( xCxR例例 6.396.39 设某种产品生产个单位时的成本为，x320003. 001. 028. 127)(xxxxC需求函数。当生产产品数量要达到多大时可以取得最大利润？xxp01. 028.10)(解解 收益函数是201. 028.10)()(xxxxpxR#*由得到)()(xCxR20009. 002. 028. 102. 028.10xxx我们得到。100x容易验证对任意有。所以，当生产

28、产品数量达到 100 单位水平可0x)()( xCxR以取得最大利润。2弹性 在经济学中我们常常用到弹性的概念，弹性也是一种变化率问题，与导数概念密切相 关。定义定义 6.5 设函数在点可导，则称为函数在点与)(xfy 0x00xxyy)(xfy 0x两点间的弹性；称在时的极限为函数在点的弹性，记为xx000xxyy0x)(xfy 0x或0xxExEy)(0xfExE即)()(lim000000 0xfxfxxxyyExEyxxx 如果在可导，相应地，我们可以给出上弹性函数的定义)(xfy ),(bax),(ba)()(xfxfx ExEy当很小时，我们有近似计算公式x000xx ExEy y

29、yxx也就是说，函数的弹性是函数的相对改变量与自变量相对改变量之比，上式表示当从x#*产生的改变时， 改变0x001)(xfy 000)(xfExE需求函数表示在价格为时，产品的需求量为。需求函数是)(pfQ pQ)(pfQ 单调减少函数，的反函数也称为需求函数，就是我们前面提到的需求函数。)(pfQ )(xp需求函数对价格的导数称为边际需求函数。需求函数的弹性)(pfQ p)(pfQ 为)()(pfpfp EpEf由于是单调减少函数，因此。)(pfQ 0EpEf收益函数，于是)()(ppfpQpR1)()()(1)()()()( EpEfpfpfpfppfppfpfpR令，我们有EpEfEd

30、若，则需求变动幅度小于价格变动幅度，称为低弹性，这时，1dE0)(pR是单调增加函数。也就是说当价格上涨时收益增加， 当价格下跌时收益减少。)(pR若，则需求变动幅度大于价格变动幅度，称为高弹性，这时，1dE0)(pR是单调减少函数。也就是说当价格上涨时收益减少， 当价格下跌时收益增加。)(pR若，则需求变动幅度和价格变动幅度相同，称为单位弹性，这时，1dE。也就是说当价格改变时，收益没有变化。0)(pR类似上面对需求弹性的研究，我们也可以讨论供给弹性。供给函数是指商品生产商的供给量与价格之间的关系函数。)(pQQp是单调增加函数。边际供给函数是对价格的导数，供给弹性函数是)(pQ)(pQp)

31、()(ppp EpE#*例例 6.406.40 设某种产品的需求函数为，其中价格。pQ5100)20, 0(p（1）求需求函数的弹性；QEpEQ（2）用需求弹性说明价格在什么范围变化时，降低价格反而使收益增加。解解 （1）需求函数的弹性。Q20pp EpEQ（2）容易得到当时，这时，当价格下跌时收2010 p1EpEQEd0)(pR益增加。二、其它应用举例二、其它应用举例 导数在经济学中有很多应用，下面举一些例题说明。首先，我们考虑连续复利率问题。假设初始资金为，如果年利率为，那么， 年0Art后资金为。通常情况下是一年多次计息，假设一年次计息，那么trAtA)1 ()(0nnt nrAtA)

32、1 ()(0我们这里是连续复利率计算问题，令得到nrtrtrnnntneAnrAnrAtA000)1 (lim)1 (lim)( 于是，我们得到连续复利率计算公式。rteAtA0)(例例 6.416.41 某企业酿造了一批好酒，如果现在就出售，总收入为，如果贮藏起来，0R年后出售，收入为。如果银行年利率为，并且以连续复利率计算，问贮t520)(t eRtRr藏多少年后出售可以使收入的现值最大。解解 由连续复利率计算公式， 年后的总收入的现值为t)(tR)(tXrtt rteRetRtX520)()(由得，（年） 。故贮藏年出售，总收入的现值最大。0)(tX2251 rt 2251 r下面，我们

33、再举一个其它应用题。 例例 6.426.42 某企业生产某型号仪器，年产量 A 台，分几批生产，每批生产准备费为 B 元， 假设产品均匀投入市场，且上一批用完后立即生产下一批，平均库存量为批量的一半。设 每年一台仪器的库存费为 C 元。问如何选择批量，使一年中库存费与准备费之和最小。#*解解 设批量为台，则库存费为，每年生产的批数为，生产准备费为，于xCx 2xABxA是总费用为xABxCxf2)(令，得到。0)(xfCABx2因此，批量为台时，一年中库存费与准备费之和最小。CABx2多元函数的偏导数在经济学中也有非常广泛的应用。元函数的n),(21nxxxfy偏导数称为对的边际函数。我们可以

34、类似一元函数引), 2 , 1)(,(21nixxxfxn i ix入边际成本函数、边际收益函数、边际利润函数等等。我们还可以类似一元函数引入函数 的偏弹性概念。这里不再一一详细叙述。 下面我们举几个多元函数应用题。 例例 6.436.43 假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数 分别是221112,218QpQp其中和为售价，和为销售量。总成本函数为1p2p1Q2Q5)(221QQC（1）如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企 业获得最大利润； （2）如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和统一的价格， 使该

35、企业总利润最大化；并比较两种策略下的总利润大小。 解解 （1）总利润函数是5101625)(2212 22 1212211 QQQQQQQpQpCRP由 010201642 21 1QQPQQP得，这时。5, 421QQ7,1021pp#*因为这是一个实际问题，一定存在最大值，且驻点唯一，因此当时，7,1021pp取得最大利润52510162 54212 22 1 21 QQQQQQP（3）若实行价格无差别策略，则，即有约束条件21pp 6221QQ构造拉格朗日函数)62(510162),(21212 22 121QQQQQQQQL由062010202164212 21 1QQLQQLQQL得

36、，这时。2, 4, 521QQ821 pp最大利润49510162 45212 22 1 21 QQQQQQP因此，企业实行价格差别策略所得利润要大于实行价格无差别策略的利润。例例 6.446.44 假设某企业通过电视和报纸作广告，已知销售收入为221028321415),(yxxyyxyxR其中（万元）和（万元）为电视广告费和报纸广告费。xy （1）在广告费用不限的情况下求最佳广告策略； （2）如果广告费用限制为 1.5（万元） ，求相应广告策略。 解解 （1）利润函数为221028311315)(yxxyyxyxRP由#* 02083104813yxyPxyxP得到唯一驻点。这时最大利润为

37、1, 5 . 1yx（万元）41) 1 , 5 . 1 (P（2）构造拉格朗日函数为)5 . 1(1028311315),(22yxyxxyyxyxL由05 . 102083104813yxLyxyLxyxL得到唯一驻点。这时最大利润为5 . 1, 0yx（万元）39)5 . 1 , 0(P习题习题 6.86.81设某种产品生产个单位时的成本为。求x230040000)(xxxC（1）当生产产品 1000 单位时的边际成本和平均成本； （2）当生产产品数量为多少时平均成本最低。2设某种产品生产个单位时的成本为，需求函x32001. 0361450)(xxxxC数。当生产产品数量要达到多大时可以

38、取得最大利润？xxp01. 060)(3设某种产品的需求函数为，求时的需求弹性；5p eQ6p4 设某种产品的需求函数为讨论其弹性的变化。pQ21005。某产品的总收益函数和成本函数分别是12)(,30)(22xxxCxxxR厂商追求最大利润，政府对产品征税，求： （1）求产品产量和价格为多少时，厂商能取得税前最大利润； （2）征税收益的最大值及此时的税率；#*（3）厂商纳税后的最大利润。 6假设某厂家在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是221110,2 . 024pQpQ其中和为售价，和为销售量。总成本函数为1p2p1Q2Q35)(4021QQC试确定两个市场上该产

39、品的销售价格，使该企业获得最大利润。第九节第九节 曲率曲率所谓曲率就是用来描述曲线的弯曲程度的线有直线和非直线，如果一个人沿着直线 行走，他不需要转动方向；但如果他沿着一条非直线行走时，他在每一点行进的方向是曲 线的切线方向因而他在每一点行进的方向大多是不一样的人移动时，他要转动方 向当曲线的弯曲程度大一点时，人走相同的距离目光的转向要大一点在直线上转向是 没有的因而我们就用曲线上单位距离切线方向（即目光方向）的转动角度来刻画曲线的 弯曲程度设光滑曲线方程为， xfy bax,baxx,21 111,xfxP是曲线上的两点当弧很小时，可以用的直线距离来近似设曲 222,xfxP21PP21PP

40、线在点的切线与轴正向的夹角分别是，则21,PPx,， 21tan,tanxfxf所以 21arctan,arctanxfxf ,arctanarctan12xfxf而， 2 122 1221xfxfxxPP这时有#* 23121121212121212122 122 121221111 11arctanarctanlimarctanarctanlimlim121212xfxfxfxfxfxxxfxf xxxfxfxfxfxxxfxfPPxxxxxx 是刻画曲线在点的弯曲程度的，通常记为1212limPPxx1xk定义定义 6.6 若函数具有两阶连续的导数，则曲线上单位长度的切线转动 xfy 2

41、31xfxfk 称为函数的曲率 xfy 显然曲率0k例例 6.45 求抛物线的曲率cbxaxy2解解：，baxy2ay2 所以曲率为 23 2212baxak 显然当时，最大02baxk即在（对称轴处） ，曲线弯曲程度最大abx2例例 6.46 求直线的曲率bkxy#*解解：因为，ky 0 y所以即直线没有弯曲0k上面这种方法是对显函数而言的如果曲线有参数方程给出，求曲率的过程 tyytxx可以如下进行先求，代入前面求曲率的公式， txty dxdy 322txtytxtxty dxdy dxd dxyd 得到 23 22tytxtytxtxtyk 例例 6.47 求半径为的圆的曲率R解解：可

42、设圆方程为，则 sincos RyRx，；sinRxcosRy ，；cosRx sinRy 代入上面的公式，得 RRRRRRRk1sincossinsincoscos23 22 即圆的弯曲程度是其半径的倒数越大，曲率越小R 为此我们一般曲线上任意一点可以用一个圆弧来表示相比较着一点的曲率的倒数，即称为该点的曲率半径，也就是说，该点的弯曲程度与半径为的圆的弯曲程度接k1 k1近此时在该点的法线上的的一侧一点，使得，点称为曲率中心以 O 为圆kOP1心，为半径的圆称为 P 点的曲率圆k1下面考虑隐函数曲率的求法求隐函数的曲率，关键在于求举一个例子yy ,例例 6.48 求曲线上一点的曲率12222

43、 by ax0, 0ba#*解解：对两边对求导，得到12222 by axx0121222ybyax所以 yaxby22 又对两边对求导，得到0121222ybyaxx012121222 22 ybyyba 所以，32422223242244221 yab ax by yab yx ab ab yy 23 24244423 21xbyabayyk 特别地，当时，RbaRk1最后介绍极坐标系下，曲线的曲率的求法例例 6.49 求阿基米德螺线的曲率ar 解：解：因为，所以coscosarxsinsinary，sincosaaxcossinaay，cossin2aax sincos2aay 代入公式，得 23 22tytxtytxtxtyk