2023年新高考一轮复习讲义第27讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用含答案.docx

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1、2023年新高考一轮复习讲义第27讲函数yAsin(x)的图象及三角函数模型的简单应用学校:_姓名：_班级：_考号：_【基础巩固】1（2022广东大埔县虎山中学高三阶段练习）将函数的图象向左平移后，所得图象对应的函数为（）ABCD2（2022浙江高考真题）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（）A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度3（2022湖南师大附中三模）某智能主动降噪耳机工作的原理是利用芯片生成与噪音的相位相反的声波，通过两者叠加完全抵消掉噪音（如图），已知噪音的声波曲线（其中，）的振幅为1，周期为2，初相位为，则用来降噪的声波曲线的解

2、析式是（）ABCD4（2022江苏盐城三模）把函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式为（）ABCD5（2022全国模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若满足，则的最小值为（）ABCD6（2022天津南开二模）函数，其图象的一个最低点是，距离点最近的对称中心为，则（）AB是函数图象的一条对称轴C时，函数单调递增D的图象向右平移个单位后得到的图象，若是奇函数，则的最小值是7（2022山东模拟预测）函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（）A函数的图象可由的图象向左平移个单位得到B函数的图象关于直

3、线对称C函数在区间上单调递增D函数图象的对称中心为8（2022浙江海宁中学模拟预测）已知函数，下列说法正确的是（）A若，则函数在上存在零点B若，则将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象关于原点对称C若函数在上取到最大值，则的最小值为D若函数在上存在两个最值，则的取值范围是9（多选）（2022山东济南三模）将函数图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像，则下列说法正确的是（）A的最小正周期为B图像的一个对称中心为C的单调递减区间为D的图像与函数的图像重合10（多选）（2022河北衡水高三阶段练习）已知函数，则（）A若，将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数图象关于y轴对称，则的最小

4、值为B若，将函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数图象关于坐标原点对称，则的最小值为0.C若，对，函数在上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是D若，且在上单调，函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象与原来的图象重合，则11（多选）（2022湖北黄冈中学三模）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A函数的图象可由的图象向左平移个单位得到B直线是图象的一条对称轴C若，则的最小值为D直线与函数在上的图象有个交点12（多选）（2022山东胜利一中模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且，则下列说法正确的是（）A为奇函数BC当时，在上有4个极值点D若在上单调

5、递增，则的最大值为513（2022辽宁沈阳二中模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则_.14（2022浙江温州三模）已知函数的图象关于点对称，则_，的图象至少向左平移_个单位长度得到的图象.15（2022全国高三专题练习）函数的部分图象如图所示，若，且，则_16（2022湖北襄阳五中模拟预测）已知函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，若为的一条对称轴，则_17（2022山东临沂二模）已知函数，且在上的最大值为(1)求的解析式；(2)将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若，求的值18（2022浙江省浦江中学高三期末）设，将奇函数图象向左平移个单

6、位，再将图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像(1)求a的值及函数的解析式；(2)设，求函数的值域【素养提升】1（2022天津耀华中学一模）已知函数，若在上有且仅有2个最大值点，则的取值范围是（）ABCD2（2022北京101中学模拟预测）已知函数，将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变，得到函数的图象，若，则的值不可能为（）ABCD3（多选）（2022山东潍坊高三期末）已知函数，现有如下四个命题：甲：该函数的最小值为；乙：该函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为；丙：该函数的一个零点为；丁：该函数图像可以由的图像平移得到如果有且只有一个假命题，那么下列说法正

7、确的是（）A乙一定是假命题B的值可唯一确定C函数f（x）的极大值点为D函数f（x）图像可以由图像伸缩变换得到4（2022山东潍坊三模）已知函数向右平移个单位长度后得到若对于任意的，总存在，使得，则的最小值为_5（2022重庆八中模拟预测）已知函数的部分图象如图所示(1)求函数的解析式；(2)将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象当时，方程恰有三个不相等的实数根，求实数a的取值范围和的值6（2022河北高三专题练习）设函数，其中，.（1）设，若函数的图象的一条对称轴为直线，求的值；（2）若将的图象向左平移个单位，或者向右平

8、移个单位得到的图象都过坐标原点，求所有满足条件的和的值；（3）设，已知函数在区间上的所有零点依次为，且，求的值.试卷第9页，共9页学科网（北京）股份有限公司第27讲函数yAsin(x)的图象及三角函数模型的简单应用学校:_姓名：_班级：_考号：_【基础巩固】1（2022广东大埔县虎山中学高三阶段练习）将函数的图象向左平移后，所得图象对应的函数为（）ABCD【答案】B【解析】将函数的图象向左平移后，所得图象对应的函数为.故选：B2（2022浙江高考真题）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（）A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度【答案】D【解析

9、】因为，所以把函数图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象故选：D.3（2022湖南师大附中三模）某智能主动降噪耳机工作的原理是利用芯片生成与噪音的相位相反的声波，通过两者叠加完全抵消掉噪音（如图），已知噪音的声波曲线（其中，）的振幅为1，周期为2，初相位为，则用来降噪的声波曲线的解析式是（）ABCD【答案】D【解析】由题意，且则，所以，则降噪的声波曲线为.故选：D.4（2022江苏盐城三模）把函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式为（）ABCD【答案】A【解析】根据题意，先将函数的图象向左平移个单位得到函数

10、的图象，再将该函数图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象.故选：A.5（2022全国模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若满足，则的最小值为（）ABCD【答案】A【解析】解法一：，则，因为满足，所以函数的图象关于直线对称，所以，所以，因为，所以的最小值为故选:A解法二，则，因为满足，所以函数的图象关于直线对称因为，所以，即，所以，所以，因为，所以的最小值为故选：A6（2022天津南开二模）函数，其图象的一个最低点是，距离点最近的对称中心为，则（）AB是函数图象的一条对称轴C时，函数单调递增D的图象向右平移个单位后得到的图象，若是奇函数，则的最小值是【

11、答案】C【解析】解：函数，的图象的一个最低点是，距离点最近的对称中心为，解得，因为，令，可得，所以函数，故A错误；，故函数关于对称，故B错误；当时，函数单调递增，故C正确；把的图象向右平移个单位后得到的图象，若是奇函数，则，即，令，可得的最小值是，故D错误，故选：C7（2022山东模拟预测）函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（）A函数的图象可由的图象向左平移个单位得到B函数的图象关于直线对称C函数在区间上单调递增D函数图象的对称中心为【答案】C【解析】由图象可知，可得，因为，则，由图可知函数的最小正周期为，所以，.对于A选项，因为，所以，函数的图象可由的图象向左平移个单位得到，A错；对

12、于B选项，因为，所以，函数的图象不关于直线对称，B错；对于C选项，当时，则，所以，函数在区间上单调递增，C对；对于D选项，令，则，D错.故选：C.8（2022浙江海宁中学模拟预测）已知函数，下列说法正确的是（）A若，则函数在上存在零点B若，则将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象关于原点对称C若函数在上取到最大值，则的最小值为D若函数在上存在两个最值，则的取值范围是【答案】C【解析】解：对于选项A，当时，所以函数在上不存在零点，所以选项A错误；对于选项B，将函数的图象向左平移个单位长度，所得函数为是偶函数，其图象关于y轴对称，所以选项B错误；对于选项C，因为函数在上取到最大值，所以，即有，化

13、简得因为，所以当时，的最小值为，所以选项C正确；对于选项D，当时，要使函数在上存在两个最值，则，解得，所以选项D不正确.故选：C.9（多选）（2022山东济南三模）将函数图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像，则下列说法正确的是（）A的最小正周期为B图像的一个对称中心为C的单调递减区间为D的图像与函数的图像重合【答案】ABC【解析】根据题意，则周期，A正确；对B，令，B正确；对C，令，即函数的减区间为，C正确；对D，因为，D错误.故选：ABC.10（多选）（2022河北衡水高三阶段练习）已知函数，则（）A若，将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数图象关于y轴对称，则的最小值为B若

14、，将函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数图象关于坐标原点对称，则的最小值为0.C若，对，函数在上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是D若，且在上单调，函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象与原来的图象重合，则【答案】BC【解析】对于A选项，函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，其图象关于y轴对称，令，所以，当时，有最小值，为，所以选项A不正确；对于B选项，函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，其图象关于坐标原点对称，令，所以，当时，有最小值，为0，所以选项B正确；对于C选项，函数的零点个数，即方程的根的个数.因为，所以.又，方程在上至少有2个不同实根，至多有3个

15、不同实根，则必须满足，解得，所以选项C正确；对于D选项，函数，又，所以，于是函数.又在上单调，所以，解得，函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象与原来的图象重合，则，即，.由，因此或，当时，所以在上不单调，不合题意，舍去，当时，符合题意，所以选项D不正确故选：BC.11（多选）（2022湖北黄冈中学三模）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A函数的图象可由的图象向左平移个单位得到B直线是图象的一条对称轴C若，则的最小值为D直线与函数在上的图象有个交点【答案】BCD【解析】对于A选项，由图可知，函数的最小正周期为，则，又因为，因为，则，所以，则，所以，故函数的图象可由的图象

16、向左平移个单位得到，A错；对于B选项，所以，直线是图象的一条对称轴，B对；对于C选项，因为，所以，的最小值为，C对；对于D选项，当时，由可知的可能取值集合为，所以，直线与函数在上的图象有个交点，D对.故选：BCD.12（多选）（2022山东胜利一中模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且，则下列说法正确的是（）A为奇函数BC当时，在上有4个极值点D若在上单调递增，则的最大值为5【答案】BCD【解析】，且，即为奇数，为偶函数，故A错.由上得：为奇数，故B对.由上得，当时，,由图像可知在上有4个极值点,故C对，在上单调，所以,解得：，又，的最大值为5，故D对故选：BCD.13（

17、2022辽宁沈阳二中模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则_.【答案】0【解析】解：由题意可知，将函数的图象向右平移个单位长度后得到，则，所以.故答案为：0.14（2022浙江温州三模）已知函数的图象关于点对称，则_，的图象至少向左平移_个单位长度得到的图象.【答案】 【解析】由题有：，又，取，则.设向左平移m个单位长度，则，即，取，则.故答案为：，.15（2022全国高三专题练习）函数的部分图象如图所示，若，且，则_【答案】【解析】由题意知，函数中，周期，所以，又函数图象过点，即，得，又，所以，所以；由，得图象的最高点坐标为，因为且，所以，故.故答案为：.16（2022湖北

18、襄阳五中模拟预测）已知函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，若为的一条对称轴，则_【答案】【解析】设，则，则，即，又是的一条对称轴， ，即.故答案为17（2022山东临沂二模）已知函数，且在上的最大值为(1)求的解析式；(2)将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若，求的值【解】(1)因为，所以周期，又在上的最大值为，且，所以当时，取得最大值，所以，且，即，故，解得，故；(2)，又，则，.18（2022浙江省浦江中学高三期末）设，将奇函数图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像(1)求a的值及函数的解析式；(2)设，求函

19、数的值域【解】(1)因为是奇函数，且在处有定义，可知，得到，因为，所以，由图象向左平移个单位得到，再将图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，可得.(2)由（1）可得：，.【素养提升】1（2022天津耀华中学一模）已知函数，若在上有且仅有2个最大值点，则的取值范围是（）ABCD【答案】C【解析】当时，当时，第1次取到最大值，当时，当时，第2次取到最大值，由知：当时，第3次取到最大值故选：C2（2022北京101中学模拟预测）已知函数，将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变，得到函数的图象，若，则的值不可能为（）ABCD【答案】C【解析】，的最小正周期，又，不

20、妨设与分别对应的最大值点和最小值点，；当时，；当时，；当时，故选：C3（多选）（2022山东潍坊高三期末）已知函数，现有如下四个命题：甲：该函数的最小值为；乙：该函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为；丙：该函数的一个零点为；丁：该函数图像可以由的图像平移得到如果有且只有一个假命题，那么下列说法正确的是（）A乙一定是假命题B的值可唯一确定C函数f（x）的极大值点为D函数f（x）图像可以由图像伸缩变换得到【答案】BD【解析】若甲命题正确：该函数的最小值为，则；若乙命题正确：该函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，则；若丙命题正确：该函数的一个零点为，则，即；若丁命题正确：该函数图像可以由的图像平移

21、得到.由，可知，故命题乙与命题丁矛盾.由甲乙丙丁有且只有一个假命题可知，二者必一真一假，则命题甲与命题丙均为真命题.由命题甲为真命题，可知，由命题丙为真命题可知若命题乙为真命题，则，由，可得此时.若命题丁为真命题，则，由，得又，则不存在符合条件的.不合题意.综上，命题丁为假命题，命题甲、乙、丙均为真命题.选项A：乙一定是假命题判断错误；选项B： 的值可唯一确定. 判断正确；选项C：函数f（x）的极大值点为.由，可得，即函数f（x）的极大值点为.判断错误；选项D：函数f（x）图像可以由图像伸缩变换得到.由可知，把的图像上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的倍，可以得到的图像. 判断正确.故

22、选：BD4（2022山东潍坊三模）已知函数向右平移个单位长度后得到若对于任意的，总存在，使得，则的最小值为_【答案】【解析】函数向右平移个单位长度后得到，因为，所以，所以，因为对于任意的，总存在，使得，所以的取值范围应包含，根据余弦函数的性质，为使取最小值，只需函数在上单调且值域为即可.由可得，因此的最小值为.故答案为：.5（2022重庆八中模拟预测）已知函数的部分图象如图所示(1)求函数的解析式；(2)将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象当时，方程恰有三个不相等的实数根，求实数a的取值范围和的值【解】(1)解：由图示

23、得：，又，所以，所以，所以，又因为过点，所以，即，所以，解得，又，所以，所以；(2)解：由已知得，当时，令，则，令，则，所以，因为有三个不同的实数根，则，所以，即，所以6（2022河北高三专题练习）设函数，其中，.（1）设，若函数的图象的一条对称轴为直线，求的值；（2）若将的图象向左平移个单位，或者向右平移个单位得到的图象都过坐标原点，求所有满足条件的和的值；（3）设，已知函数在区间上的所有零点依次为，且，求的值.【解】（1），因为是一条对称轴，对应最值；又因为，所以，所以，则；（2）由条件知： ，可得，则，又因为，所以，则，故有：，当为奇数时，令，所以 ，当为偶数时，令，所以，当时，又因为，

24、所以；（3）分别作出（部分图像）与图象如下：因为，故共有个；记对称轴为，据图有：，则，令，则，又因为，所以，由于与仅在前半个周期内有交点，所以，则.试卷第31页，共22页学科网（北京）股份有限公司第28讲正弦定理和余弦定理学校:_姓名：_班级：_考号：_【基础巩固】1（2022浙江镇海中学高三开学考试）在中，则外接圆的半径为（）A1BC2D32（2021全国高考真题（文）在中，已知，则（）A1BCD33（2022全国高三专题练习）在中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（）ABCD4（2022全国高三专题练习）在中，内角A，B，C所对的分别为a，b，c，下列结论错误的是（）A若a2，b2

25、021，c2022，则为钝角三角形B若sin2Asin2B，则是等腰三角形C若a：b：c2：3：4，则中最小的内角为A，且D若a2，则5（2022江苏南通模拟预测）小强计划制作一个三角形，使得它的三条边中线的长度分别为1，则（）A能制作一个锐角三角形B能制作一个直角三角形C能制作一个钝角三角形D不能制作这样的三角形6（2022山东临沂二模）我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了“三斜求积术”，即在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则ABC的面积根据此公式，若，且，则ABC的面积为（）ABCD7（2022全国高三专题练习）在锐角中，若，且，则的取值范围是（）ABCD8（2022全国高三专

26、题练习）在中，三边长满足，则的值为（）ABCD9（多选）（2022广东汕头市第一中学高三阶段练习）在中，内角，的对边分别为，且（）A若，则B若，则的面积为C若，则的最大值为D若，则周长的取值范围为10（多选）（2022山东高三开学考试）在中，内角所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（）AB若，则CD若，且，则为等边三角形11（2021全国高考真题（理）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，则_12（2022海南中学高三阶段练习）已知四边形ABCD为圆内接四边形，若，.则四边形ABCD的面积为_.13（2022北京二模）已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，则能使成立

27、的一组A，B的值是_14（2022浙江镇海中学模拟预测）在中，P是边上靠近B点得四等分点，则_，则_15（2022浙江高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知(1)求的值；(2)若，求的面积16（2022全国高考真题（理）记的内角的对边分别为，已知(1)证明：；(2)若，求的周长17（2022全国高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(1)若，求B；(2)求的最小值【素养提升】1（2022广东深圳高三阶段练习）在中，的内切圆的面积为，则边长度的最小值为（）A16B24C25D362（2022全国模拟预测）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若，则的取

28、值范围为（）ABCD3（2022江苏高邮市第一中学高三阶段练习）在锐角中，角，的对边分别为，为的面积，且，则的取值范围为（）ABCD4（2022重庆三模）在矩形中，E，F分别在边AD，DC上（不包含端点）运动，且满足，则的面积可以是（）A2BC3D45（2022北京测试学校四高三）在中，其外接圆半径，且，则_.6（2021全国高考真题）记是内角，的对边分别为，.已知，点在边上，.（1）证明：；（2）若，求.试卷第37页，共6页学科网（北京）股份有限公司第28讲正弦定理和余弦定理学校:_姓名：_班级：_考号：_【基础巩固】1（2022浙江镇海中学高三开学考试）在中，则外接圆的半径为（）A1BC2

29、D3【答案】A【解析】设R为外接圆的半径，故，解得故选：A2（2021全国高考真题（文）在中，已知，则（）A1BCD3【答案】D【解析】设，结合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故选：D.3（2022全国高三专题练习）在中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（）ABCD【答案】D【解析】对于A选项，又，由正弦定理得：，三角形三边确定，此时三角形只有一解，不合题意；对于B选项，由余弦定理得：，三角形三边唯一确定，此时三角形有一解，不合题意；对于C选项，三边均为定值，三角形唯一确定，故选项C不合题意；对于D选项，由正弦定理得：，有两解，符合题意，故选：D.4（2022全国高三专题练

30、习）在中，内角A，B，C所对的分别为a，b，c，下列结论错误的是（）A若a2，b2021，c2022，则为钝角三角形B若sin2Asin2B，则是等腰三角形C若a：b：c2：3：4，则中最小的内角为A，且D若a2，则【答案】B【解析】在中，最大的内角为C，故为钝角三角形，A正确因为sin2Asin2B，所以2A2B或2A2B，即AB或，故是等腰三角形或直角三角形，B错误设a2x，b3x，c4x（x0），中最小的内角为A，由余弦定理知因为，所以，故中最小的内角为A，且，C正确因为0Aa，所以CA则不符合题意，舍去，故，D正确故选：B.5（2022江苏南通模拟预测）小强计划制作一个三角形，使得它的

31、三条边中线的长度分别为1，则（）A能制作一个锐角三角形B能制作一个直角三角形C能制作一个钝角三角形D不能制作这样的三角形【答案】C【解析】设三角形的三条边为a，b，c，设中点为D，则，同理，可以构成三角形，为钝角三角形，故选：C6（2022山东临沂二模）我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了“三斜求积术”，即在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则ABC的面积根据此公式，若，且，则ABC的面积为（）ABCD【答案】A【解析】由正弦定理边角互化可知化简为， 即 ，,，解得：，根据面积公式可知.故选：A7（2022全国高三专题练习）在锐角中，若，且，则的取值范围是（）ABCD【答案】A【解析

32、】由，得，由题，由正弦定理有，故，即，故，即，由正弦定理有，故，又锐角，且，解得，的取值范围为故选：A8（2022全国高三专题练习）在中，三边长满足，则的值为（）ABCD【答案】C【解析】方法一：，由正弦定理得：，；，又，即，整理可得：，；方法二：令，则满足；则可知：，；由得：，解得：或，.故选：C.9（多选）（2022广东汕头市第一中学高三阶段练习）在中，内角，的对边分别为，且（）A若，则B若，则的面积为C若，则的最大值为D若，则周长的取值范围为【答案】ACD【解析】因为，所以.对于A，B，若，则，解得，的面积，A正确，B错误.对于C，若，则，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，C正确.对

33、于D，若，则根据三边关系可得即解得，则，的周长为，故周长的取值范围为，D正确.故选：ACD10（多选）（2022山东高三开学考试）在中，内角所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（）AB若，则CD若，且，则为等边三角形【答案】ACD【解析】A：由，根据等比的性质有，正确；B：当时，有，错误；C：，而，即，由正弦定理易得，正确；D：如下图，是单位向量，则，即、，则且平分，的夹角为， 易知为等边三角形，正确.故选：ACD11（2021全国高考真题（理）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，则_【答案】【解析】由题意，所以，所以，解得（负值舍去）.故答案为：.12（2022海南中学

34、高三阶段练习）已知四边形ABCD为圆内接四边形，若，.则四边形ABCD的面积为_.【答案】【解析】解：设，在与中，由余弦定理得，又由于，即，解得，即得.故，.故答案为：.13（2022北京二模）已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，则能使成立的一组A，B的值是_【答案】（答案不唯一）【解析】由正弦定理得：， ，（答案不唯一）.故答案为：（答案不唯一）.14（2022浙江镇海中学模拟预测）在中，P是边上靠近B点得四等分点，则_，则_【答案】 2 【解析】由余弦定理，得，又，得，所以，联立，得，所以，所以.故答案为：2；.15（2022浙江高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，

35、c已知(1)求的值；(2)若，求的面积【解】(1)由于， ，则因为，由正弦定理知，则(2)因为，由余弦定理，得，即，解得，而，所以的面积16（2022全国高考真题（理）记的内角的对边分别为，已知(1)证明：；(2)若，求的周长【解】(1)证明：因为，所以，所以，即，所以；(2)解：因为，由（1）得，由余弦定理可得， 则，所以，故，所以，所以的周长为.17（2022全国高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(1)若，求B；(2)求的最小值【解】(1)因为，即，而，所以；(2)由（1）知，所以，而，所以，即有所以当且仅当时取等号，所以的最小值为【素养提升】1（2022广东深圳高三

36、阶段练习）在中，的内切圆的面积为，则边长度的最小值为（）A16B24C25D36【答案】A【解析】因为的内切圆的面积为，所以的内切圆半径为4设内角，所对的边分别为，因为，所以，所以因为，所以设内切圆与边切于点，由可求得，则又因为，所以所以又因为，所以，即，整理得因为，所以，当且仅当时，取得最小值故选：A2（2022全国模拟预测）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若，则的取值范围为（）ABCD【答案】C【解析】解：，或（不符合题意舍去），设，是锐角三角形，令，则，函数在上单调递增，故，.故选：C3（2022江苏高邮市第一中学高三阶段练习）在锐角中，角，的对边分别为，为的面积，且，则的

37、取值范围为（）ABCD【答案】C【解析】解：在中，由余弦定理得，且的面积，由，得，化简得，又，联立得，解得或（舍去），所以，因为为锐角三角形，所以，所以，所以，所以，所以，设，其中，所以，由对勾函数单调性知在上单调递减，在上单调递增，当时，；当时，；当时，；所以，即的取值范围是故选：C.4（2022重庆三模）在矩形中，E，F分别在边AD，DC上（不包含端点）运动，且满足，则的面积可以是（）A2BC3D4【答案】BC【解析】如图，以为原点，所在的直线为轴的正方向建立平面直角坐标系，设，因为，所以，由余弦定理得得，可得，当且仅当等号成立，即，解得，或，因为，所以，所以，因为，所以，因为，所以，所以

38、，而，故选：BC.5（2022北京测试学校四高三）在中，其外接圆半径，且，则_.【答案】1【解析】因为，所以因为，所以,进而有，于是因为，所以.故答案为：16（2021全国高考真题）记是内角，的对边分别为，.已知，点在边上，.（1）证明：；（2）若，求.【解】（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理，得，因为，所以，即又因为，所以（2）方法一【最优解】：两次应用余弦定理因为，如图，在中，在中，由得，整理得又因为，所以，解得或，当时，（舍去）当时，所以方法二：等面积法和三角形相似如图，已知，则，即，而，即，故有，从而由，即，即，即，故，即，又，所以，则方法三：正弦定理、余弦定理相结合由（1）知，再由得在中，由正弦定理得又，所以，化简得在中，由正弦定理知，又由，所以在中，由余弦定理，得故方法四：构造辅助线利用相似的性质如图，作，交于点E，则由，得在中，