2022年新高考北京数学高考真题含答案.pdf

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1、本科目考试启用前本科目考试启用前2022 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学数学本试卷共本试卷共 5 页页，150 分分考试时长考试时长 120 分钟分钟考生务必将答案答在答题卡上考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无在试卷上作答无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第一部分（选择题第一部分（选择题共共 40 分）分）一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项要求的一项1.

2、已知全集33Uxx，集合21Axx，则UA=（）A.(2,1B.(3,2)1,3)C.2,1)D.(3,2(1,3)2.若复数 z 满足i34iz，则z（）A.1B.5C.7D.253.若直线210 xy 是圆22()1xay的一条对称轴，则a（）A.12B.12C.1D.14.已知函数1()12xf x，则对任意实数 x，有（）A.()()0fxf x-+=B.()()0fxf xC.()()1fxf xD.1()()3fxf x5.已知函数22()cossinf xxx，则（）A.()f x在,26上单调递减B.()f x在,4 12上单调递增C.()f x在0,3上单调递减D.()f x

3、在7,4 12上单调递增6.设 na是公差不为 0 的无穷等差数列，则“na为递增数列”是“存在正整数0N，当0nN时，0na”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与 T 和lgP的关系，其中 T 表示温度，单位是 K；P 表示压强，单位是bar下列结论中正确的是（）A.当220T，1026P 时，二氧化碳处于液态B.当270T，128P 时，二氧化碳处于气态C.当300T，9987P 时，二氧化碳处于

4、超临界状态D.当360T，729P 时，二氧化碳处于超临界状态8.若443243210(21)xa xa xa xa xa，则024aaa（）A.40B.41C.40D.419.已知正三棱锥PABC的六条棱长均为 6，S 是ABC及其内部的点构成的集合设集合5TQS PQ，则 T 表示的区域的面积为（）A.34B.C.2D.310.在ABC中，3,4,90ACBCCP 为ABC所在平面内的动点，且1PC，则PA PB 的取值范围是（）A.5,3B.3,5C.6,4D.4,6第二部分（非选择题第二部分（非选择题共共 110 分）分）二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，

5、共分，共 25 分分11.函数1()1f xxx的定义域是_12.已知双曲线221xym的渐近线方程为33yx，则m_13.若函数()sin3cosf xAxx的一个零点为3，则A _；12f_14.设函数 21,2,.axxaf xxxa若()f x存在最小值，则 a 的一个取值为_；a 的最大值为_15.已知数列 na各项均为正数，其前 n 项和nS满足9(1,2,)nnaSn给出下列四个结论：na的第 2 项小于 3；na为等比数列；na为递减数列；na中存在小于1100的项其中所有正确结论的序号是_三、解答题共三、解答题共 6 小愿，共小愿，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证

6、明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16.在ABC中，sin23sinCC（1）求C；（2）若6b，且ABC的面积为6 3，求ABC的周长17.如图，在三棱柱111ABCABC中，侧面11BCC B为正方形，平面11BCC B 平面11ABB A，2ABBC，M，N 分别为11AB，AC 的中点（1）求证：MN平面11BCC B；（2）再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求直线 AB 与平面 BMN 所成角的正弦值条件：ABMN；条件：BMMN注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分18.在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到950m以上（含9

7、50m）的同学将获得优秀奖为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（2）设 X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计 X 的数学期望 E（X）；（3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（

8、结论不要求证明）19.已知椭圆：2222:1(0)xyEabab的一个顶点为(0,1)A，焦距为2 3（1）求椭圆 E 的方程；（2）过点(2,1)P 作斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 B，C，直线 AB，AC 分别与 x 轴交于点 M，N，当|2MN 时，求 k 的值20.已知函数()e ln(1)xf xx（1）求曲线()yf x在点(0,(0)f处的切线方程；（2）设()()g xfx，讨论函数()g x在0,)上的单调性；（3）证明：对任意的,(0,)s t，有()()()f stf sf t21.已知12:,kQ a aa为有穷整数数列给定正整数 m，若对任意的1,2,

9、nm，在 Q 中存在12,(0)iiiija aaaj，使得12iiiijaaaan，则称 Q 为m 连续可表数列（1）判断:2,1,4Q是否为5连续可表数列？是否为6连续可表数列？说明理由；（2）若12:,kQ a aa为8连续可表数列，求证：k 的最小值为 4；（3）若12:,kQ a aa为20连续可表数列，且1220kaaa，求证：7k 本科目考试启用前本科目考试启用前2022 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学数学本试卷共本试卷共 5 页页，150 分分考试时长考试时长 120 分钟分钟考生务必将答案答在答题卡上考生务必将答案答在答题

10、卡上，在在试卷上作答无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回试卷上作答无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第一部分（选择题第一部分（选择题共共 40 分）分）一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项选出符合题目要求的一项1.已知全集33Uxx，集合21Axx，则UA=（）A.(2,1B.(3,2)1,3)C.2,1)D.(3,2(1,3)【答案】D【解析】【分析】利用补集的定义可得正确的选项【详解】由补集定义可知：|32UAxx 或13x，即(3,2(1,3)UA ，故选

11、：D2.若复数 z 满足i34iz，则z（）A.1B.5C.7D.25【答案】B【解析】【分析】利用复数四则运算，先求出z，再计算复数的模【详解】由题意有34ii34i43iiiiz ，故223|54|z 故选：B3.若直线210 xy 是圆22()1xay的一条对称轴，则a（）A.12B.12C.1D.1【答案】A【解析】【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解【详解】由题可知圆心为,0a，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即2010a ，解得12a 故选：A4.已知函数1()12xf x，则对任意实数 x，有（）A.()()0fxf x-+=B.()()0fx

12、f xC.()()1fxf xD.1()()3fxf x【答案】C【解析】【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误【详解】112111 21 21 21 2xxxxxfxf x，故 A 错误，C 正确；112121211 21 21 21 22121xxxxxxxxfxf x，不是常数，故 BD错误；故选：C5.已知函数22()cossinf xxx，则（）A.()f x在,26上单调递减B.()f x在,4 12上单调递增C.()f x在0,3上单调递减D.()f x在7,4 12上单调递增【答案】C【解析】【分析】化简得出 cos2f xx，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项

13、.【详解】因为 22cossincos2f xxxx.对于 A 选项，当26x 时，23x，则 f x在,26上单调递增，A 错；对于 B 选项，当412x时，226x，则 f x在,4 12上不单调，B 错；对于 C 选项，当03x时，2023x，则 f x在0,3上单调递减，C 对；对于 D 选项，当7412x时，7226x，则 f x在7,4 12上不单调，D 错.故选：C.6.设 na是公差不为 0 的无穷等差数列，则“na为递增数列”是“存在正整数0N，当0nN时，0na”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】

14、设等差数列 na的公差为d，则0d，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】设等差数列 na的公差为d，则0d，记 x为不超过x的最大整数.若 na为单调递增数列，则0d，若10a，则当2n时，10naa；若10a，则11naand，由110naand可得11and，取1011aNd，则当0nN时，0na，所以，“na是递增数列”“存在正整数0N，当0nN时，0na”；若存在正整数0N，当0nN时，0na，取Nk且0kN，0ka，假设0d，令0nkaank d可得kankd，且kakkd，当1kankd时，0na，与题设矛盾，假设不成立，则0d，即数列 na是

15、递增数列.所以，“na是递增数列”“存在正整数0N，当0nN时，0na”.所以，“na是递增数列”是“存在正整数0N，当0nN时，0na”的充分必要条件.故选：C.7.在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与 T 和lgP的关系，其中 T 表示温度，单位是 K；P 表示压强，单位是bar下列结论中正确的是（）A.当220T，1026P 时，二氧化碳处于液态B.当270T，128P 时，二氧化碳处于气态C.当300T，9987P 时，二氧化碳处于超临界状态D.当360T，729P 时，二氧化碳处

16、于超临界状态【答案】D【解析】【分析】根据T与lgP的关系图可得正确的选项.【详解】当220T，1026P 时，lg3P，此时二氧化碳处于固态，故 A 错误.当270T，128P 时，2lg3P，此时二氧化碳处于液态，故 B 错误.当300T，9987P 时，lgP与 4 非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故 C 错误.当360T，729P 时，因2lg3P,故此时二氧化碳处于超临界状态，故 D 正确.故选：D8.若443243210(21)xa xa xa xa xa，则024aaa（）A.40B.41C.40D.41【答案】B【解析】【分析】利用赋值法可求024aaa

17、的值.【详解】令1x，则432101aaaaa，令1x ，则443210381aaaaa，故4201 81412aaa，故选：B.9.已知正三棱锥PABC的六条棱长均为 6，S 是ABC及其内部的点构成的集合设集合5TQS PQ，则 T 表示的区域的面积为（）A.34B.C.2D.3【答案】B【解析】【分析】求出以P为球心，5 为半径的球与底面ABC的截面圆的半径后可求区域的面积.【详解】设顶点P在底面上的投影为O，连接BO，则O为三角形ABC的中心，且2362 332BO ，故36 122 6PO.因为5PQ，故1OQ，故S的轨迹为以O为圆心，1 为半径的圆，而三角形ABC内切圆的圆心为O，

18、半径为32364313 6，故S的轨迹圆在三角形ABC内部，故其面积为故选：B10.在ABC中，3,4,90ACBCCP 为ABC所在平面内的动点，且1PC，则PA PB 的取值范围是（）A.5,3B.3,5C.6,4D.4,6【答案】D【解析】【分析】依题意建立平面直角坐标系，设cos,sinP，表示出PA，PB，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则0,0C，3,0A，0,4B，因为1PC，所以P在以C为圆心，1为半径的圆上运动，设cos,sinP，0,2，所以3cos,sinPA，cos,4sinPB ，所以 cos3cos

19、4sinsinPA PB 22cos3cos4sinsin1 3cos4sin 1 5sin，其中3sin5，4cos5，因为1sin1，所以41 5sin6 ，即4,6PA PB ；故选：D第二部分（非选择题第二部分（非选择题共共 110 分）分）二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分11.函数1()1f xxx的定义域是_【答案】,00,1【解析】【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；【详解】解：因为 11fxxx，所以100 xx，解得1x 且0 x，故函数的定义域为,00,1；故答案为：,00,112.已知双曲

20、线221xym的渐近线方程为33yx，则m_【答案】3【解析】【分析】首先可得0m，即可得到双曲线的标准方程，从而得到a、b，再跟渐近线方程得到方程，解得即可；【详解】解：对于双曲线221xym，所以0m，即双曲线的标准方程为221xym，则1a，bm，又双曲线221xym的渐近线方程为33yx，所以33ab，即133m，解得3m ；故答案为：313.若函数()sin3cosf xAxx的一个零点为3，则A _；12f_【答案】.1.2【解析】【分析】先代入零点，求得 A 的值，再将函数化简为()2sin()3f xx，代入自变量12x，计算即可.【详解】33()0322fA，1A()sin3

21、cos2sin()3f xxxx()2sin()2sin2121234f 故答案为：1，214.设函数 21,2,.axxaf xxxa若()f x存在最小值，则 a 的一个取值为_；a的最大值为_【答案】.0（答案不唯一）.1【解析】【分析】根据分段函数中的函数1yax 的单调性进行分类讨论，可知，0a 符合条件，0a 不符合条件，0a 时函数1yax 没有最小值，故()f x的最小值只能取2(2)yx的最小值，根据定义域讨论可知210a 或2212aa，解得01a.【详解】解：若0a 时，21,0()(2),0 xf xxx，min()0f x；若0a 时，当xa时，()1f xax 单调

22、递增，当x 时，()f x ，故()f x没有最小值，不符合题目要求；若0a 时，当xa时，()1f xax 单调递减，2()()1f xf aa，当xa时，min20(02)()(2)(2)af xaa210a 或2212aa（），解得01a，综上可得01a；故答案为：0（答案不唯一），115.已知数列 na各项均为正数，其前 n 项和nS满足9(1,2,)nnaSn给出下列四个结论：na的第 2 项小于 3；na为等比数列；na为递减数列；na中存在小于1100的项其中所有正确结论的序号是_【答案】【解析】【分析】推导出199nnnaaa，求出1a、2a的值，可判断；利用反证法可判断；利用

23、数列单调性的定义可判断.【详解】由题意可知，Nn，0na，当1n 时，219a，可得13a；当2n时，由9nnSa可得119nnSa，两式作差可得199nnnaaa，所以，199nnnaaa，则2293aa，整理可得222390aa，因为20a，解得23 5332a，对；假设数列 na为等比数列，设其公比为q，则2213aa a，即2213981SS S，所以，2213SS S，可得22221111aqaqq，解得0q，不合乎题意，故数列 na不是等比数列，错；当2n时，1119990nnnnnnnaaaaaa a，可得1nnaa，所以，数列 na为递减数列，对；假设对任意的Nn，1100na

24、，则10000011000001000100S，所以，1000001000009911000100aS，与假设矛盾，假设不成立，对.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题在推断的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导.三、解答题共三、解答题共 6 小愿，共小愿，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16.在ABC中，sin23sinCC（1）求C；（2）若6b，且ABC的面积为6 3，求ABC的周长【答案】（1）6（2）6 6 3+【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得cosC的值，结合角C的取值范围可求得角C的值；

25、（2）利用三角形的面积公式可求得a的值，由余弦定理可求得c的值，即可求得ABC的周长.【小问 1 详解】解：因为0,C，则sin0C，由已知可得3sin2sincosCCC，可得3cos2C，因此，6C.【小问 2 详解】解：由三角形的面积公式可得13sin6 322ABCSabCa，解得4 3a.由余弦定理可得22232cos48362 4 36122cababC ，2 3c，所以，ABC的周长为6 36abc.17.如图，在三棱柱111ABCABC中，侧面11BCC B为正方形，平面11BCC B 平面11ABB A，2ABBC，M，N 分别为11AB，AC 的中点（1）求证：MN平面11

26、BCC B；（2）再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求直线 AB 与平面 BMN 所成角的正弦值条件：ABMN；条件：BMMN注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）取AB的中点为K，连接,MK NK，可证平面/MKN平面11BCC B，从而可证/MN平面11BCC B.（2）选均可证明1BB 平面ABC，从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可求线面角的正弦值.【小问 1 详解】取AB的中点为K，连接,MK NK，由三棱柱111ABCABC可得四边形11ABB A为平行四边形，而11,B MMA BKKA，则1

27、/MK BB，而MK 平面11BCC B，1BB 平面11BCC B，故/MK平面11BCC B，而,CNNA BKKA，则/NK BC，同理可得/NK平面11BCC B，而,NKMKK NK MK平面MKN，故平面/MKN平面11BCC B，而MN 平面MKN，故/MN平面11BCC B，【小问 2 详解】因为侧面11BCC B为正方形，故1CBBB，而CB 平面11BCC B，平面11CBBC 平面11ABB A，平面11CBBC 平面111ABB ABB，故CB 平面11ABB A，因为/NK BC，故NK 平面11ABB A，因为AB平面11ABB A，故NKAB，若选，则ABMN，而

28、NKAB，NKMNN，故AB 平面MNK，而MK 平面MNK，故ABMK，所以1ABBB，而1CBBB，CBABB，故1BB 平面ABC，故可建立如所示的空间直角坐标系，则0,0,0,0,2,0,1,1,0,0,1,2BANM，故0,2,0,1,1,0,0,1,2BABNBM ，设平面BNM的法向量为,nx y z，则00n BNn BM ，从而020 xyyz，取1z ，则2,2,1n ，设直线AB与平面BNM所成的角为，则42sincos,2 33n AB .若选，因为/NK BC，故NK 平面11ABB A，而KM 平面MKN，故NKKM，而11,1B MBKNK，故1B MNK，而12

29、B BMK，MBMN，故1BB MMKN，所以190BB MMKN，故111ABBB，而1CBBB，CBABB，故1BB 平面ABC，故可建立如所示的空间直角坐标系，则0,0,0,0,2,0,1,1,0,0,1,2BANM，故0,2,0,1,1,0,0,1,2BABNBM ，设平面BNM的法向量为,nx y z，则00n BNn BM ，从而020 xyyz，取1z ，则2,2,1n ，设直线AB与平面BNM所成的角为，则42sincos,2 33n AB .18.在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到950m以上（含950m）的同学将获得优秀奖为预测获得优秀奖的人数及

30、冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（2）设 X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计 X 的数学期望 E（X）；（3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）【答案】（1）0.4（2）75（3

31、）丙【解析】【分析】(1)由频率估计概率即可(2)求解得 X 的分布列，即可计算出 X 的数学期望.(3)计算出各自获得最高成绩的概率，再根据其各自的最高成绩可判断丙夺冠的概率估计值最大.【小问 1 详解】由频率估计概率可得甲获得优秀的概率为 0.4，乙获得优秀的概率为 0.5，丙获得优秀的概率为 0.5，故答案为 0.4【小问 2 详解】设甲获得优秀为事件 A1,乙获得优秀为事件 A2，丙获得优秀为事件 A31233(0)()0.6 0.5 0.520P XP A A A，123123123(1)()()()P XP A A AP A A AP A A A80.4 0.5 0.50.6 0.

32、5 0.50.6 0.5 0.520，123123123(2)()()()P XP A A AP A A AP A A A70.4 0.5 0.50.4 0.5 0.50.6 0.5 0.520，1232(3)()0.4 0.5 0.520P XP A A A.X 的分布列为X0123P32082072022038727()0123202020205E X 【小问 3 详解】丙夺冠概率估计值最大.因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得 9.85 的概率为14，甲获得 9.80的概率为110，乙获得 9.78 的概率为16.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越

33、有利.19.已知椭圆：2222:1(0)xyEabab的一个顶点为(0,1)A，焦距为2 3（1）求椭圆 E 的方程；（2）过点(2,1)P 作斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 B，C，直线 AB，AC 分别与x 轴交于点 M，N，当|2MN 时，求 k 的值【答案】（1）2214xy（2）4k 【解析】【分析】（1）依题意可得222122 3bccab，即可求出a，从而求出椭圆方程；（2）首先表示出直线方程，设11,B x y、22,C xy，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线AB、AC的方程，表示出Mx、Nx，根据NMMNxx得到方程，解得即可；【小问 1 详解】解：

34、依题意可得1b，22 3c，又222cab，所以2a，所以椭圆方程为2214xy；【小问 2 详解】解：依题意过点2,1P 的直线为12yk x，设11,B x y、22,C xy，不妨令1222xx，由221214yk xxy ，消去y整理得22221416816160kxkk xkk，所以22221684 1416160kkkkk，解得0k，所以212216814kkxxk，2122161614kkxxk，直线AB的方程为1111yyxx，令0y，解得111Mxxy，直线AC的方程为2211yyxx，令0y，解得221Nxxy，所以212111NMxxMNxxyy2121121121xxk

35、 xk x212122xxk xk x2121212222xxxxk xx12212222xxkxx，所以122122xxk xx，即212122 121424xxx xkx xxx即222222222168161616161684241 41 41 41 4kkkkkkkkkkkkk 即222222222821416162 1684 141414kkkkkkkkkkkkk整理得84kk，解得4k 20.已知函数()e ln(1)xf xx（1）求曲线()yf x在点(0,(0)f处的切线方程；（2）设()()g xfx，讨论函数()g x在0,)上的单调性；（3）证明：对任意的,(0,)s

36、t，有()()()f stf sf t【答案】（1）yx（2）()g x在0,)上单调递增.（3）证明见解析【解析】【分析】（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；（2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；（3）令()()()m xf xtf x，(,0)x t，即证()(0)m xm，由第二问结论可知()m x在0,+）上单调递增，即得证.【小问 1 详解】解：因为()e ln(1)xf xx，所以 00f，即切点坐标为0,0，又1()e(ln(1)1xfxxx，切线斜率(0)1kf 切线方程为：yx【小问 2 详解】解：因为1()()e(

37、ln(1)1xg xfxxx，所以221()e(ln(1)1(1)xg xxxx，令221()ln(1)1(1)h xxxx，则22331221()01(1)(1)(1)xh xxxxx，()h x在0,)上单调递增，()(0)10h xh()0g x在0,)上恒成立，()g x在0,)上单调递增.【小问 3 详解】解：原不等式等价于()()()(0)f stf sf tf，令()()()m xf xtf x，(,0)x t，即证()(0)m xm，()()()eln(1)e ln(1)x txm xf xtf xxtx，ee()eln(1)e ln(1)()()11x txx txm xxt

38、xg xtg xxtx，由（2）知1()()e(ln(1)1xg xfxxx在0,上单调递增，()()g xtg x，()0m x()m x在0,上单调递增，又因为,0 x t，()(0)m xm，所以命题得证.21.已知12:,kQ a aa为有穷整数数列给定正整数 m，若对任意的1,2,nm，在Q 中存在12,(0)iiiija aaaj，使得12iiiijaaaan，则称 Q 为m 连续可表数列（1）判断:2,1,4Q是否为5连续可表数列？是否为6连续可表数列？说明理由；（2）若12:,kQ a aa为8连续可表数列，求证：k 的最小值为 4；（3）若12:,kQ a aa为20连续可表

39、数列，且1220kaaa，求证：7k【答案】（1）是5连续可表数列；不是6连续可表数列（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）直接利用定义验证即可；（2）先考虑3k 不符合，再列举一个4k 合题即可；（3）5k 时，根据和的个数易得显然不行，再讨论6k 时，由12620aaa可知里面必然有负数，再确定负数只能是1，然后分类讨论验证不行即可【小问 1 详解】21a，12a，123aa，34a，235aa，所以Q是5连续可表数列；易知，不存在,i j使得16iiijaaa，所以Q不是6连续可表数列【小问 2 详解】若3k,设为:Q,a b c,则至多,ab bc abc a b c，

40、6 个数字，没有8个，矛盾；当4k 时,数列:1,4,1,2Q，满足11a，42a，343aa，24a，125aa，1236aaa，2347aaa，12348aaaa，min4k【小问 3 详解】12:,kQ a aa，若ij最多有k种，若ij，最多有2Ck种，所以最多有21C2kk kk种，若5k，则12,ka aa至多可表5 5 1152个数，矛盾,从而若7k,则6k，,a b c d e f至多可表6(61)212个数，而20abcdef，所以其中有负的，从而,a b c d e f可表 120 及那个负数（恰21 个），这表明af中仅一个负的，没有 0，且这个负的在af中绝对值最小，同

41、时af中没有两数相同,设那个负数为(1)m m，则所有数之和125415mmmmm，415191mm，,1,2,3,4,5,6a b c d e f，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足20个，112 （仅一种方式），1与 2 相邻，若1不在两端,则,1,2,_,_,_x 形式，若6x，则56(1)（有 2 种结果相同，方式矛盾），6x，同理5,4,3x，故1在一端，不妨为 1,2,A B C D形式，若3A,则523（有 2 种结果相同，矛盾），4A同理不行，5A，则6125 （有 2 种结果相同，矛盾），从而6A，由于7126 ,由表法唯一知 3,4 不相邻,、故只能1,2,6,3,5,4，或1,2,6,4,5,3，这 2 种情形，对：96354，矛盾，对：82653，也矛盾，综上6k，当7k 时，数列1,2,4,5,8,2,1满足题意，7k【点睛】关键点睛，先理解题意，是否为m 可表数列核心就是是否存在连续的几项（可以是一项）之和能表示从1到m中间的任意一个值本题第二问3k 时，通过和值可能个数否定3k；第三问先通过和值的可能个数否定5k，再验证6k 时，数列中的几项如果符合必然是 1,2,3,4,5,6的一个排序，可验证这组数不合题