江苏省镇江市2022-2023学年高三上学期期中数学试题含答案.pdf

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1、江苏省镇江市江苏省镇江市 2022-2023 学年度镇江市高三上学期期中试卷学年度镇江市高三上学期期中试卷数学数学一一 选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要求的.1.若集合2log1Mxx，112xNx,则MN（）A.01xxB.02xxC.02xxD.01xx2.命题：“0ln1.xxx（，），”的否定是（）A.0ln1.xxx（，），B.,0ln1.xxx ，C.0ln1.xxx（，），D.0ln1.xxx（，），3.已知复数z满足534 1

2、 3izz，则z（）A.513B.1013C.517D.8174.云台阁，位于镇江西津渡景区，全全落于云台山北峰，建筑形式具有宋元古建特征.如图，小明同学为测量云台阁的高度，在云台阁的正东方向找到一座建筑物 AB，高为 12m，在它们的地面上的点 M（B，M，D 三点共线）测得楼顶 A，云台阁顶部 C 的仰角分别为 15和 60，在楼顶 A 处测得阁顶部 C 的仰角为 30，则小明估算云台阁的高度为（）（21.414，31.732，精确到 1m）A.42mB.45mC.51mD.57m5.已知等比数列 na中，0na，其前n项和为nS，前n项积为nT，且248S，460S，则使得1nT 成立的

3、正整数n的最小值为（）A.9B.10C.11D.126.ABC中，M，N 分别为 AC，BC 的中点，AN 与 BM 交于点 O，下列表达正确的是（）A.1122CONOMO B.CONOMO C.3322CONOMO D.22CONOMO 7.某种卷筒卫生纸绕在圆柱形盘上，空盘时盘芯直径为 40mm，满盘时直径为 120mm，已知卫生纸的厚度为 0.1mm，则满盘时卫生纸的总长度大约（）（3.14，精确到 1m）A.60mB.80mC.100mD.120m8.已知函数0()e,xfxx记函数()nfx为(1)()nfx的导函数(N)n，函数()nyfx的图象在1x 处的切线与 x 轴相交的横

4、坐标为nx，则11niiix x（）A.132nnB.33nnC.23nnnD.123nnn二二 多选题：本题共多选题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.已知 a，b，c，dR，下列命题正确的是（）A.若 ab0，则 a2abb，则 ac2bc2C.不等式ee2aa恒成立D.若ab，且cd，则lnlnacbd10.下列判断正确的有（）A.当0,2x时，方程sintan

5、xx存在唯一实数解B.当0,2x时，cossinxxxC.3111cos4sin3244D.3sin(sin(1)211.设21,ee 为单位向量，满足1212122311,32eeaee bee ，设,a b 的夹角为，下列说法正确的是（）A.1216e e B.ar的最小值为 2C.2cos最小值为3536D.当1x 时，使方程abaxb成立的x一定是负数12.设函数 sin05f xx，已知 fx在0,2有且仅有 5 个零点下面论述正确的是（）A.fx在0,2有且仅有 3 个极大值点B.fx在0,2有且仅有 2 个极小值点C.fx在0,10单调递增D.的取值范围是12 29,5 10三三

6、 填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.“m1”是“函数2()(0)xf xxxm的最大值小于 1”的_条件.(在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选择一个填空)14.已知向量1,2,3,4,Rabcatb t，若abc，则t _.15.已知13,0,sin,sin3 623335 ，则sin_，sin2_16.已知 2lnf xxaxx，若 0f x 有且仅有三个整数解，则 a 的取值范围是_.四四 解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明 证明过程或

7、演算步骤证明过程或演算步骤.17.已知向量cos,sin,3,3,0,axxbx.（1）若abb，求x的值；（2）记 f xa b，求函数 f x的图象向右平移3个单位，纵坐标不变横坐标变为原来的 2 倍，得到函数 g x的图象，求函数 g x的值域.18.已知数列na首项为 2，满足1(2)2nnnn aaa，求：（1）数列na的通项公式；（2）数列na的前 n 项和nS.19.在ABC中，角ABC，的对边分别为abc，已知sinsin2sincos2caBAaAC.（1）求角B的大小；（2）AC边上有一点D，满足()()a BD BAc BD BC ，且1BD，求ABC周长的最小值.20.

8、“春节”期间，某商场进行如下的优惠促销活动：优惠方案 1：一次购买商品的价格，每满 60 元立减 5 元；优惠方案 2：在优惠 1 之后，再每满 400 元立减 40 元例如，一次购买商品的价格为 130 元，则实际支付额13013051305 212060 元，其中 x表示不大于 x 的最大整数又如，一次购买商品的价格为 860 元，则实际支付额860860540 175060 元（1）小明计划在该商场购买两件价格分别是 250 元和 650 元的商品，他是分两次支付好，还是一次支付好？请说明理由；（2）已知某商品是小明常用必需品，其价格为 30 元/件，小明趁商场促销，想多购买几件该商品，

9、其预算不超过 500 元，试求他应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低？最低平均价格是多少？21.已知函数e()exxaf xab是定义在R上的奇函数.（1）求函数 f x的解析式，判断函数 f x在定义域上的单调性并证明；（2）令 3Rh xfxtf xt，若对1,x，使得 0h x，求实数t的取值范围.22.已知函数1()ln1xf xxax.（1）求函数 f（x）的单调区间；（2）若对任意的 x1，f（x）0 恒成立，求实数 a 的取值范围；（3）证明：若函数 f（x）有极值点，则 f（x）必有 3 个不同的零点.2022-2023 学年度镇江市高三上学期期中试卷学年度镇江市高三上学期

10、期中试卷数学数学一一 选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要求的.1.若集合2log1Mxx，112xNx,则MN（）A.01xxB.02xxC.02xxD.01xx【答案】B【解析】【分析】根据对数和指数的性质解出集合 M 和 N，从而可求得答案.【详解】2log1x 22loglog 202xx，112x0220 xx，故02Mxx，0Nxx，02MNxx.故选：B.2.命题：“0ln1.xxx（，），”的否定是（）A.0ln1.xxx（，），

11、B.,0ln1.xxx ，C.0ln1.xxx（，），D.0ln1.xxx（，），【答案】C【解析】【分析】根据特称命题的否定为全称命题即可求解.【详解】“0,ln1xxx”的否定是“0,ln1xxx”，故选：C.3.已知复数z满足534 1 3izz，则z（）A.513B.1013C.517D.817【答案】A【解析】【分析】利用复数的运算可求得实数z的值，再利用共轭复数的定义以及复数的模长公式可求得结果.【详解】由已知可得534i 12izz，所以，5 12i34iz，所以，34i5 12i34i6316i5 12i5 12i5 12i169169z，故6316i169169z，因此，22

12、6316516916913z.故选：A.4.云台阁，位于镇江西津渡景区，全全落于云台山北峰，建筑形式具有宋元古建特征.如图，小明同学为测量云台阁的高度，在云台阁的正东方向找到一座建筑物 AB，高为 12m，在它们的地面上的点 M（B，M，D 三点共线）测得楼顶 A，云台阁顶部 C 的仰角分别为 15和 60，在楼顶 A 处测得阁顶部 C 的仰角为 30，则小明估算云台阁的高度为（）（21.414，31.732，精确到 1m）A.42mB.45mC.51mD.57m【答案】D【解析】【分析】利用直角三角形的正弦公式及解三角形的正弦定理，依次求得,AM CM CD即可.【详解】因为62sin15s

13、in 4530sin45 cos30cos45 sin304 ，所以在Rt MAB中，sin15ABAM，故121262624AM，在AMC中，105,45AMCCAM，则30ACM，所以由正弦定理得12621222CM，故2431CM，所以在RtCDM中，sin60CDCM，故3sin60243112 33572CDCM.故选：D.5.已知等比数列 na中，0na，其前n项和为nS，前n项积为nT，且248S，460S，则使得1nT 成立的正整数n的最小值为（）A.9B.10C.11D.12【答案】D【解析】【分析】根据等数列的通项关系，求得1,a q，从而得na，于是有nT，解不等式【详解

14、】解：因为248S，460S，所以12123448,60aaaaaa即12344812aaaa，则2341212aaaaq214q，12q或12q ，又0na，12q1113482aa qa，132a则16113222nnna，115 4602121111222n nnnnTa aa 则1102n n，得11n，则min12n.选选：D.6.ABC中，M，N 分别为 AC，BC 的中点，AN 与 BM 交于点 O，下列表达正确的是（）A.1122CONOMO B.CONOMO C.3322CONOMO D.22CONOMO 【答案】D【解析】【分析】取AB中点E，连CE,根据三角形重心定理，结

15、合向量的线性运算，即可得到结果.【详解】取AB中点E，连CE,则点O为ABC的重心，10,0222OEOMONOCOMONOCOMON uuu ruuuruuu ruuu ruuuruuu ruuu ruuuruuu rrr，即22COMONO ，故选：D.7.某种卷筒卫生纸绕在圆柱形盘上，空盘时盘芯直径为 40mm，满盘时直径为 120mm，已知卫生纸的厚度为 0.1mm，则满盘时卫生纸的总长度大约（）（3.14，精确到 1m）A.60mB.80mC.100mD.120m【答案】C【解析】【分析】将卫生纸的长度近似看成 400 个直径成等差数列的圆周长的和，利用等差数列前 n 项和公式即可求

16、得满盘时卫生纸的总长度大约为 100m【详解】空盘直径是40mm，半径是20mm，周长是2 2040 mm满盘直径是120mm，半径是60mm，周长是2 60120 mm60204000.1，则每一圈周长成等差数列，共 400 项，400400 4012032000 mm100480mm100m2S，故选：C.8.已知函数0()e,xfxx记函数()nfx为(1)()nfx的导函数(N)n，函数()nyfx的图象在1x 处的切线与 x 轴相交的横坐标为nx，则11niiix x（）A.132nnB.33nnC.23nnnD.123nnn【答案】B【解析】【分析】由导数的几何意义可求出切线方程，

17、再利用裂项相消法即可求解.【详解】11 exfxx，切点1,2e，22 e,3exfxxk，切线方程为：2e3e1yx，令10,3yx，即113x exnfxxn，切点1,1en，11 e,2 exnfxxnkn，切线方程为：1 e2 e1ynnx，令10,2nyxn，所以11112323nnx xnnnn，1111111111344523333(3)niiinx xnnnn故选：B二二 多选题：本题共多选题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得要求，全部选对的得 5 分，

18、部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.已知 a，b，c，dR，下列命题正确的是（）A.若 ab0，则 a2abb，则 ac2bc2C.不等式ee2aa恒成立D.若ab，且cd，则lnlnacbd【答案】BC【解析】【分析】对于 AD，举反例即可排除；对于 B，利用不等式的性质即可判断；对于 C，利用基本不等式即可判断.【详解】对于 A，令2,1ab ，则0ab，但2222(2)(1)ab ，故 A 错误；对于 B，因为ab，2c 0，所以22acbc，当0c=时取“，故 B 正确；对于 C，因为ee2 ee2aaaa，当且仅当eeaa，即0a 时，等号成

19、立，所以ee2aa恒成立，故 C 正确；对于 D，令1,2,3,4abcd ，则ab，cd，且3,8acbd，所以由lnyx的单调性可知lnlnacbd，故 D 错误.故选：BC.10.下列判断正确的有（）A.当0,2x时，方程sintanxx存在唯一实数解B.当0,2x时，cossinxxxC.3111cos4sin3244D.3sin(sin(1)2【答案】BCD【解析】【分析】(1)将方程转化为sinsintancosxxxx在0,2x上无解，(2)构造 cossinf xxxx根据函数的导数讨论单调性和最值即可判断，(3)由(2)可确定11cos4sin44，再构造函数 211cos2

20、g xxx 利用导数和单调性最值的关系可确定311cos324，(4)根据 sin 113 可判断.【详解】0,2x时，sinsintancosxxxx,即cos1x 在0,2x上无解，故 A 错误；0,2x时令 cossinf xxxx，cossincossin0fxxxxxxx f x在0,2单调递减，所以 00f xf即cossin,xxx故 B 正确；因为1111110,cossin,cos4sin4244444令 211cos,0,sin,22g xxx xgxxx 令()sin,()1cos0h xxx h xx ，所以()h x在0,2x单调递减，所以()(0)0h xh，即 s

21、in0,gxxx 则 g x在0,2上单调递减，104gg，即111cos0324，即3111cos4sin,3244故 C 正确；3sin 11,sin sin 1,32 故 D 正确；故选：BCD.11.设21,ee 为单位向量，满足1212122311,32eeaee bee ，设,a b 的夹角为，下列说法正确的是（）A.1216e e B.ar的最小值为 2C.2cos最小值为3536D.当1x 时，使方程abaxb成立的x一定是负数【答案】ACD【解析】【分析】利用向量的数量积运算律以及夹角公式，模长公式即可求解.【详解】221212121212311,491211,6eeeee

22、ee e ，故 A 正确；2221212min172122,|,333aeee ea 故 B 错误；121 21 21 255cos,2213 12e ea beeta beeee 令22131125(1)25251121212cos2 113 12212132121213tttttt12513512,2121536故 C 正确；2210 102322|,1,13 1213 12ttabaxbxxtt ，因为1 21,1eet ，所以2322013 12txt 即x一定是负数，故 D 正确；故选:ACD.12.设函数 sin05f xx，已知 fx在0,2有且仅有 5 个零点下面论述正确的是（

23、）A.fx在0,2有且仅有 3 个极大值点B.fx在0,2有且仅有 2 个极小值点C.fx在0,10单调递增D.的取值范围是12 29,5 10【答案】ACD【解析】【分析】结合正弦函数的图像和性质可判断 A，B 选项，根据 fx在0,2有且仅有 5 个零点，可得5265，解出，可判断 D，由0,10 x，得(2),5510 x，而要 fx在0,10单调递增，从而可得(2)102，进而可求出的范围，可判断 C【详解】解：当0,2x时，2555x，因为 fx在0,2有且仅有 5 个零点，所以 fx在0,2上有且仅有 3 个极大值点，而极小值点有 2 个或 3 个，所以 A 正确，B 错误；因为5

24、265，所以1229510，所以 D 正确；当0,10 x时，(2),5510 x，若 fx在0,10单调递增，则(2)102，得3，而1229510，所以 C 正确，故选：ACD【点睛】此题考查了三角函数的图像与性质，考查计算能力，属于中档题三三 填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.“m1”是“函数2()(0)xf xxxm的最大值小于 1”的_条件.(在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选择一个填空)【答案】充分不必要【解析】【分析】根据 m1 利用基本不等式求出 f(x)最大值可判断充分性；利用导数判断

25、f(x)的单调性，求出其最大值，令最大值小于 1 求出 m 的范围，由此可判断必要性【详解】1m时，2122xxf xxmmxm，即max1()12f xm；对于函数2()(0)xf xxxm，222,0 xmfxxxm，若0m，则 0fx，f(x)在 x0 时单调递减，没有最大值；若0m，则0 xm时，()0fx，f x单调递增；xm时，0fx，f x单调递减；max1()2f xfmm，若max()1f x，则11142mm故“m1”是“函数2()(0)xf xxxm的最大值小于 1”的“充分不必要”条件故答案为：充分不必要14.已知向量1,2,3,4,Rabcatb t，若abc，则t

26、_.【答案】37【解析】【分析】由已知，根据已知条件，先表示出,ab c的坐标形式，然后再根据abc，直接列式求解即可.【详解】由已知，1,2,3,4,Rabcatb t，所以2,2,1 3,24abctt，由abc可知：2 1 32 240tt，解得37t .故答案为：37.15.已知13,0,sin,sin3 623335 ，则sin_，sin2_【答案】.34 310.748 275【解析】【分析】利用sinsin33结合和角公式可求sin；利用sin2sin233结合和角公式可求sin2【详解】2 2,0,cos0,cos3 632333 4,0,cos0,cos236 3335 31

27、4334 3sinsin3352521034241697sin22,cos2355253252525172 224748 2748 2sin2,sin2.333253257575 故答案为：34 310；748 27516.已知 2lnf xxaxx，若 0f x 有且仅有三个整数解，则 a 的取值范围是_.【答案】ln22 ln33,89【解析】【分析】2ln00 xxf xa xx，令 2lnxxg xx，利用导数求出函数 g x的单调区间，再根据函数的单调性结合已知即可得解.【详解】解：2ln00 xxf xa xx，令 23ln12ln,xxxxg xgxxx，令 12lnh xxx，

28、则 2100h xxx ，所以函数 h x在0,上递减，又 10g，当01x时，0gx，当1x 时，0gx，所以函数 g x在0,1上递增，在1,上递减，因为 g xa有且仅有三个整数解，所以 43gag，即ln22ln3389a，所以 a 的取值范围是ln22 ln33,89.故答案为：ln22 ln33,89.四四 解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.17.已知向量cos,sin,3,3,0,axxbx.（1）若abb，求x的值；（2）记 f xa b，求函数 f x的图象向右平移3个单

29、位，纵坐标不变横坐标变为原来的 2 倍，得到函数 g x的图象，求函数 g x的值域.【答案】（1）56（2）3,2 3【解析】【分析】（1）利用向量坐标的线性运算得ab的坐标，根据abb的坐标关系可得3sincos3xx，从而可得3tan3x ，0,x，即可求解x的值；（2）求解 f xa b 化成余弦型函数，再由三角函数图象变化得 g x，根据余弦函数图象性质求函数 g x的值域即可.【小问 1 详解】解：cos,sin,3,3axxb，cos3,sin3abxxabb，cos33sin330 xx 3sincos3xx，即3tan3x 0,x，56x.【小问 2 详解】解：3cos3si

30、n2 3cos6f xa bxxx由 f x图象向右平移3，横坐标变为 2 倍得 12 3cos26g xx0,x，1,266 3x cosyx在,06单调递增，0,3单调递减11cos,1262x12 3cos3,2 326x，即 g x值域为3,2 3.18.已知数列na首项为 2，满足1(2)2nnnn aaa，求：（1）数列na的通项公式；（2）数列na的前 n 项和nS.【答案】（1）2nnan；（2）1(1)22nnSn.【解析】【分析】（1）由题设可得121nnaann，即可得nan为等比数列，写出通项公式，即可得na的通项公式；（2）应用错位相减法及等比数列前 n 项和公式求n

31、S.【小问 1 详解】已知数列 na满足122nnnn aaa，则122nnnana，则12,1nnnaaannn是首项为121a，公比为 2 的等比数列，故11221nnnaan，即2nnan.【小问 2 详解】12311 22 23 21 22nnnSnn ，231121 22 2221 22,nnnnSnnn 可得：21112 1 2222221221 2nnnnnnSnnn 1(1)22.nnSn19.在ABC中，角ABC，的对边分别为abc，已知sinsin2sincos2caBAaAC.（1）求角B的大小；（2）AC边上有一点D，满足()()a BD BAc BD BC ，且1BD

32、，求ABC周长的最小值.【答案】（1）3（2）2 3【解析】【分析】（1）利用正弦定理和三角公式得到1cos2B，即可求出角B的大小；（2）利用数量积的定义得到coscosABDCBD，求出6ABDCBD.由面积相等得到3acac.整理出周长2()3Cacacac，令act，4 33t，得到23Cttt，利用单调性法求出ABC的周长最小值.【小问 1 详解】sin2sin2sin cos2caBAaAC，由正弦定理得：2sinsin sin2sin2sincos2CABAAC.22sin sin cossin sin cossincosABBCAAAC.0,sin0,2sin cossin c

33、ossin cos2AABBCAAC2sin cossin,2sin cossinBBACBBB12sin cossin,0,sin0,cos22BBBBBB0,23BB.【小问 2 详解】,1a BD BAc BD BCBD ，1cos1cos,coscosacABDcaCBDABDCBD ,36BABDCBDABDCBDMBCSSS1111 sin1 sinsin262623cac a 化简得：3,acac周长222cosCacbacacacB 222233acacacacacacacacac 令2()4 3,43acactacac，即4 33t 又由复合函数单调性知23Cttt 在4 3

34、3t 时单调递增当4 33t 时，min2 3C.即ABC的周长最小值为2 3.20.“春节”期间，某商场进行如下的优惠促销活动：优惠方案 1：一次购买商品的价格，每满 60 元立减 5 元；优惠方案 2：在优惠 1 之后，再每满 400 元立减 40 元例如，一次购买商品的价格为 130 元，则实际支付额13013051305 212060 元，其中 x表示不大于 x 的最大整数又如，一次购买商品的价格为 860 元，则实际支付额860860540 175060 元（1）小明计划在该商场购买两件价格分别是 250 元和 650 元的商品，他是分两次支付好，还是一次支付好？请说明理由；（2）已

35、知某商品是小明常用必需品，其价格为 30 元/件，小明趁商场促销，想多购买几件该商品，其预算不超过 500 元，试求他应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低？最低平均价格是多少？【答案】（1）一次支付好，理由见解析（2）购买 15 件或 16 件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为 25 元/件【解析】【分析】（1）计算两种支付方式的支付额，比较可得答案；（2）先确定在优惠条件下最多可以购买的件数，然后依据优惠方案 2 进行分类讨论，比较每种情况下的平均价格，可得答案.【小问 1 详解】分两次支付：支付额为2506502505650540230600407906060 元;一次支付

36、：支付额为900900540 274560 元,因为745790，所以一次支付好；【小问 2 详解】设购买*x xN件，平均价格为 y 元/件由于预算不超过 500 元，但算上优惠，最多购买 19 件，当114x时，不能享受每满 400 元再减 40 元的优惠当114x时，130530530602xxyxxx ，*nN，当2xn时，53027.52ynn，*nN；当21xn时，555303027.52122 21ynnn，*nN所以当114x时，购买偶数件时，平均价格最低，为 27.5 元/件当15x19时，能享受每满 400 元再减 40 元的优惠1305403054030602xxyxxx

37、x 当2xn时，540203027.522ynnnn，当8n，16x 时，min25y;当21xn时，5405753030212122 21ynnnn，y 随着 n 的增大而增大，所以当7n，15x 时，min25y综上，购买 15 件或 16 件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为 25 元/件21.已知函数e()exxaf xab是定义在R上的奇函数.（1）求函数 f x的解析式，判断函数 f x在定义域上的单调性并证明；（2）令 3Rh xfxtf xt，若对1,x，使得 0h x，求实数t的取值范围.【答案】（1）1 e1 exxf x，f x在R上单调递减，证明见解析（2）

38、22ee 1,ee 1 【解析】【分析】（1）根据函数e()exxaf xab是定义在R上的奇函数，利用奇函数的性质求解,a b，即可得函数 f x的解析式；判断函数 f x在R上的单调性，利用单调性定义任取12,Rx x，且12xx，作差12f xf x变形，判断差的符号即可证明单调性；（2）根据不等式 0h x，参变分离转化为函数最值问题，即得实数t的取值范围.【小问 1 详解】解：f x是R上的奇函数，1001afaab 再由 11e1e 1111eeffbbb e11 e,e11 exxxxf x f x在R上单调递减任取12,Rx x，且12xx，则21121212122 ee1 e

39、1 e01 e1 e1 e1 exxxxxxxxf xf x 12f xf x，f x在R上递减.【小问 2 详解】解：331 e1 e01 e1 exxxxh xt 对1,x 恒成立322232e1 e1e1 ee1 e1ee1ee1e1 1 ee1 ee1 1 exxxxxxxxxxxxxxxxt 1e1e1e1exxxx 令11e1,e1,eexxt t 221e1222ee 1e1111ee 1e1e1eexxxxttt 22ee 1ee 1t ，即t的取值范围为22ee 1,ee 1 .22.已知函数1()ln1xf xxax.（1）求函数 f（x）的单调区间；（2）若对任意的 x1

40、，f（x）0 恒成立，求实数 a 的取值范围；（3）证明：若函数 f（x）有极值点，则 f（x）必有 3 个不同的零点.【答案】（1）答案见解析（2）,2（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求出 fx，对判别式的正负进行讨论，得出函数的单调区间；（2）借助第一问的结论，将不等式恒成立问题转化为单调性求最值得问题，另外注意特殊值 10f；（3）借助第一问的结论，确定在2a 的时候存在极值，然后根据两极值点的大小及隐含范围，逐步给与证明.【小问 1 详解】1()ln1xf xxax定义域为0,2211112(1)(1)xxafxaxxxx 2222221(1)2(1)(1)xa xxaxx xx

41、 x，令 0fx，即22210 xa x，22(22)448aaa（i）若2480aa，即02a时，0,fxf x在0,上单调递增.（ii）若0，f x在0,上单调递增.（iii）若2a 时，令 0fx，则212xaaa；当 220,1212,xaaaaaa 时，有()0fx；当2212,12xaaa aaa 时，有()0fx.因此 f x在20,12aaa 上单调递增，2212,12aaa aaa 上单调递减，212,aaa 上单调递增.综上：2a 时，f x单增区间为0,，无单减区间；2a 时，f x单调递增区间为20,12aaa，212,aaa 单递减区间为2212,12aaa aaa

42、【小问 2 详解】由（1）知，当2a 时，f x在1,上单调递增，此时 10f xf当2a 时，f x在21,12aaa 上单调递减，此时有 10fxf这与 0f x 矛盾，综上：a的取值范围为,2.【小问 3 详解】由（1）知，当2a 时，f x无极值点当2a 时，f x在20,12aaa 上单调递增，2212,12aaa aaa 上单调递减，212,aaa 上单调递增且(1)0f则212f aaa 为极大值，212f aaa 为极小值.又2212112aaaaaa 要使 f x有 3 个不同的零点，则2120f aaa，2120f aaa 当01x时，1lnln1xxaxax，令ln0eaxaxe0af，当1x 时，1lnln1xxaxax，令ln0,eaxax e0,aff x在2e,12aaaa，212,eaaaa 上各有一个零点另一个零点为 1，共 3 个不同的零点.【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；(2)不能随意将函数的 2 个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；